Rotational Motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rotational Motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

कथन 1 सत्य है: जब कोई व्यक्ति हवाई जहाज से कूदता है, तो वह गुरुत्वाकर्षण बल और वायु प्रतिरोध के अधीन होता है (इस स्थिति में वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए)। जमीन पर एक प्रेक्षक के सापेक्ष व्यक्ति एक परवलयाकार पथ का अनुसरण करता है, क्योंकि क्षैतिज वेग नियत रहता है, और गुरुत्वीय ऊर्ध्वाधर वेग बदलता है।

कथन 2 भी सत्य है: पृथ्वी के घूर्णन का गतिमान वस्तुओं के प्रक्षेप पथ पर प्रभाव पड़ता है। कोरिऑलिस प्रभाव हवाई जहाज से कूदने वाले व्यक्ति के पथ के विक्षेपण का कारण बनता है। हालाँकि, यह प्रभाव हवाई जहाज की ऊँचाई पर बहुत कम होता है और पथ के सामान्य परवलयाकार आकार को महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलता है।

इस प्रकार, सही उत्तर (B) है।

गणना:

दिया गया जड़त्व आघूर्ण सूत्र:

I₁ = (2/5) m₁ R² + m₁ R² = m₁ R² (7/5)

इसलिए, I₁ = 7m₁ R²

इसी प्रकार, I₂ के लिए:

I₂ = (m₂ R² / 4) + m₂ R² = (5/4) m₂ R²

इसलिए, I₂ = 5m₂ R²

I₂ का I₁ से अनुपात है:

I₂ / I₁ = (5m₂ R²) / (7m₁ R²) = 5 / 7

अंतिम उत्तर: x = 5

गणना:

द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर डिस्क का जड़त्व आघूर्ण Icm = (mR2) / 2 है

समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए AB के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है

IAB = (mR2) / 2 + m × (2R / 3)2 = (17 / 18) mR2

⇒ IAB / Icm = 17 / 9 ⇒ x = 17

गणना:

घूर्णी संतुलन के लिए, कुल बलआघूर्ण संतुलित होना चाहिए।

बिंदु C के परितः बलआघूर्ण लेते हुए:

(T / 2) × 60 = 20 × 50 + 80 × 100

⇒ 3T = 100 + 800

⇒ T = 300 N

गणना:

काटने से पहले,

\(\alpha = \frac{M\ell^2}{12} \quad \cdots (i)\)

काटने के बाद,

प्रत्येक अर्ध-भाग के लिए:

⇒ द्रव्यमान = M / 2

⇒ लंबाई = ℓ / 2

प्रत्येक अर्ध-भाग के लिए जड़त्व आघूर्ण, α^' (एकल भाग) = (M/2) × (ℓ/2)² / 12

⇒ α^' = (M/2) × (ℓ² / 4) / 12 = (M × ℓ²) / 96

कुल जड़त्व आघूर्ण, α' = 2 × (M × ℓ² / 96) = (M × ℓ²) / 48

⇒ α' = α / 4

∴ सही विकल्प (2) है।

सही विकल्प: 2 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: यह प्रमेय बताता है कि किसी पिंड पर बल द्वारा किया गया नेट कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
• गणितीय रूप से, किया गया कार्य (W) = अंतिम गतिज ऊर्जा - प्रारंभिक गतिज ऊर्जा
• गतिज ऊर्जा (KE) सूत्र द्वारा दी जाती है: K.E = (1/2) × m × v2
• तो, W = (1/2) × m × (v2 - u2), जहाँ:
  • m = वस्तु का द्रव्यमान
  • v = अंतिम वेग
  • u = प्रारंभिक वेग

गणना:

• दिया गया:
  • कार का द्रव्यमान (m) = 1500 kg
  • प्रारंभिक वेग (u) = 36 km/h = 36 × (1000 ÷ 3600) = 10 m/s
  • अंतिम वेग (v) = 72 km/h = 72 × (1000 ÷ 3600) = 20 m/s
• कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए:W = (1/2) × m × (v2 - u2)
  ⇒ W = (1/2) × 1500 × (202 - 102)
  ⇒ W = (1/2) × 1500 × (400 - 100)
  ⇒ W = (1/2) × 1500 × 300
  ⇒ W = 750 × 300
  ⇒ W = 225000 J
  ⇒ W = 2.25 × 105 J

अतिरिक्त जानकारी:

• किया गया कार्य एक अदिश राशि है और इसे SI प्रणाली में जूल (J) में व्यक्त किया जाता है।
• इस प्रकार का प्रश्न सामान्यतः यांत्रिकी में ऊर्जा और कार्य विषय के अंतर्गत पूछा जाता है।
• गतिज ऊर्जा सूत्र में प्रतिस्थापित करने से पहले हमेशा वेग को km/h से m/s में परिवर्तित करें: (1000 ÷ 3600) से गुणा करें या 5/18 के रूप में सरल करें।

आरेख/दृश्य सहायता सुझाव:

• एक आरेख जिसमें एक कार को शुरू में कम गति से तथा फिर अधिक गति से चलते हुए दिखाया गया है, जिसमें सदिश u और v अंकित हैं।
• दृश्य तुलना के लिए प्रारंभिक और अंतिम गतिज ऊर्जा को दर्शाने वाला एक दंड आलेख शामिल करें।

संकल्पना -

• घूर्णन गति: जब एक ब्लॉक एक वृत्ताकार पथ पर एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर गतिमान होता है, तो इस प्रकार की गति को घूर्णन गति कहा जाता है।

बलाघूर्ण (τ): 

• यह व्यावर्तन बल है जो घूर्णन का कारण बनता है।
• वह बिंदु जहाँ वस्तु घूमती है घूर्णन के अक्ष के रूप में जानी जाती है।
• गणितीय रूप से इसे इसप्रकार लिखा जाता है,

τ = rFsin θ 

व्याख्या:

• बलाघूर्ण से जुड़ी शक्ति घूर्णन के एक अक्ष के ओर निकाय के बलाघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल द्वारा दी गई है अर्थात

⇒ P = τω 

जहाँ τ = बलाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

अतिरिक्त बिंदु:

घूर्णन गतिविज्ञान में

• जड़त्वाघूर्ण द्रव्यमान के सादृश्य है
• कोणीय वेग रैखिक वेग के सादृश्य है
• कोणीय त्वरण रैखिक त्वरण के सादृश्य है

इस प्रकार, रैखिक गति में द्रव्यमान x वेग = संवेग

जड़त्वाघूर्ण x कोणीय वेग के सादृश्य = कोणीय संवेग

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात L = √(2EI)

अवधारणा:

• निकाय के कोणीय संवेग को, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • कोणीय संवेग भी संवेग के संरक्षण के नियम का पालन करता है अर्थता पहले और बाद का कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

कोणीय संवेग L = I × ω 

घूर्णन गतिज ऊर्जा: घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के लिए, घूर्णन गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:

 \(KE = \frac{1}{2} Iω^2\)

जहां I जड़त्व आघूर्ण है, ω कोणीय वेग है।

गणना:

कोणीय संवेग L = I × ω      ----(1) 

घूर्णन गतिज ऊर्जा = \(E = \frac{1}{2} Iω^2\) ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)      ----(2)

(2) को (1) में रखने पर हमें प्राप्त होगा -

L = I × \(\sqrt{\frac{2E}{I}}\)= √(2EI)

अवधारणा:

• किसी अक्ष के अनुरूप घूमने वाले कण के कोणीय संवेग को उस अक्ष के कण के रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह रैखिक संवेग और घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की लंबवत दूरी के गुणनफल रूप में मापा जाता है।
• कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच का संबंध इस प्रकार है-

L = Iω

जहां I = जड़त्व आघूर्ण , L= कोणीय संवेग, और ω = कोणीय वेग।

व्याख्या:

• यदि प्रणाली पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं करता है तो प्रणाली का प्रारंभिक कोणीय संवेग ((L_initial)) अंतिम संवेग (L_final) के बराबर होगा ।
• इसलिए एक संवृत प्रणाली का संवेग संरक्षित रहेगा।

∴ Iω = नियतांक

⇒ I ∝ 1/ω

अर्थात जड़त्व आघूर्ण कोणीय वेग के विलोम आनुपातिक है।

• इसलिए यदि एक घूर्णन पिंड का जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है तो कोणीय वेग कम हो जाता है।

धारणा:

• कोणीय त्वरण (α): इसे एक कण के कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
• यदि Δω कोणीय वेग समय Δt में परिवर्तन है तो औसत त्वरण है

\(\vec α = \frac{{{\rm{\Delta }}\omega }}{{{\rm{\Delta }}t}}\)

जड़त्वाघूर्ण

• जड़त्वाघूर्ण घूर्णी गति में ठीक वही भूमिका निभाता है जो भूमिका रैखिक गति में द्रव्यमान निभाता है। यह निकाय का एक गुण है जिसके कारण यह अपने विरामावस्था में या एक समान घूर्णन की अवस्था में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है।

• एक कण का जड़त्वाघूर्ण है

I = mr2

जहाँ r = घूर्णी अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

बलाघूर्ण (τ): 

• यह व्यावर्तन बल है जो घूर्णन का कारण बनता है।
• वह बिंदु जहाँ वस्तु घूमती है घूर्णन के अक्ष के रूप में जानी जाती है।
• गणितीय रूप से इसे लिखा जाता है,

τ = rFsin θ 

व्याख्या:

कोणीय त्वरण (α), बलाघूर्ण (τ) और जड़त्वाघूर्ण (I) के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ τ = α × I

\( \Rightarrow \alpha = \frac{\tau }{I}\)

• अतः, कोणीय त्वरण = बलाघूर्ण / जडत्वाघूर्ण इसलिए विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• घूर्णी गतिज ऊर्जा: वह ऊर्जा,जो एक निकाय में घूर्णी गति के कारण होती हैं, घूर्णी गतिज ऊर्जा कहलाती है।
• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप घूमने वाले निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही पूरा निकाय विराम में हो।
• गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इस रूप में लिखा जा सकता है -

\(KE = \frac{1}{2}I{ω ^2}\)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

व्याख्या:

• उपरोक्त से यह स्पष्ट है कि \(\frac{1}{2}I{ω ^2}\) घूर्णी गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।

अवधारणा:

कोणीय संवेग (L):

• कठोर निकाय के कोणीय संवेग को जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है अर्थात

\(⇒ L = Iω \)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम:

• जब किसी दिए गए अक्ष के अनुरूप निकाय पर कार्य करने वाला शुद्ध बाहरी आघूर्ण शून्य होता है, तो उस अक्ष के अनुरूप निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है अर्थात

⇒ I1ω1 = I2ω2

व्याख्या:

• जब एक व्यक्ति घूर्णनशील मंच पर खड़ा है और अपने हाथ फैलाता है, अचानक वह अपने हाथ तनता है, तो वह अपने जड़त्व आघूर्ण को बढाता है जिससे कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग कर उसका कोणीय वेग घटता है। इसलिए विकल्प 2 सही है।

धारणा:

बलाघूर्ण (τ): 

• यह व्यावर्तन बल है जो घूर्णन का कारण बनता है।
• वह बिंदु जहाँ वस्तु घूमती है घूर्णन के अक्ष के रूप में जानी जाती है।
• गणितीय रूप से इसे इसप्रकार लिखा जाता है,

τ = rFsin θ 

• कोणीय त्वरण (α): इसे एक कण के कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
• यदि Δω कोणीय वेग समय Δt में परिवर्तन है तो औसत त्वरण है

\(\vec α = \frac{{{\rm{\Delta }}\omega }}{{{\rm{\Delta }}t}}\)

व्याख्या:

• बल आघूर्ण किसी वस्तु पर बल लगाने की मात्रा का माप है जो उसे घुमाने का कारण बना सकती है।
• कोणीय त्वरण का उत्पादन करने के लिए आवश्यक बल आघूर्ण उस वस्तु के द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है जिसे जड़त्त्वाघूर्ण द्वारा वर्णित किया जाता है।
• इसलिए बल आघूर्ण (\(\tau \)) कोणीय त्वरण (a) और जड़त्त्वाघूर्ण (I) का गुणनफल है। अतः विकल्प 2 सही है।

           \(\tau = I \times a\)

धारणा:

जड़त्व आघूर्ण

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

• एक निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार होगा

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा जिससे एक निकाय में इसके घूर्णन गति के आधार पर गति होती है, उसको घूर्णन गतिज ऊर्जा कहलाता है।
• एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय पूर्ण रूप से एक स्थान में होती है।
• गणितीय रूप से घूर्णन गतिज ऊर्जा को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्त्वाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

स्पष्टीकरण:

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर रिंग का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{ring}} = M{R^2}\)

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2}\)

• जैसा कि हम जानते हैं कि गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इसप्रकार लिखा जा सकता है

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

• प्रश्न के अनुसार पतली डिस्क और एक पतली रिंग का कोणीय वेग समान है। इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्त्वाघूर्ण पर निर्भर करती है।
• इसलिए अधिक जड़त्त्वाघूर्ण वाले निकाय में गतिज ऊर्जा अधिक होगी और इसके विपरीत।
• तो, समीकरण से यह स्पष्ट है कि,

⇒ Iring > Idisc

∴ Kring > Kdisc

• रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।

अवधारणा:

रेखीय गति में लागू होने वाले समीकरणों को कोणीय गति में भी लागू किया जा सकता है।

गणना:

दिया हुआ है कि:

α = 3 rad/s2, ωo = 2 rad/s, t = 2 s

हम जानते हैं कि,

\(θ = {ω _0}t + \frac{1}{2}α {t^2}\)

\(θ = ({2}\times 2) + \frac{1}{2}\times3\times2^2\)

θ = 4 + 6 = 10 रेडियन