Special Theory of Relativity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Theory of Relativity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

L = L₀ √(1 - v²/C²)

• विशिष्ट आपेक्षिकता में, v वेग से गतिमान वस्तु गति की दिशा में **लंबाई संकुचन** से गुजरती है।
• संकुचित लंबाई L सूत्र द्वारा दी जाती है:
• y-अक्ष के अनुदिश लंबाई घटक अपरिवर्तित रहता है।
• हम x और y के अनुदिश लंबाई घटकों को हल करते हैं और x-घटक पर लंबाई संकुचन लागू करते हैं।

गणना:

अपने विरामस्थ तंत्र में मीटर की छड़ की लंबाई, L₀ = 1 m

x-अक्ष के साथ कोण, θ = 45°

छड़ का वेग, v = (1/√2) C

प्रकाश की चाल, C

⇒ विरामस्थ तंत्र में लंबाई के घटक:

L₀ₓ = L₀ cos(θ) = 1 × cos 45° = 1/√2

L₀ᵧ = L₀ sin(θ) = 1 × sin 45° = 1/√2

⇒ x-दिशा में लंबाई संकुचन:

Lₓ = L₀ₓ √(1 - v²/C²)

⇒ Lₓ = (1/√2) √(1 - (1/2))

⇒ Lₓ = (1/√2) × (√1/√2) = 1/2

⇒ फ्रेम S में कुल लंबाई:

L = √(Lₓ² + L₀ᵧ²)

⇒ L = √((1/2)² + (1/√2)²)

⇒ L = √(1/4 + 1/2)

⇒ L = √(3/4)

⇒ L = √3 / 2

∴ फ्रेम S में छड़ की लंबाई √3/2 मीटर है।

गणना:

प्रयोगशाला फ्रेम में 0.9c की चाल से विपरीत दिशाओं में गतिमान दो कणों के सापेक्ष वेग की गणना करने के लिए, हम आपेक्षिकीय वेग योग सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(v_{\text{relative}} = \frac{v_1 - v_2}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}\)

यह दिया गया है कि दोनों कण \(v_1 = 0.9c \) और \(v_2 = -0.9c\) पर गतिमान हैं, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

\(v_{\text{relative}} = \frac{0.9c - (-0.9c)}{1 - \frac{(0.9c)(-0.9c)}{c^2}}\)

समीकरण को सरल करने पर:

\(v_{\text{relative}} = \frac{1.8c}{1 - (-0.81)} = \frac{1.8c}{1 + 0.81} = \frac{1.8c}{1.81}\)

\(v_{\text{relative}} \approx 0.9945c\)

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

हल:

ध्यान दें कि यहाँ गैर-आपेक्षिकीय सन्निकटन मान्य नहीं है, क्योंकि \(v/c = 2/3\).

(a) हमारे पास समीकरण है:

\(t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)

​दिया गया मान \(v/c = 2/3\)  प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

\(t = 3.93\) सेकंड

सही विकल्प 1) है।

हल:

सापेक्षिक गतिज ऊर्जा \(K_{\text{rel}} = (γ - 1) m_0 c^2\), जहाँ \(γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) है। 

\(\frac{v^2}{c^2}\) की घातों में γ का प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(K_{\text{rel}} \approx \left(\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}\right) m_0 c^2\)

छोटे x के लिए सन्निकटन का उपयोग करते हुए, जहाँ \(\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \approx 1 + \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^2\) है, हमें प्राप्त होता है:

\(K_{\text{rel}} \approx \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} m_0 c^2 + \frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4} m_0 c^2\)

अब, सापेक्षिक गतिज ऊर्जा की तुलना क्लासिकी गतिज ऊर्जा \(K_{\text{cl}} = \frac{1}{2} m_0 v^2\) से करने पर, हमें प्राप्त होता है:

के लिए, हमारे पास है:

\(1 + \frac{3}{4} \frac{v^2}{c^2} = 1.1 \Rightarrow \frac{3}{4} \frac{v^2}{c^2} = 0.1 \Rightarrow \frac{v^2}{c^2} = 0.133\)

अंत में, γ के लिए हल करने पर:

\(γ = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.133}} = 1.074\)

इस प्रकार, γ का मान लगभग 1.074 है।

सही विकल्प 1) है। 

अवधारणा:

L = L₀ √(1 - v²/C²)

• विशिष्ट आपेक्षिकता में, v वेग से गतिमान वस्तु गति की दिशा में **लंबाई संकुचन** से गुजरती है।
• संकुचित लंबाई L सूत्र द्वारा दी जाती है:
• y-अक्ष के अनुदिश लंबाई घटक अपरिवर्तित रहता है।
• हम x और y के अनुदिश लंबाई घटकों को हल करते हैं और x-घटक पर लंबाई संकुचन लागू करते हैं।

गणना:

अपने विरामस्थ तंत्र में मीटर की छड़ की लंबाई, L₀ = 1 m

x-अक्ष के साथ कोण, θ = 45°

छड़ का वेग, v = (1/√2) C

प्रकाश की चाल, C

⇒ विरामस्थ तंत्र में लंबाई के घटक:

L₀ₓ = L₀ cos(θ) = 1 × cos 45° = 1/√2

L₀ᵧ = L₀ sin(θ) = 1 × sin 45° = 1/√2

⇒ x-दिशा में लंबाई संकुचन:

Lₓ = L₀ₓ √(1 - v²/C²)

⇒ Lₓ = (1/√2) √(1 - (1/2))

⇒ Lₓ = (1/√2) × (√1/√2) = 1/2

⇒ फ्रेम S में कुल लंबाई:

L = √(Lₓ² + L₀ᵧ²)

⇒ L = √((1/2)² + (1/√2)²)

⇒ L = √(1/4 + 1/2)

⇒ L = √(3/4)

⇒ L = √3 / 2

∴ फ्रेम S में छड़ की लंबाई √3/2 मीटर है।

गणना:

प्रयोगशाला फ्रेम में 0.9c की चाल से विपरीत दिशाओं में गतिमान दो कणों के सापेक्ष वेग की गणना करने के लिए, हम आपेक्षिकीय वेग योग सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(v_{\text{relative}} = \frac{v_1 - v_2}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}\)

यह दिया गया है कि दोनों कण \(v_1 = 0.9c \) और \(v_2 = -0.9c\) पर गतिमान हैं, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

\(v_{\text{relative}} = \frac{0.9c - (-0.9c)}{1 - \frac{(0.9c)(-0.9c)}{c^2}}\)

समीकरण को सरल करने पर:

\(v_{\text{relative}} = \frac{1.8c}{1 - (-0.81)} = \frac{1.8c}{1 + 0.81} = \frac{1.8c}{1.81}\)

\(v_{\text{relative}} \approx 0.9945c\)

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

हल:

ध्यान दें कि यहाँ गैर-आपेक्षिकीय सन्निकटन मान्य नहीं है, क्योंकि \(v/c = 2/3\).

(a) हमारे पास समीकरण है:

\(t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)

​दिया गया मान \(v/c = 2/3\)  प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

\(t = 3.93\) सेकंड

सही विकल्प 1) है।

हल:

सापेक्षिक गतिज ऊर्जा \(K_{\text{rel}} = (γ - 1) m_0 c^2\), जहाँ \(γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) है। 

\(\frac{v^2}{c^2}\) की घातों में γ का प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(K_{\text{rel}} \approx \left(\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}\right) m_0 c^2\)

छोटे x के लिए सन्निकटन का उपयोग करते हुए, जहाँ \(\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \approx 1 + \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^2\) है, हमें प्राप्त होता है:

\(K_{\text{rel}} \approx \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} m_0 c^2 + \frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4} m_0 c^2\)

अब, सापेक्षिक गतिज ऊर्जा की तुलना क्लासिकी गतिज ऊर्जा \(K_{\text{cl}} = \frac{1}{2} m_0 v^2\) से करने पर, हमें प्राप्त होता है:

के लिए, हमारे पास है:

\(1 + \frac{3}{4} \frac{v^2}{c^2} = 1.1 \Rightarrow \frac{3}{4} \frac{v^2}{c^2} = 0.1 \Rightarrow \frac{v^2}{c^2} = 0.133\)

अंत में, γ के लिए हल करने पर:

\(γ = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.133}} = 1.074\)

इस प्रकार, γ का मान लगभग 1.074 है।

सही विकल्प 1) है। 

हल:

प्रकाश का विकिरण दाब और सूर्य का गुरुत्वाकर्षण बल दोनों दूरी के वर्ग के साथ घटते हैं। हम पृथ्वी की कक्षा में एक कण पर बलों के संतुलन का विश्लेषण करते हैं। मान लीजिए कि कण का घनत्व ρ = 5.0 x 10³ kg/m³, इसका द्रव्यमान m, और इसकी त्रिज्या r है।

विकिरण दाब इस प्रकार दिया गया है:

\(F_{\text{rad}} = \frac{S}{c} \times π r^2\)

जहाँ S सौर स्थिरांक है, और c प्रकाश की चाल है। गुरुत्वाकर्षण बल है:

\(F_{\text{gravity}} = m a_{\text{Sun}} = \frac{4}{3} π r^3 \rho a_{\text{Sun}}\)

सूर्य के गुरुत्वाकर्षण कर्षण से बचने के लिए, विकिरण दाब को गुरुत्वाकर्षण बल से अधिक होना चाहिए:

\(\frac{S}{c} π r^2 > \frac{4}{3} π r^3 \rho a_{\text{Sun}}\)

π को निरस्त करने और सरलीकरण करने पर:

\(\frac{S}{c} r^2 > \frac{4}{3} r^3 \rho a_{\text{Sun}}\)

सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी की कक्षा में त्वरण है:

\(a_{\text{Sun}} = 6 \times 10^{-3} \, \text{m/s}^2\)

r के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:

\(r < \frac{3}{4} \times \frac{S}{c} \times \frac{1}{\rho a_{\text{Sun}}}\)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(r < \frac{3}{4} \times \frac{1.4 \times 10^3}{3 \times 10^8} \times \frac{1}{(5 \times 10^3)(6 \times 10^{-3})}\)

गणना के बाद:

\(r < 1.2 \times 10^{-7} \, \text{m}\)

इसलिए, सबसे बड़े कण की त्रिज्या जो बाहर निकाला जा सकता है, लगभग 1.2 x 10^-7 m है।

सही विकल्प 4) है।

हल:

मान लीजिए कि कण का घनत्व ρ = 2.7 x 10³ kg/m³ है, और मान लीजिए कि r इसकी त्रिज्या है। यह मानते हुए कि गोला लेजर प्रकाश के स्थान की तुलना में बड़ा है, हम अनुमान लगा सकते हैं कि प्रकाश परावर्तित होता है, जो गोले पर लगाए गए बल को दोगुना कर देता है।

लेज़र किरण द्वारा लगाया गया बल F है:

\(F = 2 \times \frac{P}{c}\)

जहाँ P लेज़र किरण की शक्ति है, और c प्रकाश की गति है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(F = 2 \times \frac{2000}{3 \times 10^8} = 6.7 \times 10^{-6} \, \text{N}\)

प्रोत्थापन के लिए, ऊपर की ओर बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार दिया गया है:

\(F \geq mg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g\)

संतुलन पर, हमारे पास है:

\(6.7 \times 10^{-6} = \frac{4}{3} \pi r^3 \times (2.7 \times 10^3) \times 9.8\)

r के लिए हल करने पर:

\(r^3 = \frac{6.7 \times 10^{-6}}{1.1 \times 10^5} = 6.1 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\)

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

\(r = 3.9 \times 10^{-4} \, \text{m} = 0.39 \, \text{cm}\)

इस प्रकार, गोले की त्रिज्या 0.39 cm है।

सही विकल्प 2) है।

हल:

जुड़वाँ बच्चों की आयु के बीच समय अंतर ΔT निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(ΔT = \frac{1}{2} T_0 \left(\frac{v^2}{c^2}\right)\)

जहाँ T₀ यात्रा का कुल समय है, और v अंतरिक्ष यान का वेग है, जिसे बदलाव को छोड़कर स्थिर माना जाता है।

अल्फा सेंटौरी की दूरी 4.3 प्रकाश वर्ष है। यह देखते हुए कि अंतरिक्ष यान v = c/5 की चाल से यात्रा करता है, अंतरिक्ष यान 1 प्रकाश वर्ष 5 वर्षों में तय करता है। इस प्रकार, गमनागमन यात्रा का समय है:

\(T_0 = (2) \times (4.3) \times (5) = 43 \, \text{}\) वर्ष

अब, समय अंतर के समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करते हुए:

\(ΔT = \frac{1}{2} \times (43 \, \text{years}) \times \left(\frac{1}{5}\right)^2\)

परिणाम की गणना:

\(ΔT = 0.86 \, \) वर्ष, या लगभग 10 महीने।

इसलिए, अंतरिक्ष यात्री अपने जुड़वाँ भाई से लगभग 10 महीने छोटा है जो पृथ्वी पर रहा था।

सही विकल्प 2) है।