Lagrangian and Hamiltonian Formalism MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lagrangian and Hamiltonian Formalism - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

L = (15/2) m x² + 6mxẏ + 3my² − mg(x + 2y)

⇒ (∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0 ⇔ 15mẍ + 6mÿ + mg = 0 ........(1)

⇒ (∂L/∂ẏ) − ∂L/∂y = 0 ⇔ 6mẍ + 6mÿ + 2mg = 0 .......(2)

समीकरण 2(1) − (2) का प्रयोग करें

24mẍ + 6ẏ = 0 ⇒ d/dt (4x + y) = 0 ⇒ 4ẋ + ẏ = 0 ⇒ 12ẋ + 3ẏ = c

गणना:

हमें एक m द्रव्यमान का कण दिया गया है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में बिना घर्षण के y = ax² द्वारा वर्णित परवलयिक पथ के साथ फिसल रहा है, जहाँ a एक स्थिरांक है।

कण के लिए लैग्रेंजियन L को निर्धारित करने के लिए, हमें सिस्टम की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं पर विचार करने की आवश्यकता है।

कण की गतिज ऊर्जा T को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

 

$$T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)$$

चूँकि y = ax², समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

 

$$\dot{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (ax^2) = 2ax \dot{x}$$

गतिज ऊर्जा के व्यंजक में y˙" id="MathJax-Element-192-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">y˙y˙ $\dot{y}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

 

$$T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + (2ax \dot{x})^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + 4a^2 x^2 \dot{x}^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2$$

गुरुत्वाकर्षण के कारण कण की स्थितिज ऊर्जा V इस प्रकार दी गई है:

 

$$V = mgy = mg(ax^2) = mgax^2$$

लैग्रेंजियन L गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के बीच का अंतर है:

 

$$L = T - V = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 - mgax^2$$

अंतिम उत्तर: कण के लिए सही लैग्रेंजियन विकल्प 2 द्वारा दिया गया है:

 

$$\mathrm{L} = \frac{1}{2} \mathrm{~m}\left(1+4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}\right) \dot{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{mg\ ax}^{2}$$

स्पष्टीकरण:

संगत हैमिलटोनियन इस प्रकार दिया गया है:

\(H=\frac{P^2}{2m}+ax^2+V_0e^{−10x}\)

अब, स्पष्ट रूप से, यह p और x के बीच एक दीर्घवृत्ताकार संबंध नहीं है। इसलिए, हम विकल्प 3 और 4 को हटा सकते हैं।

• स्थितिज ऊर्जा \(V(x)=ax^2+V_0e^{−10x}\) का न्यूनतम मान x>0 पर है।
• जब हम ऊर्जा कम करते हैं, तो चरण स्थान बंद वक्र संभावित न्यूनतम पर सिकुड़ जाता है या हम कह सकते हैं कि स्थिर संतुलन पर।
• पहला ग्राफ \(x_0<0\) पर सिकुड़ना है।
• दूसरा ग्राफ \(x_0>0\) पर सिकुड़ता है। इसलिए, उत्तर है।

स्पष्टीकरण:

सामान्य निर्देशांकों के संदर्भ में प्रणाली के लिए गति के समीकरण i = 1, और i = 2 के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को लागू करके प्राप्त किए जाते हैं।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं: \(\frac d{dt} (\frac{∂L}{∂ẋᵢ}) - \frac{∂L}{∂xᵢ} = 0\) i = 1, 2 के लिए। इसलिए गति के समीकरण हैं \( \ddot x₁ - x₁ - 0.5x₂ = 0\) ...(1) & \(4\ddot x₂ - 0.5x₁ - x₂ = 0\) ....(2)

आइगेन वैल्यू (जो सामान्य मोड आवृत्तियों के वर्गों के अनुरूप है) के लिए अभिलक्षणिक समीकरण को हल करें, जो \( |m - λI| = 0\) के रूप में है, जहाँ m x में रैखिक पदों के गुणांकों का 2x2 मैट्रिक्स हैI 2x2 इकाई मैट्रिक्स है और λ आइगेन वैल्यू हैं।

यह समीकरण हमें आइगेनवैल्यू के लिए एक द्विघात समीकरण देता है: \((1 - λ)(4 - λ) - (0.5)(0.5) = λ² - 5λ + 4 - 0.25 = λ² - 5λ + 3.75 = 0\)

λ के लिए इस द्विघात समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है: \(λ = \frac {[5 ± \sqrt{(5)² - 15}]}{(2\times1)} = \frac {[5 ± \sqrt{(25 - 15)]}} { 2} = \frac{[5 ± \sqrt{10}]}{ 2} = \frac {[5 ± √10]} { 2 }\)

संगत आवृत्तियाँ इन आइगेनवैल्यू के वर्गमूल हैं: \(ω = \sqrt{(λ)} = \sqrt{\frac{5 ± √10}{ 2}}\)

इसलिए, हमारे पास दो आवृत्तियाँ हैं, ω₁ और ω₂: \( ω₁ = \sqrt{5 - √10}\times{ 2} = 0.4\) (लगभग, जब पूर्णांकित किया जाता है) \(ω₂ = \sqrt{\frac {[5 + √10]}{ 2} }= 1\)

 

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}} - {\partial L \over \partial q} = 0\)

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,\(̇ x\),\(̇ y\))

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{x}} - {\partial L \over \partial x} = 0\)

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{ y}} - {\partial L \over \partial y} = 0 \)

L^' = L(x,y,\(\dot x\),\(\dot{y}\))

\({d' \over dt'} {\partial L' \over \partial x} - {\partial L' \over \partial x} = ​​{d \over dt} {\partial L \over \partial x} - {\partial L \over \partial x}+ \ddot{y} = 0\)

⇒\(\dot{y} = c_1\)

Similarly \(\dot{x} = c_2\)

The correct answer is option (2).

Concept:

The Lagranges equation of motion of a system is given by

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}} - {\partial L \over \partial q} = 0\)

Calculation:

The Lagrangian L depends on 

L(x,y,\(̇ x\),\(̇ y\))

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{x}} - {\partial L \over \partial x} = 0\)

\({d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{ y}} - {\partial L \over \partial y} = 0 \)

L^' = L(x,y,\(\dot x\),\(\dot{y}\))

\({d' \over dt'} {\partial L' \over \partial x} - {\partial L' \over \partial x} = ​​{d \over dt} {\partial L \over \partial x} - {\partial L \over \partial x}+ \ddot{y} = 0\)

⇒\(\dot{y} = c_1\)

Similarly \(\dot{x} = c_2\)

The correct answer is option (2).

हल:

L = (15/2) m x² + 6mxẏ + 3my² − mg(x + 2y)

⇒ (∂L/∂ẋ) − ∂L/∂x = 0 ⇔ 15mẍ + 6mÿ + mg = 0 ........(1)

⇒ (∂L/∂ẏ) − ∂L/∂y = 0 ⇔ 6mẍ + 6mÿ + 2mg = 0 .......(2)

समीकरण 2(1) − (2) का प्रयोग करें

24mẍ + 6ẏ = 0 ⇒ d/dt (4x + y) = 0 ⇒ 4ẋ + ẏ = 0 ⇒ 12ẋ + 3ẏ = c

गणना:

हमें एक m द्रव्यमान का कण दिया गया है जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में बिना घर्षण के y = ax² द्वारा वर्णित परवलयिक पथ के साथ फिसल रहा है, जहाँ a एक स्थिरांक है।

कण के लिए लैग्रेंजियन L को निर्धारित करने के लिए, हमें सिस्टम की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं पर विचार करने की आवश्यकता है।

कण की गतिज ऊर्जा T को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

 

$$T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)$$

चूँकि y = ax², समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

 

$$\dot{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (ax^2) = 2ax \dot{x}$$

गतिज ऊर्जा के व्यंजक में y˙" id="MathJax-Element-192-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">y˙y˙ $\dot{y}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

 

$$T = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + (2ax \dot{x})^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + 4a^2 x^2 \dot{x}^2 \right) = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2$$

गुरुत्वाकर्षण के कारण कण की स्थितिज ऊर्जा V इस प्रकार दी गई है:

 

$$V = mgy = mg(ax^2) = mgax^2$$

लैग्रेंजियन L गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के बीच का अंतर है:

 

$$L = T - V = \frac{1}{2} m \left( 1 + 4a^2 x^2 \right) \dot{x}^2 - mgax^2$$

अंतिम उत्तर: कण के लिए सही लैग्रेंजियन विकल्प 2 द्वारा दिया गया है:

 

$$\mathrm{L} = \frac{1}{2} \mathrm{~m}\left(1+4 \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}\right) \dot{\mathrm{x}}^{2}-\mathrm{mg\ ax}^{2}$$

स्पष्टीकरण:

संगत हैमिलटोनियन इस प्रकार दिया गया है:

\(H=\frac{P^2}{2m}+ax^2+V_0e^{−10x}\)

अब, स्पष्ट रूप से, यह p और x के बीच एक दीर्घवृत्ताकार संबंध नहीं है। इसलिए, हम विकल्प 3 और 4 को हटा सकते हैं।

• स्थितिज ऊर्जा \(V(x)=ax^2+V_0e^{−10x}\) का न्यूनतम मान x>0 पर है।
• जब हम ऊर्जा कम करते हैं, तो चरण स्थान बंद वक्र संभावित न्यूनतम पर सिकुड़ जाता है या हम कह सकते हैं कि स्थिर संतुलन पर।
• पहला ग्राफ \(x_0<0\) पर सिकुड़ना है।
• दूसरा ग्राफ \(x_0>0\) पर सिकुड़ता है। इसलिए, उत्तर है।

स्पष्टीकरण:

सामान्य निर्देशांकों के संदर्भ में प्रणाली के लिए गति के समीकरण i = 1, और i = 2 के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को लागू करके प्राप्त किए जाते हैं।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं: \(\frac d{dt} (\frac{∂L}{∂ẋᵢ}) - \frac{∂L}{∂xᵢ} = 0\) i = 1, 2 के लिए। इसलिए गति के समीकरण हैं \( \ddot x₁ - x₁ - 0.5x₂ = 0\) ...(1) & \(4\ddot x₂ - 0.5x₁ - x₂ = 0\) ....(2)

आइगेन वैल्यू (जो सामान्य मोड आवृत्तियों के वर्गों के अनुरूप है) के लिए अभिलक्षणिक समीकरण को हल करें, जो \( |m - λI| = 0\) के रूप में है, जहाँ m x में रैखिक पदों के गुणांकों का 2x2 मैट्रिक्स हैI 2x2 इकाई मैट्रिक्स है और λ आइगेन वैल्यू हैं।

यह समीकरण हमें आइगेनवैल्यू के लिए एक द्विघात समीकरण देता है: \((1 - λ)(4 - λ) - (0.5)(0.5) = λ² - 5λ + 4 - 0.25 = λ² - 5λ + 3.75 = 0\)

λ के लिए इस द्विघात समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है: \(λ = \frac {[5 ± \sqrt{(5)² - 15}]}{(2\times1)} = \frac {[5 ± \sqrt{(25 - 15)]}} { 2} = \frac{[5 ± \sqrt{10}]}{ 2} = \frac {[5 ± √10]} { 2 }\)

संगत आवृत्तियाँ इन आइगेनवैल्यू के वर्गमूल हैं: \(ω = \sqrt{(λ)} = \sqrt{\frac{5 ± √10}{ 2}}\)

इसलिए, हमारे पास दो आवृत्तियाँ हैं, ω₁ और ω₂: \( ω₁ = \sqrt{5 - √10}\times{ 2} = 0.4\) (लगभग, जब पूर्णांकित किया जाता है) \(ω₂ = \sqrt{\frac {[5 + √10]}{ 2} }= 1\)