Special Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

चूँकि, {x}+[x] = x

⇒x - [x] = {x}

⇒ 0≤ x - [x] < 1 (0 ≤ {x} < 1)

⇒ -1 ≤ [x] -x ≤ 0

परन्तु x धनात्मक और पूर्णांक नहीं है; तब

⇒ -1 < [x]-x < 0

⇒ -1 < y < 0

⇒ [y] = -1

∴ विकल्प (a) सही है।

दिया गया है:

8^k = 2

प्रयुक्त सूत्र:

log_b a = c ^{यदि और केवल यदि} b^c = a

गणना:

दिया गया है: 8^k = 2

⇒ log₈ 2 = k

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

log₁₀ 10000 = ?

प्रयुक्त सूत्र:

log_b a = c ⟺ b^c = a

गणना:

log₁₀ 10000 = ?

10000 = 10⁴

⇒ log₁₀ 10000 = 4

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

स्पष्टीकरण -

हमारे पास है,

\(4^x+2^{2 x-1}=3^{x+\frac{1}{2}}+3^{x-\frac{1}{2}}\)

⇒ 2 × 2^2x-1 + 2^2x-1 = \(3^{x-\frac{1}{2}} \) × 3 + \(3^{x-\frac{1}{2}}\)

⇒ 2^2x-1 (2 + 1) = \(3^{x-\frac{1}{2}}\) (3 + 1)

⇒ 22x-1 × 3 = \(3^{x-\frac{1}{2}}\) × 4

⇒ 22x-3 = \(3^{x-\frac{3}{2}}\)

⇒ \(\left(2^2\right)^{x-\frac{3}{2}}\) = \(3^{x-\frac{3}{2}} \)

⇒ \(4^{x-\frac{3}{2}}\) = \(3^{x-\frac{3}{2}}\)

⇒ \(x-\frac{3}{2}\) = 0

⇒ \(x=\frac{3}{2}\)

​अतः विकल्प (2) सही है।

दिया गया है:

log (x + 3) log (x + 5) = log 35

प्रयुक्त सूत्र:

log(a) log(b) = log(c)

गणना:

log (x + 3) log (x + 5) = log 35

⇒ log (x + 3) log (x + 5) = log 5 × log 7

⇒ (x + 3) (x + 5) = 35

⇒ x² + 8x + 15 = 35

⇒ x² + 8x - 20 = 0

⇒ (x + 10)(x - 2) = 0

⇒ x = -10 या x = 2

चूँकि x धनात्मक होना चाहिए, इसलिए x = 2

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

लघुगणक का सूत्र:

यदि \(\rm lo{g_a}x = b \) तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \log_{3}{(x^{4} - x^3)} - \log_{3} (x - 1) = 3\)

\(\rm \Rightarrow \log_{3} \left[{\frac{(x^{4} - x^3)}{(x - 1)}} \right ] = 3\)        (∵ \(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\))

\(\rm \Rightarrow \log_{3} \left[{\frac{x^3(x-1)}{(x - 1)}} \right ] = 3\)

\(\rm \Rightarrow \log_{3} x^3 = 3\)

\(\Rightarrow \rm 3\log_3 x = 3\)               (∵ \(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)) 

\(\Rightarrow \rm \log_3 x = 1 \\\therefore x=3\)

धारणा:

\({a^b} = x \Leftrightarrow lo{g_a}x = b\), यहाँ \(a \ne 1\) और a > 0 और x कोई भी संख्या हो।

गणना:

दिया हुआ: 92^1/5 = 4

जैसा कि हम जानते हैं कि, \({a^b} = x \Leftrightarrow lo{g_a}x = b.\)

\({a^b} = x\) के साथ 921/5 = 4 की तुलना करके हमारे पास है

यहाँ, a = 92, b = 1 / 5 और x = 4

धारणा:

लघुगणक गुण

1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\({\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\({\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\({\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

4. आधार का परिवर्तन नियम

\({\log _m}n = \frac{{{{\log }_a}n}}{{{{\log }_a}m}}\)

यदि m = n;
⇒ \({\log _m}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}m}} = 1\)

5. \({\log _m}n = \frac{1}{{{{\log }_n}m}}\)

गणना:

यहाँ, हमें \({\log _7}{\rm{\;}}{\log _7}\sqrt {7\sqrt {7\sqrt 7 } } \) का मूल्य ज्ञात करना है

\({\log _7}{\rm{\;}}{\log _7}\sqrt {7\sqrt {7\sqrt 7 } } \)

= log₇ log₇ (7^1/2 × 7^1/4 × 7^1/8)

= log₇ log₇ (7(^{1/2 + 1/4 + 1/8)})

= log₇ log₇ (7^{(4 + 2 + 1)/8})

= log₇ log₇ (7^7/8)

घात नियम से;

= log₇ (7/8) log₇7

= log₇ (7/8) × 1 = log₇ (7/8) = log₇ 7 – log₇ 8

= 1 – log₇ 8 = 1 – log₇ 2³

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

लघुगणक का सूत्र:

यदि \(\rm lo{g_a}x = b \) तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \log_{4}{(x^{2} - 1)} - \log_{4} (x + 1) = 1\)

\(\rm ⇒ \log_{4} \left[{\frac{(x^{2} - 1)}{(x + 1)}} \right ] = 1\)        (∵ \(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\))

\(\rm ⇒ \log_{4} \left[{\frac{(x - 1)(x+1)}{(x + 1)}} \right ] = 1\)

\(\rm ⇒ \log_{4} (x -1) = 1\)

⇒ (x - 1) = 4

∴ x = 5

अवधारणा:

लघुगणक:

• यदि ab = x तो हम कहते हैं कि loga x = b
• loga a = 1
• loga (xy) = loga x + loga y

गणना:

हम जानते हैं कि 80 = 23 × 10

दिए गए लघुगणक को log 2 में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

log10 80

= log10 (23 × 10)

= log10 23 + log10 10

= 3 (log10 2) + 1

= 3(0.3010) + 1

= 1.9030

दिया गया है:

5x-1 = (2.5)log105

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a^x = n है, तो x = log_aⁿ

log_a^b = log_e^b/log_e^a

गणना:

हमारे पास है, 5x-1 = (2.5)log105

⇒ (2.5)log105 = 5x-1 

⇒ log₁₀⁵  = log_2.5^5x-1 

⇒ log105  = (x - 1) log2.55

⇒ (x - 1) = (log105)/(log2.55)

⇒ (x - 1) = log₁₀^2.5

⇒ x = log102.5 _{+ 1}

⇒ x = log102.5 ₊ log₁₀¹⁰

⇒ x = log1010 × 2.5

⇒ x = log1025

⇒ x = log105²

⇒ x = 2log10​5

∴ x का मान 2log10​5 है।

धारणा:

लघुगणक गुण

1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\({\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\({\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\({\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

4. आधार का परिवर्तन नियम

\({\log _m}n = \frac{{{{\log }_a}n}}{{{{\log }_a}m}}\)

यदि m = n;

⇒ \({\log _m}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}m}} = 1\)

5. \({\log _m}n = \;\frac{1}{{{{\log }_n}m}}\)

गणना:

यहाँ, हमें \({\log _3}{\rm{\;}}{\log _3}\sqrt {3\sqrt 3 }\) का मूल्य ज्ञात करना है

अब

\({\log _3}{\rm{\;}}{\log _3}\sqrt {3\sqrt 3 }\) = log₃ log₃ (3^1/2 × 3^1/4)

= log₃ log₃ (3^{(1/2 + 1/4)})

= log₃ log₃ (3^{(2 + 1)/4})

= log₃ log₃ (3^3/4)

घात नियम से;

= log₃ [(3/4)× log₃3]                [∵ log_a (m) ⁿ = n × log_a (m)]

= log₃ (3/4)                  (∵ log_m m = 1)

= log₃ (3/4) = log₃ 3 – log₃ 4

= 1 – log₃ 4 = 1 – log₃ 2²

= 1 – 2 log₃ 2

संकल्पना:

प्रयोग किया गया सूत्र:

• \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
• Log_a M + log_a N = log_a (MN)

क्रमगुणित:

• n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × (n – 1) × n

गणना:

 \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) का प्रयोग करने पर 

\(\frac{1}{{{{\log }_2}{\rm{N}}}} + \frac{1}{{{{\log }_3}{\rm{N}}}} + \ldots + \frac{1}{{{{\log }_{100}}{\rm{N\;}}}} = {\log _{\rm{N}}}2 + {\log _{\rm{N}}}3 + \ldots + {\log _{\rm{N}}}100\)

= log_N (2 × 3 × ⋯ × 100)

= log_N (100!)

\(= \frac{1}{{{{\log }_{100!}}N}}\)

संकल्पना:

लघुगुणक नियम 

log mⁿ = n log m

गणना:

माना कि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं। 

⇒ y = x + 1 और z = y + 1

⇒ z = x + 2

माना कि log (1 + xz) है। 

= log [1 + x(x+2)]

= log [1 + x² + 2x]

= log (1 + x)²

= 2 log (1 + x)

= 2 log y

अतः यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, तो log (1 + xz) का मान 2 log y है। 

संकल्पना:

• आधार परिवर्तन प्रमेय से हम जानते हैं कि \({\log _b}a = \frac{{{{\log }_x}a}}{{{{\log }_x}b}} = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\).
• log _x (x) = 1

गणना:

दिया गया है कि \(\left\{ {\frac{1}{{{{\log }_9}60}} + \frac{1}{{{{\log }_{16}}60}} + \frac{1}{{{{\log }_{25}}60}}} \right\}\)

आधार परिवर्तन से हम इसे निम्न रूप में लिखा सकते हैं -

⇒ log₆₀9 + log6016 +log6025

लघुगुणक के गुणनफल नियम से हम इसे निम्न रूप में फिर से लिख सकते हैं -

⇒ log₆₀(9 x 16 x 25) = log₆₀(3600)

⇒ log₆₀ (60)² = 2 log₆₀(60) = 2

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।