Slope of a Line MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Slope of a Line - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा की ढलान m =

अभिलंब की ढलान = =

गणना:

दिया गया वक्र y = 2x³ - 5x² + x - 2

समीकरण को x के सापेक्ष अवकलन करने पर

= 6x² - 10x + 1

बिंदु (1, -1) पर ढलान

x = 1 पर = 6(1)² - 10(1) + 1

= 6 - 10 + 1

= -3

अभिलंब की ढलान (m') =

m' = =

बिंदु (1, -1) पर वक्र के अभिलंब की ढलान 1/3 है।

∴ विकल्प 2 सही है। 

गणना:

दिया गया है,

रेखा 1:

रेखा 2:

रेखा 1 की ढाल,

रेखा 2 की ढाल,

लंबवत रेखाओं के लिए, .

mn = 1

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

रेखा x - 2y = 1 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₁ = 1/2

रेखा 4x + 2y = 3 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₂ = -2

अब, m₁m₂ =

इसलिए, विकर्ण परस्पर लंब हैं।

∴ चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।

संप्रत्यय:

दो रेखाओं के बीच का कोण और Y-अंतःखंड:

• इस समस्या में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली और दूसरी रेखा के साथ 60° का कोण बनाने वाली रेखा L का y-अंतःखंड ज्ञात करना शामिल है।
• दो रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा दिया गया है:
• tan(θ) = |(m₁- m₂) / (1 + m₁× m₂)|, जहाँ m₁ और m₂ दो रेखाओं की ढाल हैं।
• एक बार रेखा L का समीकरण निर्धारित हो जाने पर, y-अंतःखंड ज्ञात किया जा सकता है।

गणना:

दी गई रेखा 2x - y + 3 = 0, हम पहले इस रेखा की ढाल की गणना करते हैं:

ढाल-अंतःखंड रूप में समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

y = 2x + 3

इस रेखा की ढाल (m1) 2 है।

रेखा L बिंदु (2, 0) से गुजरती है और दी गई रेखा के साथ 60° का कोण बनाती है। रेखा L की ढाल, m2, कोण सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

tan(60°) = |(m₂ - 2) / (1 + 2 × m₂)|

चूँकि tan(60°) = √3, समीकरण बन जाता है:

√3 = |(m₂ - 2) / (1 + 2m₂)|

अब हम m₂ के लिए इस समीकरण को हल करते हैं:

√3(1 + 2 m2) = |m₂ - 2|

सरलता के लिए, मान लें कि m₂ - 2 > 0 (चूँकि कोण न्यून है और रेखा धनात्मक X-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है, m2 > 2)। इसलिए:

√3(1 + 2 m2) = m2 - 2

√3 + 2√3 × m2 = m2 - 2

2√3 × m2 - m2 = -2 - √3

m2(2√3 - 1) = -2 - √3

m2 = (-2 - √3) / (2√3 - 1)

अब हम रेखा L का y-अंतःखंड की गणना करते हैं। रेखा L का समीकरण है:

y - 0 = m2(x - 2)

y = m2(x - 2)

y-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए x = 0 प्रतिस्थापित करने पर:

y = m2(0 - 2)

y = -2 × m2

y-अंतःखंड की गणना करने के लिए इस समीकरण में m2 का मान प्रतिस्थापित करें।

इसलिए, रेखा L का y-अंतःखंड है: 

सही उत्तर है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

1. अपरिभाषित प्रवणता वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।

2. एक रेखा की प्रवणता m = tan θ द्वारा दी जाती है, जहाँ θ धनात्मक X-अक्ष के साथ रेखा द्वारा बनाया गया कोण है।

3. प्रवणता m₁ और m₂ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया गया है:

रेखा L, (-2, -3) से गुजरती है और इसकी प्रवणता अपरिभाषित है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, इसका समीकरण x = -2 है।

रेखा ax - 2y + 3 = 0 की प्रवणता है।

L और ax - 2y + 3 = 0 के बीच का कोण 45° है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, रेखा ax - 2y + 3 = 0, y-अक्ष के साथ 45° या 135° पर आनत होनी चाहिए।

⇒ = tan 45° = 1 या = tan 135° = -1

चूँकि a > 0, = 1 ⇒ a = 2

रेखा x + ay - 4 = 0, x + 2y - 4 = 0 बन जाती है।

इस रेखा की प्रवणता है।

मान लीजिए θ इस रेखा द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।

⇒ tan θ =

चूँकि, प्रवणता ऋणात्मक है, कोण अधिक कोण है।

⇒ θ =

∴ रेखा x + ay - 4 = 0 द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

धारणा:

• अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान  है
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

माना कि रेखा 2x - 5y + 4 = 0 की ढलान m₁ है और बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) को जोडनेवाली रेखा की ढलान m₂ है 

अब रेखा की ढलान = m₁ = 2/5

दी गई रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,

∴ m1 m2 = -1

⇒ -4 = -5 × (α -1)

⇒ (α -1) = 4/5

⇒ α = (4/5) + 1 = 9/5

संकल्पना:

बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

गणना:

दिया गया है: बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है। 

चूँकि हम जानते हैं, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

⇒ 8 = 

⇒ 8 × 2 = 2 - x

⇒ 16 = 2 - x

∴ x = -14

अवधारणा :

यदि θ रेखा l का झुकाव है तो

एक रेखा की ढलान को m = tan θ, θ ≠ 90° से दर्शाया जाता है

गणना :

दिया गया: रेखा एक धनात्मक दिशा में x-अक्ष के संबंध में 30° बनाती है

∵ रेखा का झुकाव 30° है यानी θ = 30°

जैसा कि हम जानते हैं कि एक रेखा की ढलान को m = tan θ द्वारा दिया जाता है

तो, दी गई रेखा की ढलान m = tan 30 ° =

संकल्पना:

यदि ढलान m और n वाली दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं तो mn = -1 है। 

बिंदु (x₁, y₁) और (x2, y2) से होकर गुजरने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: m = 

गणना:

बिंदु (-1, 2) और (3, 6) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान  है

बिंदु (4, 8) और (x, 12) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान  है

लंबवत रेखाओं के ढलान के गुणनफल का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ 4 = (4 - x)

⇒ x = 0

संकल्पना:

एक रेखा का सामान्य समीकरण y = mx + c है, जहाँ m प्रवणता है।

गणना:

दिया गया समीकरण 4x + 3y - 4 = 0 है

⇒ 3y = -4x + 4

⇒ y = (-4/3)x + 4/3

इसे y = mx + c से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

प्रवणता, m = -4/3

अत:, रेखा की प्रवणता  है।

अवधारणा :

एक रेखा की ढलान को tan α द्वारा दिया जाता है और इसे m द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी m = tan α, जहां α ≠ π/2 और यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जो एक दी गई रेखा धनात्मक दिशा में X- अक्ष के संबंध में बनाती है।

नोट :

• X -अक्ष या X - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan 0° = 0

• Y - अक्ष या Y - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan π/2 = ∞

• बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है:

गणना :

दिया गया: बिंदुओं (2, 5) और (x, 3) से गुजरने वाली रेखा की ढलान 2 है

यहाँ, हमें x का मान ज्ञात करना है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है:

यहाँ, x1 = 2, y1 = 5, x2 = x, y2 = 3 और m = 2।

⇒

⇒ 2x - 4 = - 2

⇒ 2x = 2

⇒ x = 1

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा :

एक रेखा की ढलान को tan α द्वारा दिया जाता है और इसे m द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी m = tan α, जहां α ≠ π/2 और यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जो एक दी गई रेखा धनात्मक दिशा में X- अक्ष के संबंध में बनाती है।

नोट :

• X -अक्ष या X - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan 0° = 0

• Y - अक्ष या Y - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan π/2 = ∞

• बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है:

• यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं तो उनकी ढलान समान है।

• यदि क्रमशः ढलान m1 और m2 के साथ दो रेखाएँ L₁ और L₂ लंबवत हैं तो m₁ × m₂ = - 1

गणना :

यहां, हमें x का मान ज्ञात करना है कि बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखाएं बिंदुओं (3, - 3) और (5, - 9) के माध्यम से रेखा के लंबवत हैं ।

बिंदुओं (3, - 3) और (5, - 9) के माध्यम से रेखा की ढलान का पता लगाएं।

जैसा कि हम जानते हैं कि बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है:

यहाँ, x1 = 3, y1 = - 3, x2 = 5, y2 = - 9।

⇒

∵ बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखाएं बिंदुओं (3, - 3) और (5, - 9) के माध्यम से रेखा के लंबवत हैं

तो माना कि बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखा की ढलान m₂ है

⇒ - 3 × m2 = - 1

⇒ m2 = 1/3

तो, बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखा की ढलान 1/3 है

⇒

⇒ x + 2 = 6

⇒ x = 4

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

तीन बिंदुओं की समरूपता:

यदि XY-तल में A, B और C कोई तीन बिंदु हैं, तो वे एक रेखा पर स्थित होंगे, अर्थात, संरेखीय यदि और केवल यदि AB का ढलान = BC का ढलान

(x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा के ढलान को m =  द्वारा दिया गया है 

गणना:

मान लीजिए चार बिंदु A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2) और C(2, 4) हैं

अब,

m₁ = OA का ढलान = 2

m2 = OB का ढलान = 2

m₃ = OC का ढलान = 2

चूंकि m1 = m2 = m3 

अतः, बिंदु (-1, -2), (0, 0), (1, 2) और (2, 4) संरेखीय हैं

अवधारणा :

एक रेखा की ढलान को tan α द्वारा दिया जाता है और इसे m द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी m = tan α, जहां α ≠ π/2 और यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जो एक दी गई रेखा धनात्मक दिशा में X- अक्ष के संबंध में बनाती है।

नोट :

• X -अक्ष या X - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan 0° = 0

• Y - अक्ष या Y - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan π/2 = ∞

• बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है: 

गणना :

यहां, हमें एक रेखा की ढलान का पता लगाना है, जो बिन्दुओं (- 2, 3) और (8, - 5) से होकर गुजरती है

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है: 

यहाँ, x1 = - 2, y1 = 3, x2 = 8 और y2 = - 5

तो, दी गई रेखा की ढलान  है

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

वक्र के स्पर्श रेखा का ढलान:

• f(x) का पहला अवकलज। 
• x पर ढलान ज्ञात करने के लिए f '(x) में सांकेतिक बिंदु के x मान को रखने पर। 

गणना:

वक्र  √x + √y = 1

अतः विकल्प (2) सही है।