Properties of Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

रेखा 1: \(m^2x + ny - 1 = 0 \)

रेखा 2: \(n^2x - my + 2 = 0 \)

रेखा 1 की ढाल, \(m_1 = -\dfrac{m^2}{n}\)

रेखा 2 की ढाल, \(m_2 = \dfrac{n^2}{m}\)

लंबवत रेखाओं के लिए, \(m_1 \times m_2 = -1\).

\(\frac{-m^2}{n} \times \frac{n^2}{m} = -1\)

mn = 1

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

रेखा x - 2y = 1 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₁ = 1/2

रेखा 4x + 2y = 3 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₂ = -2

अब, m₁m₂ = \(\frac{1}{2}(-2) = -1\)

इसलिए, विकर्ण परस्पर लंब हैं।

∴ चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।

संप्रत्यय:

त्रिविमीय में दो रेखाओं के बीच का कोण:

• अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिशात्मक सदिशों के बीच के कोण का उपयोग करते हैं।
• यदि दिशात्मक सदिश a और b हैं, तो उनके बीच का कोण θ इस प्रकार दिया गया है:
• cosθ = (a · b) / (|a| x |b|)
• यहाँ, a · b सदिशों का अदिश गुणनफल है, और |a| सदिश a का परिमाण है।

अदिश गुणनफल:

• सदिशों a = a₁i + a₂j + a₃k और b = b₁i + b₂j + b₃k का अदिश गुणनफल है:
• a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

गणना:

दिया गया है, पहली रेखा का दिशात्मक सदिश = 4i + 6j + 12k

माना a = 4i + 6j + 12k

दूसरी रेखा का दिशात्मक सदिश = 5i + 8j − 4k

माना कि b = 5i + 8j − 4k

⇒ a · b = (4)(5) + (6)(8) + (12)(−4)

⇒ a · b = 20 + 48 − 48 = 20

⇒ |a| = √(4² + 6² + 12²) = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14

⇒ |b| = √(5² + 8² + (−4)²) = √(25 + 64 + 16) = √105

⇒ cosθ = (a · b) / (|a| x |b|) = 20 / (14 x √105)

⇒ cosθ = 2 / (√105 / 7)

⇒ θ = cos⁻¹(20 / (14√105))

⇒ θ = cos−1(10 / (7√105))

∴ अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

संकल्पना: 

y = mx + c के रूप की एक रेखा की ढ़ाल है

m = tan θ और θ = tan^-1(m)

m₁ और m₂ ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = \(\Big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\Big|\)

गणना: 

दिया गया है, एक रेखा L की ढाल 2 है।

m₁ और m₂ ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = \(\Big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\Big|\)

दिया है कि m₁ और m₂ ढ़ाल वाली रेखाएं L के साथ कोण \(\frac{\pi}{6}\) पर आनत हैं।

∴ tan \(\frac{\pi}{6}\) = \(\left| \frac{ m_1- 2}{1+2m_1} \right|\)

\(\frac{1}{√{3}}\) = \(\left| \frac{m_1-2}{1+2m_1} \right|\)

\(\frac{m_1-2}{1+2m_1}=\frac{1}{\sqrt3}\) , \(\frac{m_1-2}{1+2m_1}=-\frac{1}{\sqrt3}\)

\(m_1=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\), \(m_1=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)

इसीतरह, \(m_2=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\), \(m_2=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)

 \(m_1=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\)और​ \(m_2=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\) लीजिये 

m₁ + m₂ = \(\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\) \(+\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)

\(m_1+m_2=\frac{-4\sqrt 3-6-2-\sqrt3+4\sqrt3-6-2+\sqrt3}{4-3}\)

∴ m1 + m2 = - 16

सही उत्तर विकल्प (4) है।

प्रयुक्त अवधारणा:

1. अपरिभाषित प्रवणता वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।

2. एक रेखा की प्रवणता m = tan θ द्वारा दी जाती है, जहाँ θ धनात्मक X-अक्ष के साथ रेखा द्वारा बनाया गया कोण है।

3. प्रवणता m₁ और m₂ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण \(tan θ = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|\) द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया गया है:

रेखा L, (-2, -3) से गुजरती है और इसकी प्रवणता अपरिभाषित है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, इसका समीकरण x = -2 है।

रेखा ax - 2y + 3 = 0 की प्रवणता \(\frac{a}{2}\) है।

L और ax - 2y + 3 = 0 के बीच का कोण 45° है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, रेखा ax - 2y + 3 = 0, y-अक्ष के साथ 45° या 135° पर आनत होनी चाहिए।

⇒ \(\frac{a}{2}\) = tan 45° = 1 या \(\frac{a}{2}\) = tan 135° = -1

चूँकि a > 0, \(\frac{a}{2}\) = 1 ⇒ a = 2

रेखा x + ay - 4 = 0, x + 2y - 4 = 0 बन जाती है।

इस रेखा की प्रवणता \(- \frac{1}{2}\) है।

मान लीजिए θ इस रेखा द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।

⇒ tan θ = \(- \frac{1}{2}\)

चूँकि, प्रवणता ऋणात्मक है, कोण अधिक कोण है।

⇒ θ = \(\pi - tan^{-1}(\frac{1}{2})\)

∴ रेखा x + ay - 4 = 0 द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण \(\pi - tan^{-1}(\frac{1}{2})\) है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y = x + 4 और y =  2x - 3 हैं। 

माना कि पहली और दूसरी रेखा की ढलान क्रमशः m₁ और m₂ हैं। 

इसलिए, m₁ = 1 और m₂ = 2

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)

⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{1 - 2}{1+1 \times 2} \right | = \frac 1 3\)

∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 3 \right)\)

संकल्पना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)

जहाँ a और b क्रमशः x और y - अक्ष पर अंतखंड हैं। 

गणना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)

यह दिया गया है कि दोनों अंतराल बराबर हैं इसलिए हमारे पास a = b है। 

इसलिए, रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a} =1\\ \dfrac{x+y}{a} = 1\\ x+y = a\\ y = -x + a\)

इसलिए, ढलान-अंतखंड रूप y = mx + c के साथ तुलना करने पर हम देखते हैं कि रेखा का ढलान -1 है। 

हम जानते हैं कि ढलान को \(\rm m = \tan \theta\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

जहाँ, \(\theta\) , x - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है। 

अतः दी गयी स्थिति में हमें\(\tan\theta=-1\implies\theta=135^{\circ}\) प्राप्त होता है। 

धारणा:

• रेखा का ढलान अंतःखंड रूप: y = mx + c, जहां 'm' रेखा की ढलान है और 'c' y - अंतःखंड है।
• एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप है: y − y₁ = m(x − x₁)
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है।
• यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

दिया हुआ: 3x + y = 7

⇒ y = -3x + 7

रेखा की ढलान = m = -3

तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m = 1/3 है

ढलान "1/3" के साथ (1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

y – 1 = (1/3) (x – 1)

⇒ 3y – 3 = x – 1

⇒ 3y = x + 2

⇒ 3y - x = 2

x- अंतःखंड के लिए y = 0

∴ x = -2

तो रेखा का x- अंतःखंड -2 है

संकल्पना:

दो रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

माना कि पहली और दूसरी रेखा क्रमशः m1 और m2  हैं,

इसलिए, m1 = \(\sqrt 3\) और m2 = \(\frac {1}{\sqrt 3}\)

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{\sqrt 3 - \frac {1}{\sqrt 3}}{1+\sqrt 3 \times \frac {1}{\sqrt 3}} \right |\)

⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{\frac{3 - 1}{\sqrt 3}}{1+1} \right | = \frac {1} {\sqrt3}\)

∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 {\sqrt3} \right)\) = \(\rm \frac {\pi}{6}\)

धारणा:

• अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान \(\frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2}\; - \;{x_1}}}\) है
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

माना कि रेखा 2x - 5y + 4 = 0 की ढलान m₁ है और बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) को जोडनेवाली रेखा की ढलान m₂ है 

\( {{\rm{m}}_2} = \frac{{{\rm{3 }} - 5}}{{{\rm{α }} - 1}} = \frac{-2}{{{\rm{α }} - 1}}\)

अब रेखा की ढलान = m₁ = 2/5

दी गई रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,

∴ m1 m2 = -1

\( ⇒ {\rm{\;}}\frac{{ - 2}}{{{\rm{α }} - 1}}{\rm{\;}} × {\rm{\;}}\frac{2}{5} = \; - 1\)

⇒ -4 = -5 × (α -1)

⇒ (α -1) = 4/5

⇒ α = (4/5) + 1 = 9/5

संकल्पना:

यदि तीन बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) संरेखीय हैं, तो तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है। 

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{x}}_1}}&{{{\rm{y}}_1}}&1\\ {{{\rm{x}}_2}}&{{{\rm{y}}_2}}&1\\ {{{\rm{x}}_3}}&{{{\rm{y}}_3}}&1 \end{array}} \right|{\rm{\;}} = {\rm{\;}}0\)

या 

यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु संरेखीय हैं, तो बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है। 

उदाहरण के लिए, माना कि तीन बिंदु A, B और C संरेखीय हैं, तो 

AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान 

यदि दो बिंदु \(({{\rm{x}}_1},{{\rm{y}}_1}){\rm{\;and\;}}\left( {{{\rm{x}}_2},{\rm{\;}}{{\rm{y}}_2}} \right)\) हैं, तो रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\Rightarrow \left( {\bf{m}} \right) = \;\frac{{{{\bf{y}}_2} - {{\bf{y}}_1}}}{{{{\bf{x}}_2} - {{\bf{x}}_1}}}{\rm{\;}}\)

गणना:

दिया गया है: बिंदु (-2, -5), (2, -2) और (8, a) संरेखीय हैं। 

\(\begin{vmatrix} -2 &-5 &1 \\ 2 &-2 &1 \\ 8& \rm a &1 \end{vmatrix} = 0 \\\Rightarrow -2{(-2-\rm a)}-(-5)(2-8)+1(2a+16)=0\\\Rightarrow4+2\rm a-30+2\rm a + 16 = 0\\\Rightarrow 4\rm a-10=0\\\Rightarrow 4\rm a = 10\\\therefore \rm a = \frac{5}{2}\)

संकल्पना:

• रेखा का ढलान अन्तःखण्ड रूप: y = mx + c, जहाँ ‘m’ रेखा का ढलान है और ‘c’, y - अन्तःखण्ड है। 
• एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप निम्न है: y - y₁ = m(x - x₁)
• जब दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 है।
• यदि m रेखा का ढलान है, तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m है। 

गणना:

दिया गया है: 3x + y = 3

⇒ y = -3x + 3

रेखा का ढलान = m = -3

तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m = 1/3 है। 

ढलान "1/3" के साथ (2, 2) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्न है

y - 2 = (1/3) (x - 2)

⇒ 3y - 6 = x - 2

⇒ 3y = x + 4

\(\Rightarrow {\rm{y}} = {\rm{\;}}\frac{1}{3}{\rm{x}} + {\rm{\;}}\frac{4}{3}\)

अतः रेखा का y - अंतःखंड 4/3 है। 

संकल्पना:

बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

गणना:

दिया गया है: बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है। 

चूँकि हम जानते हैं, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

⇒ 8 = \(\rm \frac{{{2}\; - \;{x}}}{{{3} - {1}}}\)

⇒ 8 × 2 = 2 - x

⇒ 16 = 2 - x

∴ x = -14

अवधारणा :

यदि θ रेखा l का झुकाव है तो

एक रेखा की ढलान को m = tan θ, θ ≠ 90° से दर्शाया जाता है

गणना :

दिया गया: रेखा एक धनात्मक दिशा में x-अक्ष के संबंध में 30° बनाती है

∵ रेखा का झुकाव 30° है यानी θ = 30°

जैसा कि हम जानते हैं कि एक रेखा की ढलान को m = tan θ द्वारा दिया जाता है

संकल्पना:

रेखा का अंतःखंड रूप: \(\rm \frac {x}{a} + \rm \frac {y}{b} = 1\), जहाँ, a = x-अंतःखंड और b = y-अंतःखंड 

गणना:

हमारे पास रेखा \(\rm \frac {x}{a} + \rm \frac {y}{b} = 1\) का अंतःखंड रूप है। 

यहाँ, रेखा निर्देशांक अक्षों पर बराबर अंतःखंड बनाती है। 

इसलिए, a = b

⇒ x  + y = a

(4, 3) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा 

∴ (4) + (3) = a

⇒ a = 7

इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण: x + y = 7

अतः विकल्प (1) सही है।