Slope of a Line MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Slope of a Line - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा की ढलान m = \(\rm dy\over dx\)

अभिलंब की ढलान = \(\rm -{1\over m}\) = \(\rm -{1\over {dy\over dx}}\)

गणना:

दिया गया वक्र y = 2x³ - 5x² + x - 2

समीकरण को x के सापेक्ष अवकलन करने पर

\(\rm dy\over dx\) = 6x² - 10x + 1

बिंदु (1, -1) पर ढलान

\(\rm dy\over dx\) x = 1 पर = 6(1)² - 10(1) + 1

\(\rm dy\over dx\) = 6 - 10 + 1

\(\rm dy\over dx\) = -3

अभिलंब की ढलान (m') = \(\rm -{1\over {dy\over dx}}\)

m' = \(\boldsymbol{\rm -{1 \over -3}}\) = \(\boldsymbol{\rm {1 \over 3}}\)

बिंदु (1, -1) पर वक्र के अभिलंब की ढलान 1/3 है।

गणना:

दिया गया है,

रेखा 1: \(m^2x + ny - 1 = 0 \)

रेखा 2: \(n^2x - my + 2 = 0 \)

रेखा 1 की ढाल, \(m_1 = -\dfrac{m^2}{n}\)

रेखा 2 की ढाल, \(m_2 = \dfrac{n^2}{m}\)

लंबवत रेखाओं के लिए, \(m_1 \times m_2 = -1\).

\(\frac{-m^2}{n} \times \frac{n^2}{m} = -1\)

mn = 1

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

रेखा x - 2y = 1 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₁ = 1/2

रेखा 4x + 2y = 3 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m₂ = -2

अब, m₁m₂ = \(\frac{1}{2}(-2) = -1\)

इसलिए, विकर्ण परस्पर लंब हैं।

∴ चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।

संप्रत्यय:

दो रेखाओं के बीच का कोण और Y-अंतःखंड:

• इस समस्या में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली और दूसरी रेखा के साथ 60° का कोण बनाने वाली रेखा L का y-अंतःखंड ज्ञात करना शामिल है।
• दो रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा दिया गया है:
• tan(θ) = |(m₁- m₂) / (1 + m₁× m₂)|, जहाँ m₁ और m₂ दो रेखाओं की ढाल हैं।
• एक बार रेखा L का समीकरण निर्धारित हो जाने पर, y-अंतःखंड ज्ञात किया जा सकता है।

गणना:

दी गई रेखा 2x - y + 3 = 0, हम पहले इस रेखा की ढाल की गणना करते हैं:

ढाल-अंतःखंड रूप में समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

y = 2x + 3

इस रेखा की ढाल (m1) 2 है।

रेखा L बिंदु (2, 0) से गुजरती है और दी गई रेखा के साथ 60° का कोण बनाती है। रेखा L की ढाल, m2, कोण सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

tan(60°) = |(m₂ - 2) / (1 + 2 × m₂)|

चूँकि tan(60°) = √3, समीकरण बन जाता है:

√3 = |(m₂ - 2) / (1 + 2m₂)|

अब हम m₂ के लिए इस समीकरण को हल करते हैं:

√3(1 + 2 m2) = |m₂ - 2|

सरलता के लिए, मान लें कि m₂ - 2 > 0 (चूँकि कोण न्यून है और रेखा धनात्मक X-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है, m2 > 2)। इसलिए:

√3(1 + 2 m2) = m2 - 2

√3 + 2√3 × m2 = m2 - 2

2√3 × m2 - m2 = -2 - √3

m2(2√3 - 1) = -2 - √3

m2 = (-2 - √3) / (2√3 - 1)

अब हम रेखा L का y-अंतःखंड की गणना करते हैं। रेखा L का समीकरण है:

y - 0 = m2(x - 2)

y = m2(x - 2)

y-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए x = 0 प्रतिस्थापित करने पर:

y = m2(0 - 2)

y = -2 × m2

y-अंतःखंड की गणना करने के लिए इस समीकरण में m2 का मान प्रतिस्थापित करें।

इसलिए, रेखा L का y-अंतःखंड है: \(\rm \frac{16-10\sqrt3}{11}\)

सही उत्तर \(\rm \frac{16-10\sqrt3}{11}\) है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

1. अपरिभाषित प्रवणता वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।

2. एक रेखा की प्रवणता m = tan θ द्वारा दी जाती है, जहाँ θ धनात्मक X-अक्ष के साथ रेखा द्वारा बनाया गया कोण है।

3. प्रवणता m₁ और m₂ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण \(tan θ = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|\) द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया गया है:

रेखा L, (-2, -3) से गुजरती है और इसकी प्रवणता अपरिभाषित है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, इसका समीकरण x = -2 है।

रेखा ax - 2y + 3 = 0 की प्रवणता \(\frac{a}{2}\) है।

L और ax - 2y + 3 = 0 के बीच का कोण 45° है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, रेखा ax - 2y + 3 = 0, y-अक्ष के साथ 45° या 135° पर आनत होनी चाहिए।

⇒ \(\frac{a}{2}\) = tan 45° = 1 या \(\frac{a}{2}\) = tan 135° = -1

चूँकि a > 0, \(\frac{a}{2}\) = 1 ⇒ a = 2

रेखा x + ay - 4 = 0, x + 2y - 4 = 0 बन जाती है।

इस रेखा की प्रवणता \(- \frac{1}{2}\) है।

मान लीजिए θ इस रेखा द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।

⇒ tan θ = \(- \frac{1}{2}\)

चूँकि, प्रवणता ऋणात्मक है, कोण अधिक कोण है।

⇒ θ = \(\pi - tan^{-1}(\frac{1}{2})\)

∴ रेखा x + ay - 4 = 0 द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण \(\pi - tan^{-1}(\frac{1}{2})\) है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

धारणा:

• अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान \(\frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2}\; - \;{x_1}}}\) है
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

माना कि रेखा 2x - 5y + 4 = 0 की ढलान m₁ है और बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) को जोडनेवाली रेखा की ढलान m₂ है 

\( {{\rm{m}}_2} = \frac{{{\rm{3 }} - 5}}{{{\rm{α }} - 1}} = \frac{-2}{{{\rm{α }} - 1}}\)

अब रेखा की ढलान = m₁ = 2/5

दी गई रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,

∴ m1 m2 = -1

\( ⇒ {\rm{\;}}\frac{{ - 2}}{{{\rm{α }} - 1}}{\rm{\;}} × {\rm{\;}}\frac{2}{5} = \; - 1\)

⇒ -4 = -5 × (α -1)

⇒ (α -1) = 4/5

⇒ α = (4/5) + 1 = 9/5

संकल्पना:

बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

गणना:

दिया गया है: बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है। 

चूँकि हम जानते हैं, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

⇒ 8 = \(\rm \frac{{{2}\; - \;{x}}}{{{3} - {1}}}\)

⇒ 8 × 2 = 2 - x

⇒ 16 = 2 - x

∴ x = -14

अवधारणा :

यदि θ रेखा l का झुकाव है तो

एक रेखा की ढलान को m = tan θ, θ ≠ 90° से दर्शाया जाता है

गणना :

दिया गया: रेखा एक धनात्मक दिशा में x-अक्ष के संबंध में 30° बनाती है

∵ रेखा का झुकाव 30° है यानी θ = 30°

जैसा कि हम जानते हैं कि एक रेखा की ढलान को m = tan θ द्वारा दिया जाता है

संकल्पना:

यदि ढलान m और n वाली दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं तो mn = -1 है। 

बिंदु (x₁, y₁) और (x2, y2) से होकर गुजरने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: m = \(\rm \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

गणना:

बिंदु (-1, 2) और (3, 6) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान \(\rm \left(\frac{6-2}{3+1}\right)\) है

बिंदु (4, 8) और (x, 12) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान \(\rm \left(\frac{12-8}{x-4}\right)\) है

लंबवत रेखाओं के ढलान के गुणनफल का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \left(\frac{6-2}{3+1}\right)\left(\frac{12-8}{x-4}\right)=-1\)

⇒ 4 = (4 - x)

⇒ x = 0

संकल्पना:

एक रेखा का सामान्य समीकरण y = mx + c है, जहाँ m प्रवणता है।

गणना:

दिया गया समीकरण 4x + 3y - 4 = 0 है

⇒ 3y = -4x + 4

⇒ y = (-4/3)x + 4/3

इसे y = mx + c से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

प्रवणता, m = -4/3

अत:, रेखा की प्रवणता \(-\frac{4}{3}\) है।

अवधारणा :

एक रेखा की ढलान को tan α द्वारा दिया जाता है और इसे m द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी m = tan α, जहां α ≠ π/2 और यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जो एक दी गई रेखा धनात्मक दिशा में X- अक्ष के संबंध में बनाती है।

नोट :

• X -अक्ष या X - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan 0° = 0

• Y - अक्ष या Y - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan π/2 = ∞

• बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है:

• \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

गणना :

दिया गया: बिंदुओं (2, 5) और (x, 3) से गुजरने वाली रेखा की ढलान 2 है

यहाँ, हमें x का मान ज्ञात करना है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है: \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

यहाँ, x1 = 2, y1 = 5, x2 = x, y2 = 3 और m = 2।

⇒ \(2 = \frac{{{3}\; - \;{5}}}{{{x} - {2}}}\)

⇒ 2x - 4 = - 2

⇒ 2x = 2

⇒ x = 1

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा :

एक रेखा की ढलान को tan α द्वारा दिया जाता है और इसे m द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी m = tan α, जहां α ≠ π/2 और यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जो एक दी गई रेखा धनात्मक दिशा में X- अक्ष के संबंध में बनाती है।

नोट :

• X -अक्ष या X - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan 0° = 0

• Y - अक्ष या Y - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan π/2 = ∞

• बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है:

• \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

• यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं तो उनकी ढलान समान है।

• यदि क्रमशः ढलान m1 और m2 के साथ दो रेखाएँ L₁ और L₂ लंबवत हैं तो m₁ × m₂ = - 1

गणना :

यहां, हमें x का मान ज्ञात करना है कि बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखाएं बिंदुओं (3, - 3) और (5, - 9) के माध्यम से रेखा के लंबवत हैं ।

बिंदुओं (3, - 3) और (5, - 9) के माध्यम से रेखा की ढलान का पता लगाएं।

जैसा कि हम जानते हैं कि बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है: \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

यहाँ, x1 = 3, y1 = - 3, x2 = 5, y2 = - 9।

⇒ \(m_1 = \frac{{{-9}\; - \;{(-3)}}}{{{5} - {3}}} = - 3\)

∵ बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखाएं बिंदुओं (3, - 3) और (5, - 9) के माध्यम से रेखा के लंबवत हैं

तो माना कि बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखा की ढलान m₂ है

⇒ - 3 × m2 = - 1

⇒ m2 = 1/3

तो, बिंदुओं (- 2, 6) और (x, 8) के माध्यम से रेखा की ढलान 1/3 है

⇒ \(\frac{1}{3} = \frac{{{8}\; - \;{6}}}{{{x} - {(-2)}}}\)

⇒ x + 2 = 6

⇒ x = 4

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

तीन बिंदुओं की समरूपता:

यदि XY-तल में A, B और C कोई तीन बिंदु हैं, तो वे एक रेखा पर स्थित होंगे, अर्थात, संरेखीय यदि और केवल यदि AB का ढलान = BC का ढलान

(x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा के ढलान को m = \(\rm \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}\) द्वारा दिया गया है 

गणना:

मान लीजिए चार बिंदु A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2) और C(2, 4) हैं

अब,

m₁ = OA का ढलान = 2

m2 = OB का ढलान = 2

m₃ = OC का ढलान = 2

चूंकि m1 = m2 = m3 

अतः, बिंदु (-1, -2), (0, 0), (1, 2) और (2, 4) संरेखीय हैं

अवधारणा :

एक रेखा की ढलान को tan α द्वारा दिया जाता है और इसे m द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी m = tan α, जहां α ≠ π/2 और यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जो एक दी गई रेखा धनात्मक दिशा में X- अक्ष के संबंध में बनाती है।

नोट :

• X -अक्ष या X - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan 0° = 0

• Y - अक्ष या Y - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan π/2 = ∞

• बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है: \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

गणना :

यहां, हमें एक रेखा की ढलान का पता लगाना है, जो बिन्दुओं (- 2, 3) और (8, - 5) से होकर गुजरती है

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है: \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

यहाँ, x1 = - 2, y1 = 3, x2 = 8 और y2 = - 5

तो, दी गई रेखा की ढलान \(m = \frac{{{-5}\; - \;{3}}}{{{8} - {(-2)}}} = - \frac{4}{5}\) है

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

अवधारणा :

एक रेखा की ढलान को tan α द्वारा दिया जाता है और इसे m द्वारा निरूपित किया जाता है।

यानी m = tan α, जहां α ≠ π/2 और यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जो एक दी गई रेखा धनात्मक दिशा में X- अक्ष के संबंध में बनाती है।

नोट :

• X -अक्ष या X - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan 0° = 0

• Y - अक्ष या Y - अक्ष के समानांतर एक रेखा की ढलान है: m = tan π/2 = ∞

• बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है:

• \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

• यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं तो उनकी ढलान समान है।

गणना :

यहां, हमें y का मान ज्ञात करना है जैसे कि बिंदुओं (5, y) और (2, 3) के माध्यम से रेखा बिंदुओं (9, - 2) और (6, - 5) के माध्यम से रेखा के समानांतर है।

बिंदुओं (9, - 2) और (6, - 5) के माध्यम से रेखा की ढलान का पता लगाएं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की ढलान है: \(m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

यहाँ,x1 = 9, y1 = - 2, x2 = 6, y2 = - 5।

⇒ \(m = \frac{{{-5}\; - \;{(-2)}}}{{{6} - {9}}} = 1\)

∵ बिंदुओं (5, y) और (2, 3) के माध्यम से रेखा बिंदुओं (9, - 2) और (6, - 5) के माध्यम से रेखा के समानांतर है

तो, बिंदुओं (5, y) और (2, 3) के माध्यम से रेखा की ढलान भी 1 है।

तो, x1 = 5, y1 = y, x2 = 2, y2 = 3 और m = 1 पता है।

⇒ \(1 = \frac{{{3}\; - \;{y}}}{{{2} - {5}}}\)

⇒ - 3 = 3 - y

⇒ y = 6

इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।