Properties of Fourier Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Fourier Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

फूरिये रूपांतर:

• किसी फलन का फूरिये रूपांतर उसे समय प्रांत से आवृत्ति प्रांत में परिवर्तित करता है।
• यदि f(t) एक समय-प्रांत फलन है, तो इसका फूरिये रूपांतर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
• \( F(p) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-ipt} dt \)
• गॉसियन फलनों जैसे \(( e^{-t^2/2} )\) के लिए, उनका फूरिये रूपांतर भी गॉसियन होता है।
• \(e^{-t^2/2}\) का फूरिये रूपांतर \(\sqrt{2\pi} e^{-p^2/2} \) है।
• समय प्रांत में t से गुणा करने से आवृत्ति प्रांत में p के संबंध में व्युत्पन्न लेना होता है:
• \( \mathcal{F}[t f(t)] = i \frac{d}{dp}F(p) \)

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए f(t) = t e^−t²⁄2

मान लीजिए F(p) = e^−t²⁄2 का फूरिये रूपांतर = e^−p²⁄2

⇒ t f(t) का फूरिये रूपांतर = i × d/dp (e^−p²⁄2)

⇒ = i × (−p e^−p²⁄2) = −i p e^−p²⁄2

⇒ अब t e^−t²⁄2 = f(t),

इसलिए पूर्ण FT, i × d/dp (F(p)) है। 

⇒ F(p) को स्वयं जोड़ें:

अंतिम परिणाम = (1 + i p) e^{−(p² − 1)/2}

∴ सही फूरिये रूपांतर : \(\rm (1-ip)e^{-ip}e^{-(p^2-1)/2}\) है। 

संकल्पना:

कुछ उभयनिष्ट फूरियर रूपांतर गुणधर्म दर्शाये गए हैं:

यदि X(ω) x(t) का फूरियर रूपांतर है अर्थात x(t) ↔ X(ω), तो

समय-विस्थापन गुण: जब सिग्नल को समय डोमेन में शिफ्ट किया जाता है तो इसे विलंबित या अग्रित कहा जाता है, इस आधार पर कि सिग्नल को दाएं या बाएं शिफ्ट किया गया है।

उदाहरण के लिए:

समय-विस्थापन गुण: जब सिग्नल को समय डोमेन में शिफ्ट किया जाता है तो इसे विलंबित या अग्रित कहा जाता है, इस आधार पर कि सिग्नल को दाएं या बाएं शिफ्ट किया गया है।

उदाहरण के लिए:

समय-स्थानांतरण गुण का उपयोग करना:

x(t)  ↔ X(ω)

x(t – t0) ↔ e-jω0 t X(ω)

g(t – 2) ↔ e-j2ω G(ω)

समय स्केलिंग गुण:

x(t)  ↔ X(ω)

x(at)  ↔\(\frac{1}{a}X(\frac{\omega}{a})\)

g(t/2) ↔ 2G(2ω).

संकल्पना:

फूरियर रूपांतरण:

\(F.T\left[ {x\left( t \right)} \right] = X\left( ω \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - jω t}}dt\)

\(I.F.T\left[ {X\left( ω \right)} \right] = x\left( t \right)\)

\(= \frac{1}{{2π }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty X\left( ω \right){e^{jω t}}dt\)

फूरियर रूपांतरण के कुछ गुण:

विश्लेषण:

हम जानते हैं कि:

\({x^*}\left[ { + n} \right]\mathop \leftrightarrow \limits^{F.T} {X^*}\left( {{e^{ - j\omega }}} \right) = {X_1}\left( \omega \right)\)

तो,

 \({x^*}\left[ { + n} \right]\mathop \leftrightarrow \limits^{F.T} {X^*}\left( { - \omega } \right) = {X^*}\left( {{e^{ - j\left( { - \omega } \right)}}} \right)\)

\(= {X^*}\left( {{e^{j\omega }}} \right)\)

विकल्प (2) सही है।

अधिक जानकारी:

• वास्तविक सिग्नल का फूरियर रूपांतरण सदैव प्रकृति में सम संयुग्म होता है।
• F.T [वास्तविक और सम सिग्नल] = शुद्ध रूप से वास्तविक और सम।
• F.T [वास्तविक और विषम सिग्नल] = शुद्ध रूप से काल्पनिक और विषम।
• समय डोमेन में स्थानांतरण केवल सिग्नल के फेज वर्णक्रम को परिवर्तित करता है।

अवधारणा:

अगर x(t)) में फूरियर रूपांतरण X(ω) है

\(x(t) ↔X(ω) \)

फिर,

\(e^{-at} u(t) ↔\frac {1}{a+jω} \)

साथ ही, असतत-समय संकेत का फूरियर रूपांतरण 1 है, अर्थात

δ(t) ↔ 1

गणना:

\(H(f)=\frac{j3πf}{1+jπf} \)

चूँकि ω = 2πf, उपरोक्त को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(H(ω)=\frac{j1.5ω}{1+j0.5ω}=\frac{3jω}{2+jω}\)

\(H(ω)=3-\frac{6}{2+jω}\)

उपरोक्त के प्रतिलोम फूरियर रूपांतरण को लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

h(t) = 3δ(t) – 6e-2t 4(t)

संकल्पना:

कुछ उभयनिष्ट फूरियर रूपांतर गुणधर्म दर्शाये गए हैं:

यदि X(ω) x(t) का फूरियर रूपांतर है अर्थात x(t) ↔ X(ω), तो

संकल्पना:

फूरियर ट्रांसफॉर्म का समय-स्थानांतरण गुण:

टाइम डोमेन में शिटिंग का परिणाम आवृत्ति डोमेन में एक चरण बदलाव होता है, अर्थात

\(If\;x\left( t \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{FT} X\left( f \right)\)

\(x\left( {t - {t_0}} \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{FT} X\left( f \right){e^{ - j2\pi f{t_0}}}\)

यदि एक सिग्नल x(t) ट्रांसफर फंक्शन H(f) वाली प्रणाली से होकर गुजरता है, तो प्रणाली का आउटपुट निम्न है:

\(Y\left( f \right) = X\left( f \right)H\left( f \right)\)

जहां \(x\left( t \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{FT} X\left( f \right)\) और

\(y\left( t \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{FT} Y\left( f \right)\)

गणना:

चूँकि X(f) और H(f) दोनों एक ही आवृत्ति बैंड तक सीमित बैंड हैं, हम लिख सकते हैं:

\(Y\left( f \right) = X\left( f \right).H\left( f \right) = X\left( f \right){e^{ - j4\pi f}} = X\left( f \right).{e^{ - i2\pi f \times 2}}\)

फूरियर ट्रांसफॉर्म का टाइम शिफ्टिंग गुण का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

\(X\left( f \right).{e^{ - i2\pi f \times 2}}\xrightarrow{IFT} x\left( {t - 2} \right)\)

विश्लेषण:

जब दो ब्लॉकों को कैस्केड किया जाता है तो उनकी आवेग प्रतिक्रियाओं को संवलित किया जाता है।

यहां दो ब्लॉक कैस्केडेड हैं, तो पूरी प्रणाली की समतुल्य आवेग प्रतिक्रिया होगी:

b1(t) ⊗ b2(t)

उपरोक्त आकृति में:

z(t) = x(t) ⊗ b1(t)

y(t) = z(t) ⊗ b2(t)

x(t) के संबंध में y(t) के लिए व्यंजक होगा:

y(t) =x(t) ⊗ (b1(t)⊗b2(t))

Important Points

संवलन के गुण :

साहचर्यता: f1 * (f2 * f3) = (f1 * f2) * f3

क्रमविनिमेयता: f1 * f2 = f2 * f1 

वितरणात्मकता: f1 * (f2 + f3) = f1 * f2 + f1 * f3

बहुरेखीयता: a(f1 * f2) = (af1) * f2 = f1(af2) 

समय-विस्थापन गुण: जब सिग्नल को समय डोमेन में शिफ्ट किया जाता है तो इसे विलंबित या अग्रित कहा जाता है, इस आधार पर कि सिग्नल को दाएं या बाएं शिफ्ट किया गया है।

उदाहरण के लिए:

अवधारणा :

सिग्नल x(t) के हिल्बर्ट रूपांतरण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(H\left\{ {x\left( t \right)} \right\} = x\left( t \right)*\frac{1}{{\pi t}}\)

\( = \mathop \smallint \limits_{ = \infty }^\infty x\left( \tau \right) \cdot \frac{1}{{\pi \left( {t - \tau } \right)}}d\tau \)

\( = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \frac{{x\left( \tau \right)}}{{\left( {t - \tau } \right)}}d\tau \)

दिया हुआ:

एक सिग्नल \(g\left( t \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{HT} G\left( t \right)\)

\(G\left( t \right) = \frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \frac{{g\left( \tau \right)}}{{\left( {t - \tau } \right)}}d\tau \)

सिद्धांत:

x(t) = e^-at u(t) का फूरियर रूपांतरण दिया गया है:

\(X\left( j\omega \right)=\frac{1}{a~+~j\omega };~a>0\)

आवृत्ति में अवकलन गुणधर्म बताता है कि,

\(यदि~x\left( t \right)~\leftrightarrow ~X\left( j\omega \right)\)

\(tx\left( t \right)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }\)

गणना:

x(t) = e^-at के साथ t.e^-at u(t) का फूरियर रूपांतरण होगा:

\(t.e^{-at} u(t)\leftrightarrow j\frac{dX\left( j\omega \right)}{d\omega }=j\frac{d}{d\omega }\left( \frac{1}{a~+~j\omega } \right)=\frac{j\left( -j \right)}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a~+~j\omega \right)}^{2}}}\)

गणना:

प्रत्येक विकल्प पर विचार करके परिपथ का विश्लेषण करते हुए हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:

पहले विकल्प (1) पर विचार करना

अर्थात यदि A का आवृत्ति स्पेक्ट्रम इस प्रकार दिखाया गया है:

जब सिग्नल x(t) A से गुजरता है तो आउटपुट x(t) के आवृत्ति स्पेक्ट्रम में j का गुणन होगा। इसलिए ब्लॉक A से आउटपुट सिग्नल स्पेक्ट्रम होगा:

जब उपरोक्त स्पेक्ट्रम को j से गुणा किया जाता है (जैसा कि दिए गए परिपथ में देखा गया है), तो आउटपुट बन जाता है;

जब उपरोक्त सिग्नल को फिर एक समर से गुजारा जाता है, तो परिणामी स्पेक्ट्रम इस प्रकार दिखाया जाएगा:

लेकिन दिया गया y(t) उपरोक्त का एक स्थानांतरित स्पेक्ट्रम है, और हम जानते हैं कि;

यदि x(t) « X(f)

\(x\left( t \right).~{{e}^{-j{{\omega }_{o}}t}}~\text{ }\!\!~\!\!\text{ X}\left( \text{f}+{{\text{f}}_{\text{o}}} \right)\)

अर्थात, जब एकल ऋणात्मक आवृत्ति घातांक से गुणा किया जाता है, तो स्पेक्ट्रम को f₀ से बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है।

यदि B =

आउटपुट स्पेक्ट्रम होगा:

इसलिए विकल्प (1) A और B का सही निरूपण दर्शाता है।

संकल्पना:

समय सोपानी गुण

सिग्नल x(t) पर विचार कीजिए तो फूरिये रूपांतरण X(ω) होगा

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt\)

\(X\left( f \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - j2\pi ft}}dt\)

उस सिग्नल पर विचार कीजिए जिसे 'α' द्वारा x(αt) के रूप में सोपानी किया गया है। तब फूरिये रूपांतरण होगा

\(x\left( {\alpha t} \right) \leftrightarrow \frac{1}{{\left| \alpha \right|}}X\left( {\frac{\omega }{\alpha }} \right)\)

दिखाए गए अनुसार संकेत पर विचार कीजिए:

संपीडित संकेत है:

विस्तारित संकेत है:

विश्लेषण:

यदि x(t) ↔ X(ω) तो x(αt) का फूरिये रूपांतरण है;

\(F\left[ {x\left( {\alpha t} \right)} \right] = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( {\alpha t} \right){e^{ - j\omega t}}dt\)

स्थिति 1: एक धनात्मक वास्तविक स्थिरांक α के लिए

\(F\left[ {x\left( {\alpha t} \right)} \right] = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( {\alpha t} \right){e^{ - j\omega t}}dt\)

चर का परिवर्तन τ = αt किया जाता है, जो dτ = α dt उत्पन्न करता है

τ → - ∞ क्योंकि t → - ∞ और τ →  ∞ क्योंकि t →  ∞

\(F\left[ {\;x\left( {\alpha t} \right)} \right] = \frac{1}{\alpha }\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( \tau \right){e^{ - j\left( {\frac{\omega }{\alpha }} \right)\tau }}d\tau \)

\(F\left[ {x\left( {\alpha t} \right)} \right] = \frac{1}{\alpha }X\left( {\frac{\omega }{\alpha }} \right)\)

स्थिति 2: एक ऋणात्मक वास्तविक स्थिरांक α के लिए

\(F\left[ {x\left( { - \alpha t} \right)} \right] = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( { - \alpha t} \right){e^{ - j\omega t}}dt\)

चर का परिवर्तन τ = αt किया जाता है, जो dτ = α dt उत्पन्न करता है

τ → - ∞ क्योंकि t → - ∞ और τ →  ∞ क्योंकि t →  ∞

\(F\left[ {\;x\left( { - \alpha t} \right)} \right] = \frac{{ - 1}}{\alpha }\mathop \smallint \limits_\infty ^{ - \infty } x\left( \tau \right){e^{j\left( {\frac{\omega }{\alpha }} \right)\tau }}d\tau \)

\(F\left[ {\;x\left( {\alpha t} \right)} \right] = \frac{1}{\alpha }\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( \tau \right){e^{ - j\left( {\frac{{ - \omega }}{\alpha }} \right)\tau }}d\tau \)

\(F\left[ {\;x\left( {\alpha t} \right)} \right] = \frac{1}{\alpha }X\left( {\frac{{ - \omega }}{\alpha }} \right)\)

दो स्थिति को मिलाकर, हमारे पास है

\(F\left[ {x\left( {\alpha t} \right)} \right] \leftrightarrow \frac{1}{{\left| \alpha \right|}}X\left( {\frac{\omega }{\alpha }} \right)\)

नोट:

उत्तर:

:

\(x\left( {2t} \right) \leftrightarrow \frac{1}{{\left| 2 \right|}}X\left( {\frac{\omega }{2}} \right)\)

निष्कर्ष: उपरोक्त परिवर्तन से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परिमाण में 0.5 की वृद्धि हुई और बैंडविड्थ में 2 गुना वृद्धि हुई।