Problems on die MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Problems on die - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

दो अनभिनत छह-पक्षीय पासों को लुढ़काया जाता है।

प्रत्येक पासे के फलकों पर 1 से 6 तक की संख्याएँ हैं।

परिणामों की कुल संख्या:

चूँकि प्रत्येक पासे में 6 फलक हैं, प्रतिदर्श समष्टि का आकार है

\(N = 6 \times 6 = 36\).

अनुकूल परिणाम (योग > 7):

हम सभी क्रमित युग्मों ((i, j)) को सूचीबद्ध करते हैं जहाँ (i + j > 7) है:

योग = 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 परिणाम

योग = 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 परिणाम

योग = 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 परिणाम

योग = 11: (5,6), (6,5) → 2 परिणाम

योग = 12: (6,6) → 1 परिणाम

कुल अनुकूल परिणाम = (5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15).

प्रायिकता गणना:

यह प्रायिकता कि योग 7 से निरंतर अधिक है

\(P(\text{sum} > 7) = \frac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है : \(\mathrm{N}-2, \sqrt{3 \mathrm{~N}}, \mathrm{~N}+2\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं |

n(s) = 36

⇒ 3N = (N - 2)(N + 2)

⇒ 3N = N² - 4

⇒ N² - 3N - 4 = 0

⇒ (N - 4)(N + 1) = 0 ⇒ N = 4 या N = -1 (अस्वीकार्य)

⇒ (योग = 4) ≡ {(1, 3), (3,1), (2,2)}

⇒ n(A) = 3

⇒ \(\mathrm{P}(\mathrm{~A})=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}=\frac{4}{48} \Rightarrow \mathrm{k}=4\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है |

व्याख्या:

संभावित परिणाम x < y < z

= (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 4, 6), (1, 5, 6), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6), (2, 5, 6), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)

इस प्रकार, कुल संभावित परिणाम = 20

∴ विकल्प (a) सही है।

व्याख्या:

⇒n(S) = 6 x 5 x 4

⇒ n(E) = n (दिखाए गए फलकों में से एक इक्का है।)

= 3(1 x 5 x 4) = 3 x 5 x 4

⇒ \(P(E) = \frac{3\times 5\times 4}{6\times 5\times4} = \frac{1}{2}\)

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

पासे के फलकों पर संख्याएँ हैं 4, 4, 5, 5, 5 और 6।

⇒n(S) = 6

P (4 या 5 प्राप्त करना) = 5/6

∴ विकल्प (ग) सही है

संकल्पना:

एक घटना के घटित होने की प्रायिकता = \(\rm \dfrac{\text{(Number of ways it can happen)}}{\text{ (Total number of outcomes)}}\)

यदि एक पासे को उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्‍टियों की संख्या = 6 है, यदि दो पासे को उछाला जाता है, तो n(S) = 6² = 36 है। 

गणना:

यहाँ, चार पासे को उछाला जाता है, 

n(S) = 6⁴

अब, उनपर दिखाई देने वाली संख्या का योग 25 = { }       

⇒ n = 0               

(∵अधिकतम योग = 6 + 6 + 6 + 6 = 24)

∴ प्रायिकता = 0/(6⁴) = 0

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

एक घटना के होने की प्रायिकता = (उन तरीकों की संख्या जिसमें यह घटित हो सकता है)/(परिणामों की कुल संख्या)

=
गणना:

दो पासों को उछाला जाता है,

S = 

{(1,1)     (1,2)       (1,3)       (1,4)       (1,5)       (1,6)

(2,1)       (2,2)       (2,3)       (2,4)       (2,5)       (2,6)

(3,1)       (3,2)       (3,3)       (3,4)       (3,5)       (3,6)

(4,1)       (4,2)       (4,3)       (4,4)       (4,5)       (4,6)

(5,1)       (5,2)       (5,3)       (5,4)       (5,5)       (5,6)

(6,1)       (6,2)       (6,3)       (6,4)       (6,5)       (6,6)}

n(S) = 36

अब, माना कि A, 7 का योग प्राप्त करने की एक घटना है। 

A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5,, 2), (6, 1)}

n(A) = 6,

∴ 7 का योग प्राप्त करने की प्रायिकता = n(A) /n(S)

= 6/36

= 1/6

अतः विकल्प (1) सही है।      

अवधारणा:

माना कि S प्रतिदर्श समष्टि है। किसी घटना की प्रायिकता P(E) है 

⇒ P(E)  = \(\rm \dfrac {n(E)}{n(S)}\)

गणना:

दिया हुआ, S = एक जोड़ी पासों का एक साथ फेंकना

{(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 

(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

 (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 

(6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

⇒ n(S ) = 36

 E = कुल 7 से अधिक होने की घटना

E = {(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

⇒ n(E ) = 15

कुल 7 से अधिक होने की प्रायिकता P (E) है

⇒ P (E)  = \(\rm \dfrac {n(E)}{n(S)}\)

⇒ P (E)  = \(\rm \dfrac {15}{36}\)

⇒ P (E)  =  \(\dfrac{5}{12}\)

संकल्पना:

प्रायिकता समान रूप से संभव परिणामों के एक निश्शेष समुच्य में परिणामों की संख्या का अनुपात होता है जो संभव परिणामों की कुल संख्या के लिए दी गयी घटना को उत्पादित करता है। 

गणना:

एक पासे के संभव परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} हैं। 

तीन पासों को एकसाथ उछाला जाता है। 

परिणामों की संख्या S = 6³

अब, तीन पासों के संभव परिणाम जिसमें उनमें से प्रत्येक पर समान संख्या दिखाई देगी = {(1,1, 1),(2,2,2),....(6,6,6)} हैं। 

तीन पासों के संभव परिणामों की संख्या जिसमें उनमें से प्रत्येक पर समान संख्या दिखाई देगी A = 6  

अब वह प्रायिकता कि उनमें से प्रत्येक पर समान संख्या दिखाई देगी = \(\rm \frac{n(A)}{n(S)}\)

वह प्रायिकता कि उनमें से प्रत्येक पर समान संख्या दिखाई देगी =\(\rm \frac{6}{6^3}\)

वह प्रायिकता कि उनमें से प्रत्येक पर समान संख्या दिखाई देगी =\(\rm \frac{1}{36}\)

संकल्पना:

एक यादृच्छिक प्रयोग में माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और माना कि E ⊆ S है। तो, E एक घटना है। 

E के घटित होने की प्रायिकता को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है, 

\(\rm P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\), जहाँ, n(E) = E में तत्वों की संख्या और n(S) = संभव परिणामों की संख्या। 

गणना:

हम जानते हैं कि दो पासों के एकल उछाल में संभव परिणामों की कुल संख्या 6 × 6 = 36 है। 

माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है। तो n(S) = 36 है। 

माना कि E = कुल 8 प्राप्त होने की घटना। तो,

E = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} 

∴  n(E) =  5

इसलिए, कुल '8' प्राप्त होने की प्रायिकता = P(E) = \(\rm \frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{36}\)

अतः विकल्प (4) सही है। 

दिया है:

एक पासे को 3 बार फेंका जाता है।

घटनाएँ A और B बताती है:-

तीसरे बार फेकने पर 4

पहली और दूसरी बार फेकने पर 6 और 5

प्रयुक्त सूत्र:

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

गणना:

एक पासे को 3 बार फेंका जाता है।

कुल स्थितियां = 6 × 6 × 6 =216

A : तीसरे बार फेकने पर 4

B : पहली और दूसरी बार फेकने पर 6 और 5

A = {(1, 1, 4), (1, 2, 4),....(1, 6, 4), (2, 1, 4), (2, 2, 4),....(2, 6, 4),

        (3, 1, 4), (3, 2, 4),....(3, 6, 4), (4, 1, 4), (4, 2, 4),....(4, 6, 4)

        (5, 1, 4), (5, 2, 4),.....(5, 6, 4), (6, 1, 4), (6, 2, 4),....(6, 6, 4)}

⇒ P(A) = \(\frac{36}{216}\)

B = {(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)}

⇒ P(B) = \(\frac{6}{216}\)

इस प्रकार A ∩ B = {(6, 5, 4)}

इसलिए, P(A ∩ B) = \(\frac{1}{216}\)

अब, P(A|B) = \(\frac{P(A ∩ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A|B) = \(\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}\)

⇒ P(A|B) = \(\frac{1}{6}\)

∴ A के यह जानने की प्रायिकता कि B पहले ही हो चुका है, 1/6 है।

संकल्पना:

एक यादृच्छिक प्रयोग में माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और माना कि E ⊆ S है। तो E एक घटना है। 

E के घटित होने की प्रायिकता को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है,

\(\rm P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\) जहाँ, n(E) = E में तत्वों की संख्या और n(S) = संभव परिणामों की संख्या 

गणना:

हम जानते हैं कि दो पासों के एकल उछाल में परिणामों की कुल संख्या 6 × 6 = 36 है।

माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है। तो, n(S) = 36 है। 

माना कि E = पहले पासे पर सदैव विषम संख्या आती है और दो पासों का योग 5 से अधिक है। तो,

E = {(1,5 ), (1, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} 

∴ n(E) =  12

इसलिए, कुल '12’ प्राप्त करने की प्रायिकता = P(E) = \(\rm \frac{n(E)}{n(S)}=\frac{12}{36} = {1\over3}\)

अतः विकल्प (4) सही है। 

धारणा

जब पासे का एक जोड़ा रोल किया जाता है तब प्रतिचयन स्थान इस प्रकार है:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

कुल परिणाम = 36

गणना

जिन जोड़ियों में दूसरी संख्या पहली संख्या से अधिक है वे इस प्रकार हैं:

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)

कुल अनुकूल परिणाम = 15

आवश्यक प्रायिकता \( = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}\)

सही विकल्प (3) है।

अवधारणा:

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = (इसके होने के तरीकों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)

यदि तीन पासे फेंके जाते हैं तो नमूना स्थान की संख्या = 63 = 216

गणना:

यदि तीन पासे रोल किए जाते हैं तो नमूना स्थान की संख्या = 216

दो पासे एक ही फलक दिखाते हैं =

{(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1,1, 3), (1, 1, 4), (1, 1, 5), (1, 1, 6), (1, 2, 1),(1, 3, 1), (1, 4, 1), (1, 5, 1), (1, 6, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1), (4, 1, 1), (5, 1, 1), (6, 1, 1).......

(2, 2, 2).....,

(3, 3, 3)......,

(4, 4, 4)......,

(5, 5, 5)......,

(6, 6, 6).......}

n = 16 × 6 = 96

कोई दो पासे की संख्या एक ही फलक नाह दिखाने की संख्या, n(S) = 216 - 96 = 120

संख्या 6 न होनेवाले फलक

{(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 2), (1, 3, 4) , (1, 3, 5), (1, 4, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 5), (1, 5, 2), (1, 5, 3), (1, 5, 4)

(2, 1, 3), .......

..........

.........

..........(5, 4, 3)}

n = 12 × 5 = 60

तो फलकों में से एक की संख्या 6 होने की संख्या = 120 - 60 = 60

∴ फलकों में से एक की संख्या 6 होने की प्रायिकता = 60/120 = 1/2

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

एक पासा फेंका जाता है: प्रतिदर्श समष्‍टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

अब, तीन पासे के संभावित परिणाम इस शर्त पर हैं कि कोई भी दो पासे एक ही फलक नहीं दिखाते हैं = -  -  - = 6 × 5 × 4 = 120

अब, फलकों में से एक की संख्या 6 = 1 × 5 × 4 × 3! = 60 है 

∴ प्रायिकता है कि एक फलक की संख्या 6 = 60/120 = 1/2 है

संकल्पना:

माना कि S एक प्रतिदर्श समष्टि है।घटना की संभाव्यता P (E) है। 

⇒ P (E)  = \(\rm \dfrac {n(E)}{n(S)}\)

गणना:

दिया गया है, S = एक पासे का युग्म एक ही समय पर फेंकने पर

{(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 

(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

 (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 

(6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

⇒ n(S ) = 36

 E = 10 से अधिक कुल संख्या आने की संभावना

E = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}

⇒ n(E ) = 3

 7 से अधिक कुल संख्या आने की संभावना P (E)  है

⇒ P (E)  = \(\rm \dfrac {n(E)}{n(S)}\)

⇒ P (E)  = \(\rm \dfrac {3}{36}\)

⇒ P (E)  =  \(\dfrac{1}{12}\)