Problems on bags and balls/similar objects MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Problems on bags and balls/similar objects - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

• कुल लाल गेंदें = 8

• कुल सफेद गेंदें = 5

• कुल गेंदें = 8 + 5 = 13

• निकाली गई गेंदों की संख्या = 3

• शर्त: 1 लाल गेंद और 2 सफेद गेंदें

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रायिकता = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल संभव परिणाम)

13 में से 3 गेंदों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या इस प्रकार दी गई है:

कुल संयोजन: C(13, 3) = 13! / (3! × (13 - 3)!)

अनुकूल परिणामों के लिए:

8 में से 1 लाल गेंद चुनें: C(8, 1) = 8

5 में से 2 सफेद गेंदें चुनें: C(5, 2) = 5! / (2! × (5 - 2)!)

गणना:

कुल संभव परिणाम:

C(13, 3) = 13! / (3! × 10!) = (13 × 12 × 11) / (3 × 2 × 1)

⇒ C(13, 3) = 286

अनुकूल परिणाम:

C(8, 1) = 8

C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = (5 × 4) / (2 × 1)

⇒ C(5, 2) = 10

कुल अनुकूल परिणाम = C(8, 1) × C(5, 2) = 8 × 10 = 80

प्रायिकता:

P = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम

⇒ P = 80 / 286

सरलीकृत करने पर::

⇒ P = 40 / 143

निष्कर्ष:

1 लाल गेंद और 2 सफेद गेंदें निकालने की प्रायिकता: 40 / 143 है। 

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

कलश A में 2 सफेद और 2 काली गेंदें हैं जबकि कलश B में 3 सफेद और 2 काली गेंदें हैं।

⇒ E1 = A से B में एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है; तब कलश A में सफेद = 1 और काली = 2 और कलश B में सफेद = 4 और काली = 2

⇒ E2 = A से B में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है। तब कलश A में सफेद = 2 और काली = 1 और कलश B में सफेद = 3 और काली = 3

⇒ F = कलश B से एक सफेद गेंद निकाली जाती है

⇒ \(P(F) =P(E_1). P(\frac{F}{E_1})+ P(E_2).P(\frac{F}{E_2})\)

= \(\frac{2}{4}\times\frac{4}{6}+\frac{2}{4}\times\frac{3}{6} = \frac{7}{12}\)

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

यहाँ, P(A) = 5/6 , P(B) = 4/5 , P(C) = 3/4

इसके अलावा

P(B) = \(1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\)

अब

⇒ \(P ( A\cap \overline{B} \cap C) = P(A).P(B).P(C)\)

= \(\frac{5}{6}\times \frac{1}{5}\times \frac{3}{4} = \frac{1}{8}\)

∴ विकल्प (a) सही है।

गणना

कुल गेंदों की संख्या = 2 + 3 + 5 = 10

P(WWR) = (2/10) × (1/9) × (5/8) = 10/720

P(WGR) = (2/10) × (3/9) × (5/8) = 30/720

P(WRR) = (2/10) × (5/9) × (4/8) = 40/720

P(GWR) = (3/10) × (2/9) × (5/8) = 30/720

P(GGR) = (3/10) × (2/9) × (5/8) = 30/720

P(GRR) = (3/10) × (5/9) × (4/8) = 60/720

P(RWR) = (5/10) × (2/9) × (4/8) = 40/720

P(RGR) = (5/10) × (3/9) × (4/8) = 60/720

P(RRR) = (5/10) × (4/9) × (3/8) = 60/720

कुल प्रायिकता = (10 + 30 + 40 + 30 + 30 + 60 + 40 + 60 + 60) / 720 = 360 / 720 = 1/2

एकांतर रूप से, अंतिम गेंद के लाल होने की प्रायिकता उतनी ही है जितनी पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता, जो 5/10 = 1/2 है।

∴ अंतिम गेंद के लाल होने की प्रायिकता 1/2 है।

इसलिए विकल्प 4 सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

प्रायिकता = \(\frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}\)

n अलग-अलग वस्तुओं को k अलग-अलग बक्सों में वितरित करने के तरीकों की संख्या = \(k^n\)

n अलग-अलग वस्तुओं में से r वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या = \(^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

गणना:

7 अलग-अलग गेंदों को 4 अलग-अलग बक्सों में वितरित किया जाता है।

7 अलग-अलग गेंदों को 4 अलग-अलग बक्सों में वितरित करने के कुल तरीकों की संख्या = \(4^7\)

पहले बॉक्स में रखने के लिए 7 गेंदों में से 3 गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या = \(^7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\)

शेष 4 गेंदों को शेष 3 बक्सों में \(3^4\) तरीकों से वितरित किया जा सकता है।

अनुकूल परिणामों की संख्या = \(^7C_3 \times 3^4 = 35 \times 81 = 2835\)

प्रायिकता कि पहला बॉक्स 3 गेंदें रखता है = \(\frac{35 \times 3^4}{4^7} = \frac{35}{64}\left(\frac{3}{4}\right)^4\)

इसलिए विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

यदि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और A अनुकूल घटना है, तो A की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm P(E)=\dfrac{n(A)}{n(S)}\)

गणना:

थैले में कुल गेंदे = 4 + 5 = 9 गेंद

दिया गया है: दो गेंदों को प्रतिस्थापन के बिना यादृच्छिकता से निकाला गया है। 

पहले गेंद को निकालने और नीला पाए जाने के बाद अब थैले में 8 गेंद शेष हैं, जिसमें से 4 नीले गेंद हैं। 

दूसरे गेंद के नीले होने की प्रायिकता = \(\frac 4 8 = \frac 1 2\)

संकल्पना:

• n (n > r) के समूह से r का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr 

• किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = \(\rm \text{The required number of cases}\over\text{Total number of cases possible}\)

गणना:

गेंदों की कुल संख्या = 5 + 4 + 6 = 15

सफ़ेद गेंदों की कुल संख्या = 5

15 में से 2 गेंदों का चयन करना = 15C2

5 में से 2 सफ़ेद गेंदों का चयन करना = 5C2

इसलिए आवश्यक प्रायिकता (P) = \(\rm ^{5}C_2\over^{15}C_2\)

P = \(\rm 5\times4\over15\times14\) = \(\boldsymbol{\rm 2\over21}\)

अवधारणा:

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = \(\rm {(Number\ of\ ways\ it\ can\ happen)}\over {(Total\ number\ of \ outcomes)} \)

दी गई n वस्तुओं में से r वस्तुओं के चयन की संख्या = nCr

\(\rm ^n C_r = { n!\over {r!(n - r)!}}\)

गणना:

प्रतिदर्श समष्टि = n(S) = 12C3 है

∴परिणामों की कुल संख्या = 12C3

आवश्यक स्थिति है = n(E) = 7C2 × 5C1 (चूंकि 7 नीली गेंदों में से 2 गेंदें नीली हैं और 5 गुलाबी गेंदों में से 1 गेंद गुलाबी है)

∴ संभावित तरीकों की संख्या = 7C2 × 5C1

तो, एक अभाज्य संख्या P(E) प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\rm n(E)\over n(S)\) = \(\rm {^7C_2\;\times \;^5C_1} \over ^{12}C_3\)

= \({{7!\over{2!}\times {5!}}\times {5!\over{1!}\times {4!}}}\over {12!\over{3!}\times {9!}}\)

= \(21\;\times \;5\over 220\)

= \(21\over 44\)

संकल्पना:

प्रायिकता:

• किसी घटना की प्रायिकता की गणना केवल संभावित परिणामों की कुल संख्या से अनुकूल परिणामों की संख्या को विभाजित करके की जा सकती है।
• किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच हो सकता है।

संयोजन सूत्र:

 nCr = \(\rm \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

nCr = संयोजनों की संख्या

n = समुच्चय में वस्तुओं की कुल संख्या

r = समुच्चय से वस्तुओं को चुनने की संख्या

गणना​:

10 गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 10 P10.​=10!

अब शर्त यह है कि दो काली गेंदों को एक साथ न रखा जाए।

तो, सबसे पहले, 7 जबकि गेंदों को पहले व्यवस्थित करें और इन 3 काली गेंदों को प्रत्येक सफेद गेंद के बीच बनाए गए 8 स्थानों के बीच में व्यवस्थित करें।

अतः, 3 काली गेंदों और 7 सफेद गेंदों को व्यवस्थित करने के अनुकूल परिणामों की संख्या

= 8 P3 × 7!

इस प्रकार, प्रायिकता है कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ नहीं रखी गई हैं
P = (8 P3 × 7!)​ / 10 P10

⇒ P = \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

∴ आवश्यक प्रायिकता \(\rm \frac{7}{15}\) है।

संकल्पना:

माना कि S एक प्रतिदर्श समष्‍टि है और E एक घटना इस प्रकार है जिससे n(S) = n, n(E) = m है, और प्रत्येक परिणाम के समान रूप से आने की संभावना है। तो \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( S \right)}} = \frac{m}{n}\)

गणना:

दिया गया है: एक थैले में 9 सफ़ेद गेंद और 12 लाल गेंद हैं। 

थैले से सफ़ेद गेंद निकालने के तरीकों की संख्या = C (9, 1) = 9

थैले से एक गेंद निकालने के तरीकों की संख्या = C (21, 1) = 21

इसलिए, थैले से निकाले गए गेंद के सफ़ेद रंग के होने की प्रायिकता = 9/21 = 3/7 

अतः विकल्प D सही उत्तर है।

गणना:

मान लीजिए कि पहली गेंद लाल होने की घटना A है और दूसरी गेंद लाल होने की घटना B है 

यहाँ A और B आश्रित घटनाएँ हैं।

गेंदों की कुल संख्या = 3 + 6 + 8 = 17

लाल गेंदों की कुल संख्या = 8

P(A) = 8/17

P(B/A) = 7/16

P (AB) = P(A) . P(B/A) = 8/17 × 7/16

P = \(\rm 8\times7\over17\times16\) = \(\boldsymbol{\rm 7\over34}\)

स्पष्टीकरण

गोल मेज पर n व्यक्ति n कुर्सियों पर बैठे हैं।

एक व्यक्ति के लिए एक कुर्सी तय है = 1

∴ n -1 व्यक्ति शेष हैं

दो दोस्त एक साथ बैठना चाहते हैं तो एक का दोस्त = दूसरा व्यक्ति दाएं या बाएं कुर्सी पर बैठ सकता है।

यदि पहले A है तो बैठने की व्यवस्था AB या BA हो सकती है इसलिए (N -1) कुर्सियों में से एक साथ बैठने की संभावना दाएं या बाएं होगी।

∴ संभव प्रायिकता 2/(n – 1) है।

अवधारणा:

यदि S एक प्रतिचयन स्थान है और E एक अनुकूल घटना है तो E की प्रायिकता निम्न द्वारा दी गई है:

\(\rm P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\)

गणना:

बैग में कुल गेंद = 4 + 6 = 10 गेंद

एक काली गेंद को 10 संभावित परिणामों में से 4 तरीकों से निकाला जा सकता है।

सफेद गेंद होने की प्रायिकता = P (W) = \( \frac{4}{{10}}\)

= \(\frac 2 5\)

दिया गया है

लाल गेंद = 4 और नीली गेंद = 6

सूत्र

P(E) = P(E₁) + P(E₂)

ⁿC_r = n!/r!(n – r)!

गणना

2 लाल गेंदों के निकाले जाने की प्रायिकता

⇒ P(E₁) = ⁴C₂/¹⁰C₂

2 नीली गेंदों के निकाले जाने की प्रायिकता

P(E₂) = ⁶C₂/¹⁰C₂

⇒ P(E) = = ⁴C₂/¹⁰C₂ + ⁶C₂/¹⁰C₂

⇒ (⁴C₂ + ⁶C₂)/¹⁰C₂

⇒ [4!/2!(4 – 2)! + 6!/2!(6 – 2)!]/10!/2!(10 – 2)!

⇒ (6 + 15)/10!/2! × 8!

⇒ (21 × 2)/(10 × 9)

⇒ 42/90

⇒ P(E) = 7/15

दिया गया है:

5 लाल गेंदें, 4 नीली गेंदें, और 6 गेंदें

प्रयोग किया गया सूत्र:

प्रायिकता = आवश्यक परिणाम/कुल परिणाम

ⁿC_r = n!/r!(n – r)!

गणना:

तीन लाल गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁵C₃

तीन नीली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁴C₃

तीन हरी गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁶C₃

आवश्यक परिणाम = ⁵C₃ + ⁴C₃ + ⁶C₃ = 10 + 4 + 20 = 34

कुल परिणाम = ¹⁵C₃ = 455

∴ प्रायिकता = 34/455