PDE With Constant Coefficient MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for PDE With Constant Coefficient - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest PDE With Constant Coefficient MCQ Objective Questions
PDE With Constant Coefficient Question 1:
मान लें कि u(x, y) एकक डिस्क {(x, y)|x2 + y2 < 1} में \(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2 }=64\) का हल है तथा u डिस्क की सीमा पर शून्य हो जाता है। तब u \(\left(\frac{1}{4},\frac{1}{\sqrt2} \right) \) निम्न में से किसके तुल्य है
Answer (Detailed Solution Below)
PDE With Constant Coefficient Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
प्रयोग और त्रुटि विधि से, हम कह सकते हैं कि u = 16(x2 + y2) - 16 दिए गए आंशिक अवकल समीकरण का हल होगा क्योंकि
ux = 32x ⇒ \(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\) = 32 और uy = 32y ⇒ \(\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}\) = 32 इसलिए
\(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2 }=64\)
यह दी गई सीमा शर्त को भी संतुष्ट करता है क्योंकि एक इकाई डिस्क की सीमा पर u = 16 x 1 - 16 = 0, इसलिए u लुप्त हो जाता है।
इसलिए u \(\left(\frac{1}{4},\frac{1}{\sqrt2} \right) =16(\frac1{16}+\frac12)\) - 16 = 16.\(\frac{9}{16}\) - 16 = 9 -16 = - 7
विकल्प (3) सही है
PDE With Constant Coefficient Question 2:
कॉची प्रश्न पर विचार करें
\(\left\{\begin{array}{c} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,|x|<1,0
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
PDE With Constant Coefficient Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
लाइबनिज समाकलन नियम:
\(\frac{\partial}{\partial y} (\int_{a(y)}^{b(y)} f(x, y)dx)\) = \(\int_{a(y)}^{b(y)} \frac{\partial f}{\partial y} \) dx + f(b(y), y) \(\frac{\partial b}{\partial y}\) - f(a(y), y) \(\frac{\partial a}{\partial y}\)
स्पष्टीकरण:
\(\frac{\partial u}{\partial x\partial y}\) = 0
⇒ \(\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial y})\) = 0
(x, x 2 ) पर, \(\frac{\partial u}{\partial y}\) = g(x) इसलिए,
\(\frac{\partial }{\partial x}(g(x))\) = 0 ⇒ g(x) = स्थिरांक
चूँकि, स्थिर फलन सम फलन है, इसलिए, हल के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि g एक सम फलन है।
विकल्प (1) गलत है और विकल्प (2) सही है।
(3): \(u(x, y)=2 \int_x^{√{y}} z g(z) d z\)
इसलिए, u (x, x 2 ) = \(2 \int_x^{x} z g(z) d z\) = 0
\(\frac{\partial u}{\partial y}\) = 0 + 2 \(\frac{1}{2√ y}√ y g(√ y)\) = g(√y)
⇒ \(\frac{\partial u}{\partial y}\) = g(√y)...(i)
अतः \(\frac{\partial u}{\partial y}\) (x, x 2 ) = g(x)
साथ ही (i) को x के सापेक्ष आंशिक रूप से अवकलित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।
\(\frac{\partial u}{\partial x\partial y}\) = 0
इसलिए \(u(x, y)=2 \int_x^{√{y}} z g(z) d z\) आंशिक अवकल समीकरण और सभी सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है।
इसलिए हल (यदि यह मौजूद है) \(u(x, y)=2 \int_x^{\sqrt{y}} z g(z) d z\) द्वारा दिया गया है।
विकल्प (3) सत्य है।
\(u(x, y)=2 \int_{\sqrt{y}}^{x^2} z g(z) d z\)सीमा शर्त u (x, x 2 ) = 0 को संतुष्ट नहीं कर रहा है।
विकल्प (4) गलत है।
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PDE With Constant Coefficient Question 3:
मान लें कि u(x, y) एकक डिस्क {(x, y)|x2 + y2 < 1} में \(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2 }=64\) का हल है तथा u डिस्क की सीमा पर शून्य हो जाता है। तब u \(\left(\frac{1}{4},\frac{1}{\sqrt2} \right) \) निम्न में से किसके तुल्य है
Answer (Detailed Solution Below)
PDE With Constant Coefficient Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
प्रयोग और त्रुटि विधि से, हम कह सकते हैं कि u = 16(x2 + y2) - 16 दिए गए आंशिक अवकल समीकरण का हल होगा क्योंकि
ux = 32x ⇒ \(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\) = 32 और uy = 32y ⇒ \(\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}\) = 32 इसलिए
\(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2 }=64\)
यह दी गई सीमा शर्त को भी संतुष्ट करता है क्योंकि एक इकाई डिस्क की सीमा पर u = 16 x 1 - 16 = 0, इसलिए u लुप्त हो जाता है।
इसलिए u \(\left(\frac{1}{4},\frac{1}{\sqrt2} \right) =16(\frac1{16}+\frac12)\) - 16 = 16.\(\frac{9}{16}\) - 16 = 9 -16 = - 7
विकल्प (3) सही है
PDE With Constant Coefficient Question 4:
कॉची प्रश्न पर विचार करें
\(\left\{\begin{array}{c} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,|x|<1,0
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
PDE With Constant Coefficient Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
लाइबनिज समाकलन नियम:
\(\frac{\partial}{\partial y} (\int_{a(y)}^{b(y)} f(x, y)dx)\) = \(\int_{a(y)}^{b(y)} \frac{\partial f}{\partial y} \) dx + f(b(y), y) \(\frac{\partial b}{\partial y}\) - f(a(y), y) \(\frac{\partial a}{\partial y}\)
स्पष्टीकरण:
\(\frac{\partial u}{\partial x\partial y}\) = 0
⇒ \(\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial y})\) = 0
(x, x 2 ) पर, \(\frac{\partial u}{\partial y}\) = g(x) इसलिए,
\(\frac{\partial }{\partial x}(g(x))\) = 0 ⇒ g(x) = स्थिरांक
चूँकि, स्थिर फलन सम फलन है, इसलिए, हल के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि g एक सम फलन है।
विकल्प (1) गलत है और विकल्प (2) सही है।
(3): \(u(x, y)=2 \int_x^{√{y}} z g(z) d z\)
इसलिए, u (x, x 2 ) = \(2 \int_x^{x} z g(z) d z\) = 0
\(\frac{\partial u}{\partial y}\) = 0 + 2 \(\frac{1}{2√ y}√ y g(√ y)\) = g(√y)
⇒ \(\frac{\partial u}{\partial y}\) = g(√y)...(i)
अतः \(\frac{\partial u}{\partial y}\) (x, x 2 ) = g(x)
साथ ही (i) को x के सापेक्ष आंशिक रूप से अवकलित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।
\(\frac{\partial u}{\partial x\partial y}\) = 0
इसलिए \(u(x, y)=2 \int_x^{√{y}} z g(z) d z\) आंशिक अवकल समीकरण और सभी सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है।
इसलिए हल (यदि यह मौजूद है) \(u(x, y)=2 \int_x^{\sqrt{y}} z g(z) d z\) द्वारा दिया गया है।
विकल्प (3) सत्य है।
\(u(x, y)=2 \int_{\sqrt{y}}^{x^2} z g(z) d z\)सीमा शर्त u (x, x 2 ) = 0 को संतुष्ट नहीं कर रहा है।
विकल्प (4) गलत है।