Partial Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Partial Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Partial Differential Equations MCQ Objective Questions
Partial Differential Equations Question 1:
निम्नलिखित में से कौन सा/से आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का सामान्य हल है?
z(px - qy) = y2 - x2
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
Pp + qq = R के रूप में PDE के लिए लैग्रेंज सहायक समीकरण है
\({dx\over P}={dy\over Q}={dz\over R}\)
व्याख्या:
दिया गया PDE है
z(px - qy) = y2 - x2
⇒ xzp - yzq = y2 - x2
समाकलन करने पर हमें मिलता है
इसके अलावा, \({d(x+y)\over z(x-y)}={dz\over y^2-x^2}\)
⇒ \({d(x+y)\over z}={dz\over -(x+y)}\)
⇒ (x + y) d(x + y) + zdz = 0
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें मिलता है
\({(x+y)^2}+z^2=c_2\)....(iii)
(i) और (iii) लेने पर हमें हल मिलता है
x2 + y2 + z2 = \(f({(x+y)^2}+z^2)\)
(3) सही है।
(ii) और (ii) लेने पर हमें हल मिलता है
\({(x+y)^2}+z^2=f(xy)\)
(4) सही है।
Partial Differential Equations Question 2:
आंशिक अवकल समीकरण (PDE) पर विचार करें
(p2 + q2)y = qz
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
f(x, y, z, p, q) = 0 के रूप का अरैखिक PDE चारपिट समीकरण को संतुष्ट करता है
\({dx\over f_p}={dy\over f_q}={dz\over pf_p+qf_q}\)\(={dp\over -(f_x+pf_z)}={dq\over -(f_y+qf_z)}\)
व्याख्या:
यहाँ f(x, y, z, p, q) = (p2 + q2)y - qz
चारपिट सूत्र का उपयोग करते हुए
\({dx\over 2py}={dy\over 2qy-z}\)\(={dz\over 2p^2y+2q^2y-qz}\)\(={dp\over 0+pq}={dq\over -p^2-q^2+q^2}\)
⇒ \({dx\over 2py}={dy\over 2qy-z}\)\(={dz\over 2p^2y+2q^2y-qz}\)\(={dp\over pq}={dq\over -p^2}\)
लेते हुए
\({dp\over pq}={dq\over -p^2}\)
⇒ pdp + qdq = 0
समाकलन करने पर
p2 + q2 = a2....(i)
दिए गए समीकरण में रखने पर
a2y = qz
⇒ q = \(a^2y\over z\)
(i) में रखने पर
p = \(\sqrt{a^2-q^2}\) = \(\frac az\sqrt{z^2-a^2y^2}\)
p और q को रखने पर
dz = pdx + qdy
⇒ dz = \(\frac az\sqrt{z^2-a^2y^2}\)dx + \(a^2y\over z\)dy
⇒ \(zdz-a^2ydy\over\sqrt{z^2 -a^2 y^2}\) = a dx
समाकलन करने पर
\(\sqrt{z^2-a^2y^2}\) = ax + b
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
z2 = a2y2 + (ax+b)2
(1) और (2) दोनों सही हैं।
इसलिए विकल्प (3) सही है।
Partial Differential Equations Question 3:
आंशिक अवकल समीकरण z - px - qy = c \(\rm \sqrt{(1+p^2+q^2)}\) का व्यापक हल है-
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का क्लेरॉट रूप z = px + qy + f(p, q) के रूप का होता है और इसका हल z = ax + by + f(a, b) द्वारा दिया जाता है।
व्याख्या:
z - px - qy = c \(\rm \sqrt{(1+p^2+q^2)}\)
⇒ z = px + qy + c \(\rm \sqrt{(1+p^2+q^2)}\) जो क्लेरॉट रूप में है।
इसलिए, व्यापक हल है
\(\rm z=ax+by+c\sqrt{(1+a^2+b^2)}\)
अतः (2) सत्य है।
Partial Differential Equations Question 4:
लग्रांज रैखिक आंशिक अवकल समीकरण Pp + Qq = R का ज्यामितीय अर्थ है:
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
लग्रांज के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण Pp + Qq = R का ज्यामितीय अर्थ है कि किसी भी पृष्ठ f(x, y, z) = 0 के बिंदु (x, y, z) पर अभिलंब, उस रेखा के लंबवत होता है जिसके दिक् अनुपात P, Q, R हैं।
अतः (1) सत्य है।
Partial Differential Equations Question 5:
निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण
\(x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ x y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) - \(2 y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial u}{\partial y}=0\)
है
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
\(R\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+S \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+T\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\) + f(x, y, u, \(\partial u\over \partial x\), \(\partial u\over \partial y\)) = 0 के रूप का एक द्वितीय क्रम आंशिक अवकल समीकरण
(i) अतिपरवलयाकार है यदि S2 - 4RT > 0
(ii) परवलयाकार है यदि S2 - 4RT = 0
(iii) दीर्घवृत्ताकार है यदि S2 - 4RT < 0
व्याख्या:
दिया गया आंशिक अवकल समीकरण है
\(x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ x y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) - \(2 y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial u}{\partial y}=0\)
यहाँ S2 - 4RT = (xy)2 - 4x2(-2y2) = x2y2 + 8x2y2 = 9x2y2 = 9(xy)2
यदि y = 0 तो S2 - 4RT = 0, तब आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार है।
(1) गलत है
यदि x > 0, y > 0, S2 - 4RT > 0
आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है
(2) गलत है
यदि x < 0, y > 0 तब S2 - 4RT > 0
आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है
(3) सही है
यदि x = 0, y > 0 तब S2 - 4RT = 0
इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार हो सकता है
(4) गलत है
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मानें कि u(x, t) निम्न का हल है:
utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0
u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = sin (πx) + 2 sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2
निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
utt − c2uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x) 0 < x < L के लिए है
u = \(\frac12\)[f(x + ct) + f(x - ct)] + \(\frac1{2c}\)\(\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds\) (D'alembert हल)
व्याख्या:
दिया गया है
utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0
u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2
यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1
इसलिए u(x, t) = \(\frac12\)[f(x + t) + f(x - t)] + \(\frac12\)\(\int_{x-t}^{x+t}0ds\)
= \(\frac12\)[sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))
इसलिए u(1, 1) = \(\frac12\)(sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0
विकल्प (1) गलत है
u(1/2, 1) = \(\frac12\)[sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1
विकल्प (2) गलत है
u(1/2, 2) = \(\frac12\)[sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1
विकल्प (3) सही है
इसके अलावा
ut(x, t) = \(\frac{\pi}2\)[cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))
इसलिए ut(1/2, 1/2) = \(\frac{\pi}2\)[cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π
विकल्प (4) गलत है
समतलों के निम्न कुल z2 = kxy, k ∈ \(\mathbb{R}\) के लंबवत समतलों का सामान्य हल है
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिया गया है z2 = kxy, k ∈ ℝ ← निकाय पृष्ठ
⇒ \(\rm k=\frac{z^2}{xy}=f(x,y,z)\) ........(i)
अब, हम इसे लैग्रेंज AE का उपयोग करके हल करेंगे -
(स्मरण करने पर: Pp + Qq = R)
\(\rm \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z^2}{y}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{-z^2}{x^2y}\)
\(\rm \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{z^2}{x}\left(-\frac{1}{y^2}\right)=\frac{-z^2}{xy^2}\)
\(\rm \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)
इसलिए, \(\rm \frac{\partial f}{\partial x}p+\rm \frac{\partial f}{\partial y}q=\rm \frac{\partial f}{\partial z}\) (p = zx, q = zy)
⇒ \(\rm\left(\frac{-z^2}{x^2y}\right)p+\rm\left(\frac{-z^2}{xy^2}\right)q=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2z}{xy}\)
⇒ \(\rm -\frac{z}{xy}\left[\frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q\right]=\frac{z}{xy}[2]\)
⇒ \(\rm \frac{z}{x}p+\frac{z}{y}q=-2\)
⇒ (zy)p + (xz)q = -2xy (LCM लेने पर) (ii)
(zy)p → P
(xz)q → Q
-2xy → R
इसलिए, लैग्रेंज समीकरण से -
\(\rm \frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}\)
\(\rm ⇒ \frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}=\frac{dz}{(-2xy)}\)
अब,
\(\rm\frac{dx}{zy}=\frac{dy}{zx}\)
⇒ x dx = y dy
समाकलन करने पर,
\(\rm \frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}+c\)
⇒ x2 - y2 = c1
\(\rm \frac{dx}{zy}=\frac{-dz}{2xy}\)
⇒ 2x dx = -z dz
समाकलन करने पर,
\(\rm x^2=\frac{-z^2}{2}+c\)
⇒ 2x2 + z2 = c2
इसलिए, सामान्य हल ϕ (c1, c2) = 0 होगा
⇒ ϕ (x2 - y2, 2x2 + z2) = 0 ⇒ विकल्प (3) सही है।
हल का अन्य संभावित रूप और जब c1 और c2 की गणना की जाती है।
ϕ(c1, c2), c1 = ϕ(c2), c2 = ϕ(c2), \(\rm \frac{c_1}{2}=\phi(c_2)\)...
मानें कि u(x, y) निम्न कौशी समस्या का हल है
uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,
u(x, 0) = x, x ∈ ℝ
निम्नलिखित में से कौन u(2, 3) का मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
मान लीजिए Pp + Qq = R एक आंशिक अवकल समीकरण है जहाँ P, Q, R, x, y, z के फलन हैं, तो लैग्रेंज की विधि से
\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)
व्याख्या:
दिया गया है
uux + uy = 0, x ∈ ℝ, y > 0,
u(x, 0) = x, x ∈ ℝ
लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके
\(\frac{dx}{P}\) = \(\frac{dy}{Q}\) = \(\frac{du}{R}\)
⇒ \(\frac{dx}{u}\) = \(\frac{dy}{1}\) = \(\frac{du}{0}\)
इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है
u = c1...(i)
और u = c1 रखने पर हमें पहले दो पदों से प्राप्त होता है
\(\frac{dx}{c_1}\) = \(\frac{dy}{1}\)
dx = c1dy
⇒ x - c1y = c2
⇒ x - uy = c2...(ii)
(i) और (ii) से हमें सामान्य हल प्राप्त होता है
u = ϕ(x - uy)
u(x, 0) = x का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं
x = ϕ(x) इसलिए ϕ(x - uy) = x - uy
इसलिए हल निम्न है
u = x - uy ⇒ u(1 + y) = x ⇒ u = \(\frac{x}{1+y}\)
इसलिए u(2, 3) = \(\frac{2}{4}=\frac12\)
विकल्प (3) सही है।
यदि u = (x, t) प्रारंभिक मान समस्या का हल निम्न है:
\(\left\{\begin{array}{ll} u_{t}=u_{x x}, & x \in \mathbb{R}, t>0 \\ u(x, 0)=\sin (4 x)+x+1, & x \in \mathbb{R} \end{array}\right.\)
जो सभी x ∈ ℝ और t > 0 के लिए |u(x. t)| < \(\rm 3e^{x^2}\) को संतुष्ट करता है, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिया गया है
\(u_t = u_{xx}, \quad x \in \mathbb{R}, t > 0\) प्रारंभिक प्रतिबंध के साथ
\(u(x, 0) = \sin(4x) + x + 1, \quad x \in \mathbb{R}\)
जो अनंत प्रांत के लिए एक ऊष्मा समीकरण है।
इसलिए हल है:
u(x, t) = \({1\over \sqrt{4\pi ct}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{(x-y)^2\over 4c^2t}}f(y)dy\)
यहाँ f(x) = sin 4x + x + 1 और c = 1 तब
u(x, t) = \({1\over \sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{(x-y)^2\over 4t}}(\sin 4y+y+1)dy\)....(i)
(1): \(\rm u\left(\frac{\pi}{8}, 1\right)\) = \({1\over \sqrt{4\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{(\frac{\pi}{8}-y)^2\over 4}}(\sin 4y+y+1)dy\)
मान लीजिए, \({\pi\over 8}-y=u\Rightarrow dy=-du\) इसलिए
\(\rm u\left(\frac{\pi}{8}, 1\right)\) = \({1\over \sqrt{4\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}(\sin 4(\frac{\pi}{8}-u)+(\frac{\pi}{8}-u)+1)du\)
\(\rm u\left(\frac{\pi}{8}, 1\right)\) = \({1\over \sqrt{4\pi }}\left[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}\cos 4udu+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}(\frac{\pi}{8}-u)+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}du\right]\)......(ii)
और \(\rm u\left(-\frac{\pi}{8}, 1\right)\) = \({1\over \sqrt{4\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{(-\frac{\pi}{8}-y)^2\over 4}}(\sin 4y+y+1)dy\)
मान लीजिए \({\pi\over 8}+y=u\Rightarrow dy=du\) इसलिए
\(\rm u\left(-\frac{\pi}{8}, 1\right)\) = \({1\over \sqrt{4\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}(\sin 4(-\frac{\pi}{8}+u)+(-\frac{\pi}{8}+u)+1)du\)
\(\rm u\left(-\frac{\pi}{8}, 1\right)\) = \({1\over \sqrt{4\pi }}\left[-\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}\cos 4udu-\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}(\frac{\pi}{8}-u)+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}du\right]\).....(iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें मिलता है
\(\rm u\left(\frac{\pi}{8}, 1\right)+u\left(-\frac{\pi}{8},1\right)\) = \({2\over \sqrt{4\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}du\)
= \({1\over \sqrt{\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{u^2\over 4}}du\)
= \({1\over \sqrt{\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-p^2}2dp\) (मान लीजिए कि u = 2p तब du = 2dp)
= \({1\over \sqrt{\pi }}.2\sqrt \pi\,\,(\because\int_{-\infty}^{\infty}e^{-p^2}dp=\sqrt\pi)\)
= 2
(1) सही है।
(ii) और (iii) से हम देख सकते हैं कि (2), (3), (4) गलत हैं।
मान लीजिए कि B(0,1) = {(x,y) ∈ ℝ2|x2 + y2 < 1} ℝ2 में खुला इकाई डिस्क है, ∂B(0, 1) B(0,1) की परिसीमा को दर्शाता है, और v ∂B(0, 1) के लिए इकाई बाह्य अभिलम्ब है। मान लीजिए f : ℝ2 → ℝ एक दिया गया संतत फलन है। न्यूनीकरण समस्या
\(\rm min \left\{\frac{1}{2}\iint_{B(0,1)}|\nabla u|^2dxdy+\frac{1}{2}\iint_{B(0, 1)}e^{u^2}dxdy+∈t_{\partial B(0, 1)}fuds\right\}\)
जिसमें u ∈ C1 \(\rm \overline{B(0, 1)}\) है, का ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण है
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFहम बाद में हल अपडेट करेंगे।
निम्न समीकरण
\(x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0\)
का सामान्य हल है
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिया गया है: \(x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0\) अर्थात xp + yq = 0
Pp + Qq = R से तुलना करने पर, हमारे पास है-
P = x, Q = y और R = 0
इसलिए, लैग्रेंज सहायक समीकरण द्वारा
\(\frac{d x}{p}=\frac{d y}{Q}=\frac{d z}{R}\)
\(\Rightarrow \frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}=\frac{d z}{0}\)
अब dz = 0
⇒ z = c1
पहले और दूसरे पद का उपयोग करके
\(\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}\)
समाकलन करने पर,
log |x| = log |y| + log c2
\(\Rightarrow \log \left(\frac{|x|}{|y|}\right)=\log c_2\)
\(\Rightarrow c_2=\frac{|x|}{|y|}\)
इसलिए, सामान्य हल है -
c1 ϕ(c2) या c2 = ϕ(c1) या ϕ(c1 c2) = 0
⇒ z = ϕ \(\left(\frac{|x|}{|y|}\right)\)
⇒ विकल्प (1) सही है।
Partial Differential Equations Question 12:
मानें कि u(x, t) निम्न का हल है:
utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0
u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = sin (πx) + 2 sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2
निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 12 Detailed Solution
संकल्पना:
utt − c2uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x) 0 < x < L के लिए है
u = \(\frac12\)[f(x + ct) + f(x - ct)] + \(\frac1{2c}\)\(\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds\) (D'alembert हल)
व्याख्या:
दिया गया है
utt − uxx = 0, 0 < x < 2, t > 0
u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2
यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1
इसलिए u(x, t) = \(\frac12\)[f(x + t) + f(x - t)] + \(\frac12\)\(\int_{x-t}^{x+t}0ds\)
= \(\frac12\)[sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))
इसलिए u(1, 1) = \(\frac12\)(sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0
विकल्प (1) गलत है
u(1/2, 1) = \(\frac12\)[sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1
विकल्प (2) गलत है
u(1/2, 2) = \(\frac12\)[sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1
विकल्प (3) सही है
इसके अलावा
ut(x, t) = \(\frac{\pi}2\)[cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))
इसलिए ut(1/2, 1/2) = \(\frac{\pi}2\)[cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π
विकल्प (4) गलत है
Partial Differential Equations Question 13:
मान लें कि u(x, y) एकक डिस्क {(x, y)|x2 + y2 < 1} में \(\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2 }=64\) का हल है तथा u डिस्क की सीमा पर शून्य हो जाता है। तब u \(\left(\frac{1}{4},\frac{1}{\sqrt2} \right) \) निम्न में से किसके तुल्य है
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 13 Detailed Solution
Partial Differential Equations Question 14:
मानें कि u(x, t) निम्न तरंग समीकरण का मसृण हल है
(∗) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0\), (x, t) ∈ ℝ2 के लिए।
निम्न में से कौन सा असत्य है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 14 Detailed Solution
संप्रत्यय:
यदि u(x, t) एक समघात आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो u(x- a, t-b) भी a, b ∈ \(\mathbb R\) के लिए आंशिक अवकल समीकरण का हल है और u(ax, bt) भी एक हल है जब a = b एक वास्तविक संख्या है।
व्याख्या:
(∗) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0\) x, t) ∈ ℝ2
u(x, t), (∗) का हल है।
तब u(x - θ, t) किसी भी स्थिर θ ∈ ℝ के लिए (i) का हल भी है।
u(3x, 3t) भी (∗) का हल है।
u(3x, 9t), (∗) का हल नहीं है क्योंकि 3 ≠ 9 है।
(3) असत्य है।
Partial Differential Equations Question 15:
मान लीजिए u(x,y) कॉची प्रश्न को हल करता है
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} - x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + u - 1 = 0\) जहाँ - ∞ < x < ∞, y ≥ 0 और u(x, 0) = sin x.
तब, u(0,1) बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Differential Equations Question 15 Detailed Solution
संप्रत्यय:
- प्रथम कोटि का एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण, जिसे आमतौर पर लैग्रेंज का रैखिक समीकरण कहा जाता है, निम्न रूप का होता है: Pp + Qq = R, जहाँ \(p = \frac{dz}{dx} \) और \(q = \frac{dz}{dy}\)
- इसका हल सहायक समीकरण \(\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}\) को हल करके दिया जाता है।
गणना:
हमारे पास है, \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} - x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + u - 1 = 0\)
इसे \(u_y-xu_x+u-1=0\) के रूप में दर्शाया जा सकता है।
⇒ \(-xu_x+u_y=1-u\)
∴ P = - x, Q = 1, R = 1 - u
∴\(\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{du}{R}\)
⇒ \(\frac{dx}{-x}=\frac{dy}{1}=\frac{du}{1-u}\)
मान लीजिये, \(\frac{dx}{-x}=\frac{dy}{1}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, \(\int\frac{dx}{-x}=\int\frac{dy}{1}\)
⇒ -ln x = y + lnC1
⇒ lnx + lnC1 = - y
⇒ ln(xC1) = - y
⇒ xC1 = e-y
⇒ C1 = \(\frac{e^{-y}}{x}\)
अब, मान लीजिये \(\frac{dy}{1}=\frac{du}{1-u}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, \(\int\frac{dy}{1}=\int\frac{du}{1-u}\)
⇒ y = ln (1 - u) + ln C2
⇒ y = ln C2(1 - u)
⇒ ey = C2(1 - u)
⇒ C2 = \(\frac{e^y}{1-u}\)
∴ हल C2 = f(C1) द्वारा दिया गया है।
⇒ \(\frac{e^y}{1-u}=f(\frac{e^{-y}}{x})\)
⇒ \(\frac{e^y}{f(\frac{e^{-y}}{x})}=1-u\)
⇒ \(u=1-\frac{e^y}{f(\frac{e^{-y}}{x})}\)
प्रश्न के अनुसार, u(x, 0) = sin x
∴ \(\sin x=1-\frac{1}{f(\frac{1}{x})}\)
⇒ \(\frac{1}{f(\frac{1}{x})}=1-\sin x\)
⇒ \(f(\frac{1}{x})=\frac{1}{1-\sin x}\)
⇒ \(f(x)=\frac{1}{1-\sin (\frac{1}{x})}\)
∴ \(f(\frac{e^{-y}}{x})=\frac{1}{1-\sin (\frac{x}{e^{-y}})}\)
∴ हल दिया गया है, \(u=1-\frac{e^y}{\frac{1}{1-\sin (\frac{x}{e^{-y}})}}\)
⇒ \(u=1-e^y(1-\sin (\frac{x}{e^{-y}}))\)
∴u(0,1) = \(1-e^{-1}(1-\sin (\frac{0}{e^{-1}}))\) = \(1-\frac{1}{e}\)
∴ u(0, 1) का मान \(1-\frac{1}{e}\) है।
सही उत्तर विकल्प 1 है।