Classical Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Classical Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

डिस्क समीकरण: समीकरण \((y - b)^2 + z^2 \leq a^2\) (0, b, 0) पर केंद्रित और त्रिज्या \(a \) वाली एक डिस्क को दर्शाता है।

परिभ्रमण: इस डिस्क को z-अक्ष के चारों ओर घुमाने पर एक टोरस बनता है। z-अक्ष से टोरस पर एक द्रव्यमान अवयव की दूरी y है, लेकिन \(y = b + r' \), जहाँ r' डिस्क त्रिज्या के भीतर एक बिंदु है।

व्याख्या:

\(I_z = \int_V r^2 \, dm\), जहाँ r, z-अक्ष से लंबवत दूरी है, \(dm = \rho \, dV \) द्रव्यमान अवयव है और \(\rho \) स्थिर घनत्व है। इस विशेष ज्यामिति के लिए, हम समीकरण \((y - b)^2 + z^2 \leq a^2\) द्वारा वर्णित डिस्क को

z-अक्ष के चारों ओर घुमा रहे हैं, जहाँ \(0 < a < b\) है।

\(I_z = \rho \int_0^{2\pi} \int_{b-a}^{b+a} \int_0^{a} r'^2 (r'^2 + (b-a)^2) \, r' \, dz \, dy \, d\theta\)

इस समाकल को हल करने के बाद, z-अक्ष के परितः ठोस टोरस के जड़त्व आघूर्ण का सही सूत्र है

\(I_z = \frac{\pi^2}{2} a^2 b (4b^2 + 3a^2) \rho\)

इसलिए विकल्प 2) सही है।

संप्रत्यय:

आधार के व्यास के परितः बेलन का जड़त्व आघूर्ण (kg m2) है

\(I = \frac{1}{4} M r^2 + \frac{1}{3} M h^2\)

व्याख्या:

बेलन की त्रिज्या, \(r = 2 \, \text{m}\) , बेलन की ऊँचाई, \(h = 3 \, \text{m}\), बेलन का घनत्व, \(\rho \, \text{kg/m}^3\)

\(M = \rho \times \text{Volume of the cylinder}\), जहाँ \(V = \pi r^2 h\)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,

\(V = \pi (2)^2 (3) = 12 \pi \, \text{m}^3\)

इस प्रकार, \(M = \rho \times 12\pi \, \text{kg}\)

\(I = \frac{1}{4} M r^2 + \frac{1}{3} M h^2\)

अब, मान \(r = 2 \, \text{m}\) ,\(h = 3 \, \text{m}\) और \(M = \rho \times 12\pi \) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,

\(I = \frac{1}{4} \times \rho \times 12\pi \times (2)^2 + \frac{1}{3} \times \rho \times 12\pi \times (3)^2\)

⇒\(I = \frac{1}{4} \times 12\pi \times \rho \times 4 + \frac{1}{3} \times 12\pi \times \rho \times 9\)

⇒ \(I = 12\pi \rho + 36\pi \rho\)

⇒ \(I = 48\pi \rho\)

इसलिए, सही विकल्प 1) है।

सही उत्तर विकल्प 2 है

हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।

सही उत्तर विकल्प 1 और 2 है। 

हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।

संप्रत्यय:

आधार के व्यास के परितः बेलन का जड़त्व आघूर्ण (kg m2) है

\(I = \frac{1}{4} M r^2 + \frac{1}{3} M h^2\)

व्याख्या:

बेलन की त्रिज्या, \(r = 2 \, \text{m}\) , बेलन की ऊँचाई, \(h = 3 \, \text{m}\), बेलन का घनत्व, \(\rho \, \text{kg/m}^3\)

\(M = \rho \times \text{Volume of the cylinder}\), जहाँ \(V = \pi r^2 h\)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,

\(V = \pi (2)^2 (3) = 12 \pi \, \text{m}^3\)

इस प्रकार, \(M = \rho \times 12\pi \, \text{kg}\)

\(I = \frac{1}{4} M r^2 + \frac{1}{3} M h^2\)

अब, मान \(r = 2 \, \text{m}\) ,\(h = 3 \, \text{m}\) और \(M = \rho \times 12\pi \) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,

\(I = \frac{1}{4} \times \rho \times 12\pi \times (2)^2 + \frac{1}{3} \times \rho \times 12\pi \times (3)^2\)

⇒\(I = \frac{1}{4} \times 12\pi \times \rho \times 4 + \frac{1}{3} \times 12\pi \times \rho \times 9\)

⇒ \(I = 12\pi \rho + 36\pi \rho\)

⇒ \(I = 48\pi \rho\)

इसलिए, सही विकल्प 1) है।

S के लिए z-अक्ष एक मुख्य अक्ष है।

विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

आधार के व्यास के परितः बेलन का जड़त्व आघूर्ण (kg m2) है

\(I = \frac{1}{4} M r^2 + \frac{1}{3} M h^2\)

व्याख्या:

बेलन की त्रिज्या, \(r = 2 \, \text{m}\) , बेलन की ऊँचाई, \(h = 3 \, \text{m}\), बेलन का घनत्व, \(\rho \, \text{kg/m}^3\)

\(M = \rho \times \text{Volume of the cylinder}\), जहाँ \(V = \pi r^2 h\)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,

\(V = \pi (2)^2 (3) = 12 \pi \, \text{m}^3\)

इस प्रकार, \(M = \rho \times 12\pi \, \text{kg}\)

\(I = \frac{1}{4} M r^2 + \frac{1}{3} M h^2\)

अब, मान \(r = 2 \, \text{m}\) ,\(h = 3 \, \text{m}\) और \(M = \rho \times 12\pi \) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,

\(I = \frac{1}{4} \times \rho \times 12\pi \times (2)^2 + \frac{1}{3} \times \rho \times 12\pi \times (3)^2\)

⇒\(I = \frac{1}{4} \times 12\pi \times \rho \times 4 + \frac{1}{3} \times 12\pi \times \rho \times 9\)

⇒ \(I = 12\pi \rho + 36\pi \rho\)

⇒ \(I = 48\pi \rho\)

इसलिए, सही विकल्प 1) है।

सही उत्तर विकल्प 1 और 2 है। 

हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।

व्याख्या:

हैमिल्टोनियन समीकरण लैग्रेंज समीकरणों से प्राप्त किए जा सकते हैं जिन्हें \(\dot{p_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}\) के रूप में लिखा जा सकता है, लेजेंड्रे रूपांतरण का उपयोग करके।

(2) सही

पिंड का स्थायी संतुलन संभव नहीं है, यह सही उत्तर है।

इसलिए, विकल्प 2 सही है।

संप्रत्यय:

डिस्क समीकरण: समीकरण \((y - b)^2 + z^2 \leq a^2\) (0, b, 0) पर केंद्रित और त्रिज्या \(a \) वाली एक डिस्क को दर्शाता है।

परिभ्रमण: इस डिस्क को z-अक्ष के चारों ओर घुमाने पर एक टोरस बनता है। z-अक्ष से टोरस पर एक द्रव्यमान अवयव की दूरी y है, लेकिन \(y = b + r' \), जहाँ r' डिस्क त्रिज्या के भीतर एक बिंदु है।

व्याख्या:

\(I_z = \int_V r^2 \, dm\), जहाँ r, z-अक्ष से लंबवत दूरी है, \(dm = \rho \, dV \) द्रव्यमान अवयव है और \(\rho \) स्थिर घनत्व है। इस विशेष ज्यामिति के लिए, हम समीकरण \((y - b)^2 + z^2 \leq a^2\) द्वारा वर्णित डिस्क को

z-अक्ष के चारों ओर घुमा रहे हैं, जहाँ \(0 < a < b\) है।

\(I_z = \rho \int_0^{2\pi} \int_{b-a}^{b+a} \int_0^{a} r'^2 (r'^2 + (b-a)^2) \, r' \, dz \, dy \, d\theta\)

इस समाकल को हल करने के बाद, z-अक्ष के परितः ठोस टोरस के जड़त्व आघूर्ण का सही सूत्र है

\(I_z = \frac{\pi^2}{2} a^2 b (4b^2 + 3a^2) \rho\)

इसलिए विकल्प 2) सही है।

व्याख्या -

लग्रांजी का त्रिज्यीय भाग इस प्रकार है:

\(L = (1/2) \times r˙² - a\times r.\)

निर्देशांक r के लिए ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण गति का समीकरण देता है:

\(m \times r¨ = - \frac{∂L} { ∂r} + \frac{d(∂L / ∂r˙) }{ dt},\)

जिसे लग्रांजी में रखने पर यह मिलता है:

\(m \times r¨ = a + \frac{r˙²} { r}\)

इसलिए, सही उत्तर (iv) है।

\( \rm \delta \int T \ d t=0\) और \(\rm \delta \int \sum_{\alpha=1}^n p_\alpha d q_\alpha=0 \)

सही विकल्प (1) और (2) हैं।