Classification of Second Order PDE MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Classification of Second Order PDE - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Classification of Second Order PDE MCQ Objective Questions
Classification of Second Order PDE Question 1:
इस PDE पर विचार करें
P(x, y)\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) + \(e^{x^2} e^{y^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) + Q(x,y) \(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\) + \(e^{2 x} \frac{\partial u}{\partial x}\) + \(e^y \frac{\partial u}{\partial y}\) = 0
जहां P तथा Q दो चरों तथा वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। निम्न में से कौन - सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
यदि दो चरों x और y में आंशिक अवकल समीकरण द्वितीय कोटि का है, तो यह निम्न रूप में होगा: Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+F=0 जहाँ A,B,C,D,E और F, x और y के फलन हैं।
अब, विविक्तकर की जाँच करें
यदि B2- 4AC>0 तो आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है
यदि B2- 4AC=0 तो आंशिक अवकल समीकरण परवलयिक है
यदि B2- 4AC<0 तो आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्ताकार है
व्याख्या:
यहाँ, A = P(x,y), B = \(e^{x^2}.e^{y^2}\), C = Q(x,y)
⇒ B2 - 4AC = \((e^{x^2+y^2})^2\) - 4PQ
मान लीजिये P(x,y) = Q(x,y) = 1
⇒ B2 - 4AC = \((e^{x^2+y^2})^2\) - 4
मान लीजिये, \((e^{x^2+y^2})^2\) - 4 = 0 ⇒ \((e^{x^2+y^2})^2\) = 4 ⇒ 2(x2+y2) = ln4
⇒ (x2+y2) = ln2
अब, यदि (x2+y2) > ln2, तो आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है
यदि (x2+y2) = ln2, तो आंशिक अवकल समीकरण परवलयिक है
यदि (x2+y2) < ln2, तो आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्ताकार है
यहाँ, R = ln2 मानते हुए
इसलिए, विकल्प (2) सही है
Classification of Second Order PDE Question 2:
PDE \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x, है
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 2 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
दिया \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x को इस प्रकार लिखा जा सकता है
(D2 + 2DD' + D'2)u = x
तो PI द्वारा दिया जाता है
PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)
= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)
= \(\frac{1}{D^2(1+\frac {D'}D)^2}x\)
= \(\frac{1}{D^2}(1+\frac {D'}D)^{-2}x\)
\(\frac{1}{D^2}(1-\frac {2D'}{D}-...)^{-2}x\)
= \(\frac{1}{D^2}x\) = \(\frac{x^3}{6}\)
इसके अलावा, PI को इस प्रकार दिया जा सकता है
PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)
= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)
= \(\frac{1}{D'^2(1+\frac D{D'})^2}x\)
= \(\frac{1}{D'^2}(1+\frac D{D'})^{-2}x\)
\(\frac{1}{D'^2}(1-\frac {2D}{D'}-...)^{-2}x\)
= \(\frac{1}{D^2}(x-2y)\)
= \(\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\) = \(\frac{x^3}{6}\)
तो हमें दो विशेष अभिन्न अंग मिल रहे हैं
अतः (4) सही है
Classification of Second Order PDE Question 3:
द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल समीकरण uxx + xuyy= 0, ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
द्वितीय- कोटि के गैर-सदृश आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का सामान्य रूप निम्नलिखित है:
A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + f(x, y, ux, uy) = F(x, y)
उपरोक्त आंशिक अवकल समीकरण (PDE) को कहा जाता है:
(i) दीर्घवृत्तीय यदि B2 - 4AC < 0 है।
(ii) परवलयिक यदि B2 - 4AC = 0 है।
(iii) अतिपरवलिक यदि B2 - 4AC > 0 है।
व्याख्या:
दिया गया PDE निम्नलिखित है:
uxx + xuyy= 0
सामान्य रूप से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:
A = 1, B = 0, C = x
इसलिए, B2 - 4AC = 0 - 4 × 1 × x = - 4x
इसलिए, x > 0 के लिए, B2 - 4AC < 0 है, इसलिए PDE दीर्घवृत्तीय है।
x = 0 के लिए, B2 - 4AC = 0 है, इसलिए PDE परवलयिक है।
विकल्प (1) सही है।
Classification of Second Order PDE Question 4:
दिया गया समीकरण है
(1 + X2)Uxx + (1 + y2)Uyy + xUx +yUy = 0, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
(1 + X2)Uxx + (1 + y2)Uyy + xUx +yUy = 0
B2 - 4AC = 0 - 4(1 + X2)(1 + y2) < 0 ∀ x, y ∈ R
इसलिए दिया गया आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्तीय प्रकार का है।
(1), (2) सही हैं
अभिलक्षणिक बहुपद
(1 + X2)λ2 + (1 + y2) = 0
λ = \( \pm i \sqrt{\frac{1+y^2}{1+x^2}}\)
इसलिए अभिलक्षणिक समीकरण हैं \(\rm \frac{d y}{d x}= \pm i \sqrt{\frac{1+y^2}{1+x^2}}\)
(3) सही है
हम दिए गए आंशिक अवकल समीकरण के लिए विहित समीकरण की गणना कर सकते हैं, जो Uαα + Uββ = 0 है
(4) सही है
Classification of Second Order PDE Question 5:
निम्न आंशिक अवकल समीकरणों पर विचार करते हैं,
(i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)
(ii) \(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)
निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
यहाँ, (i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)
इसलिए A = 1, B = 2, C = 1 - sgn(y)
\(∵ \operatorname{sgn}(y)=\left\{\begin{array}{c:c} 1: y>0 \\ 0 ; y=0 \\ -1: y<0 \end{array} \Rightarrow\right.\) \(1-\operatorname{sgn}(y)= \begin{cases}0 & : y>0 \\ 1 & : y=0 \\ 2 & : y<0\end{cases}\)
इसलिए
B2 - 4AC = \(4- \begin{cases}0, & y>0 \\ 4, & y<0 \\ 8, & y<0\end{cases}\)
= \( \begin{cases}4, & \text { if } y>0 \Rightarrow \text { Hyperbolic } \\ 0, & \text { if } y=0 \Rightarrow \text { parabolic } \\ -4, & \text { if } y<0 \Rightarrow \text { Elliptic }\end{cases}\)
विकल्प (1) गलत है, विकल्प (2) सही है।
\(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\) (ii) के लिए,
A = y, B = 0, C = x
∴ B2 - 4AC = 0 - 4yx = -4xy
B2 - 4AC विभिन्न x और y के लिए विभिन्न चतुर्थांश में होगा
चतुर्थांश I और III में, x और y समान चिह्न के हैं ⇒ -4xy < 0 इसलिए PDE I और III में दीर्घवृत्ताकार है।
जबकि चतुर्थांश II और IV में, x और y विपरीत चिह्न के हैं ⇒ -4xy > 0
⇒ B2 - 4AC > 0 इसलिए PDE II और IV में अतिपरवलयिक है।
विकल्प (3) सही है विकल्प (4) गलत है।
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Classification of Second Order PDE Question 6:
निम्न आंशिक अवकल समीकरणों पर विचार करते हैं,
(i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)
(ii) \(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)
निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
यहाँ, (i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)
इसलिए A = 1, B = 2, C = 1 - sgn(y)
\(∵ \operatorname{sgn}(y)=\left\{\begin{array}{c:c} 1: y>0 \\ 0 ; y=0 \\ -1: y<0 \end{array} \Rightarrow\right.\) \(1-\operatorname{sgn}(y)= \begin{cases}0 & : y>0 \\ 1 & : y=0 \\ 2 & : y<0\end{cases}\)
इसलिए
B2 - 4AC = \(4- \begin{cases}0, & y>0 \\ 4, & y<0 \\ 8, & y<0\end{cases}\)
= \( \begin{cases}4, & \text { if } y>0 \Rightarrow \text { Hyperbolic } \\ 0, & \text { if } y=0 \Rightarrow \text { parabolic } \\ -4, & \text { if } y<0 \Rightarrow \text { Elliptic }\end{cases}\)
विकल्प (1) गलत है, विकल्प (2) सही है।
\(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\) (ii) के लिए,
A = y, B = 0, C = x
∴ B2 - 4AC = 0 - 4yx = -4xy
B2 - 4AC विभिन्न x और y के लिए विभिन्न चतुर्थांश में होगा
चतुर्थांश I और III में, x और y समान चिह्न के हैं ⇒ -4xy < 0 इसलिए PDE I और III में दीर्घवृत्ताकार है।
जबकि चतुर्थांश II और IV में, x और y विपरीत चिह्न के हैं ⇒ -4xy > 0
⇒ B2 - 4AC > 0 इसलिए PDE II और IV में अतिपरवलयिक है।
विकल्प (3) सही है विकल्प (4) गलत है।
Classification of Second Order PDE Question 7:
इस PDE पर विचार करें
P(x, y)\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) + \(e^{x^2} e^{y^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) + Q(x,y) \(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\) + \(e^{2 x} \frac{\partial u}{\partial x}\) + \(e^y \frac{\partial u}{\partial y}\) = 0
जहां P तथा Q दो चरों तथा वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। निम्न में से कौन - सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 7 Detailed Solution
संप्रत्यय:
यदि दो चरों x और y में आंशिक अवकल समीकरण द्वितीय कोटि का है, तो यह निम्न रूप में होगा: Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+F=0 जहाँ A,B,C,D,E और F, x और y के फलन हैं।
अब, विविक्तकर की जाँच करें
यदि B2- 4AC>0 तो आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है
यदि B2- 4AC=0 तो आंशिक अवकल समीकरण परवलयिक है
यदि B2- 4AC<0 तो आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्ताकार है
व्याख्या:
यहाँ, A = P(x,y), B = \(e^{x^2}.e^{y^2}\), C = Q(x,y)
⇒ B2 - 4AC = \((e^{x^2+y^2})^2\) - 4PQ
मान लीजिये P(x,y) = Q(x,y) = 1
⇒ B2 - 4AC = \((e^{x^2+y^2})^2\) - 4
मान लीजिये, \((e^{x^2+y^2})^2\) - 4 = 0 ⇒ \((e^{x^2+y^2})^2\) = 4 ⇒ 2(x2+y2) = ln4
⇒ (x2+y2) = ln2
अब, यदि (x2+y2) > ln2, तो आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है
यदि (x2+y2) = ln2, तो आंशिक अवकल समीकरण परवलयिक है
यदि (x2+y2) < ln2, तो आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्ताकार है
यहाँ, R = ln2 मानते हुए
इसलिए, विकल्प (2) सही है
Classification of Second Order PDE Question 8:
PDE \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x, है
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 8 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
दिया \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x को इस प्रकार लिखा जा सकता है
(D2 + 2DD' + D'2)u = x
तो PI द्वारा दिया जाता है
PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)
= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)
= \(\frac{1}{D^2(1+\frac {D'}D)^2}x\)
= \(\frac{1}{D^2}(1+\frac {D'}D)^{-2}x\)
\(\frac{1}{D^2}(1-\frac {2D'}{D}-...)^{-2}x\)
= \(\frac{1}{D^2}x\) = \(\frac{x^3}{6}\)
इसके अलावा, PI को इस प्रकार दिया जा सकता है
PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)
= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)
= \(\frac{1}{D'^2(1+\frac D{D'})^2}x\)
= \(\frac{1}{D'^2}(1+\frac D{D'})^{-2}x\)
\(\frac{1}{D'^2}(1-\frac {2D}{D'}-...)^{-2}x\)
= \(\frac{1}{D^2}(x-2y)\)
= \(\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\) = \(\frac{x^3}{6}\)
तो हमें दो विशेष अभिन्न अंग मिल रहे हैं
अतः (4) सही है
Classification of Second Order PDE Question 9:
निम्नलिखित में से कौन-सा आंशिक अवकलन समीकरण सभी \(x, y\in \mathbb{R}\) के लिए परवलयिक नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 9 Detailed Solution
अवधारणा:
द्वितीय कोटि के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप दिया गया है:
\(A\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {X^2}}} + B\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial X\partial Y}} + C\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {Y^2}}} + f\left( {X,Y,Z\frac{{\partial U}}{{\partial X}},\frac{{\partial U}}{{\partial Y}}\;} \right) = 0\)
उपरोक्त समीकरण को निम्नलिखित के आधार पर परवलयिक, दीर्घवृत्ताकार और अतिपरवलयिक कहा जाता है:
- परवलयिक = B 2 – 4AC = 0
- दीर्घवृत्तीय = B 2 – 4AC < 0
- अतिपरवलयिक = B 2 – 4AC > 0
गणना:
अब, विचार करते हैं:
विकल्प 1: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\)
x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + 1 = 0\)
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 0, B = 1, C = 0
∴ B 2 – 4AC = 1 > 0 ⇒ अतिपरवलयिक
विकल्प 2: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
विकल्प 3: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
विकल्प 4:\({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)
x= y =1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)
सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1
∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक
∴ \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\) सभी \(x, y\in \mathbb{R}\) के लिए परवलयिक नहीं है।
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Classification of Second Order PDE Question 10:
द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल समीकरण uxx + xuyy= 0, ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
द्वितीय- कोटि के गैर-सदृश आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का सामान्य रूप निम्नलिखित है:
A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + f(x, y, ux, uy) = F(x, y)
उपरोक्त आंशिक अवकल समीकरण (PDE) को कहा जाता है:
(i) दीर्घवृत्तीय यदि B2 - 4AC < 0 है।
(ii) परवलयिक यदि B2 - 4AC = 0 है।
(iii) अतिपरवलिक यदि B2 - 4AC > 0 है।
व्याख्या:
दिया गया PDE निम्नलिखित है:
uxx + xuyy= 0
सामान्य रूप से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:
A = 1, B = 0, C = x
इसलिए, B2 - 4AC = 0 - 4 × 1 × x = - 4x
इसलिए, x > 0 के लिए, B2 - 4AC < 0 है, इसलिए PDE दीर्घवृत्तीय है।
x = 0 के लिए, B2 - 4AC = 0 है, इसलिए PDE परवलयिक है।
विकल्प (1) सही है।
Classification of Second Order PDE Question 11:
दिया गया समीकरण है
(1 + X2)Uxx + (1 + y2)Uyy + xUx +yUy = 0, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Classification of Second Order PDE Question 11 Detailed Solution
व्याख्या:
(1 + X2)Uxx + (1 + y2)Uyy + xUx +yUy = 0
B2 - 4AC = 0 - 4(1 + X2)(1 + y2) < 0 ∀ x, y ∈ R
इसलिए दिया गया आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्तीय प्रकार का है।
(1), (2) सही हैं
अभिलक्षणिक बहुपद
(1 + X2)λ2 + (1 + y2) = 0
λ = \( \pm i \sqrt{\frac{1+y^2}{1+x^2}}\)
इसलिए अभिलक्षणिक समीकरण हैं \(\rm \frac{d y}{d x}= \pm i \sqrt{\frac{1+y^2}{1+x^2}}\)
(3) सही है
हम दिए गए आंशिक अवकल समीकरण के लिए विहित समीकरण की गणना कर सकते हैं, जो Uαα + Uββ = 0 है
(4) सही है