Increasing and Decreasing Functions MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Increasing and Decreasing Functions - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

\( f(x) = \sin^{4} x + \cos^{4}x \)

⇒ \( f'(x) = 4\sin^{3} x\cos x + 4\cos^{3} x(-\sin x) \)

⇒ \( 4\sin x \cos x (\sin^{2}x - \cos^{2} x) \)

⇒ \( -2\sin 2x \cos 2x \)

⇒ \( -\sin 4x \)

\( f(x) \) ক্রমবর্ধমান যখন \( f'(x) > 0 \)

\( \Rightarrow -\sin 4x > 0 \)

\( \Rightarrow \sin 4x < 0 \)

\( \Rightarrow 4x\in \left(\pi,2\pi\right) \)

\( \Rightarrow x\in \left (\dfrac {\pi}{4}, \dfrac {\pi}{2}\right ) \)

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

গণনা:

প্রদত্ত, \(f(x)=\sin x+3 x-\frac{2}{\pi}\left(x^2+x\right)\) \(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)

⇒ \(f^{\prime}(x)=\cos x+3-\frac{2}{\pi}(2 x+1)>0 \quad f(x) \uparrow\)

⇒ \(f^{\prime\prime}(x)=-\sin x-\frac{4}{\pi}<0\)

\(0<{x}<\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(-\frac{2}{\pi}(\underset{+1}{0}<\underset{+1}{2 x}<\underset{+1}{\pi})\)

∴ \(\rm \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) অন্তরালে f ক্রমবর্ধমান।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1।

ধারণা:

• একভাবে ফাংশন হ্রাস করার জন্য ফাংশনটি,

f'(x) < 0

গণনা

প্রদত্ত:

f(x) = tan-1 x - x

⇒ f'(x) < 0

\(f'(x) = \frac{1}{{1 + {x^2}}} - 1 = \frac{{ - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} < 0\)

• সুতরাং, 0 ছাড়া x ϵ R-এর সমস্ত মানের জন্য রাশিটি সত্য, কারণ যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সবসময়ই ধনাত্মক হবে।

⇒ x ϵ R - {0}

• সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3

ধারণা:

• একভাবে ফাংশন বৃদ্ধি করার জন্য ফাংশন,

f'(x) > 0

গণনা

প্রদত্ত:

f(x) = sin4 x + cos4 x

⇒ 4 sin3 x.cos x - 4 cos3 x . sin x > 0

⇒  sinx .cosx(sin2 x - cos2 x) > 0

⇒  2sinx .cosx ( cos2 x - sin2 x)/2 < 0

• 2 দ্বারা গুণ এবং ভাগ করে,

⇒ 2sin 2x. cos2x/2 < 0

⇒ sin 4x <0

∴ π < 4x < 2π বা 3π < 4x < 4π

∴ π/4 < x < π/2 বা 3π/4 < x < π

• সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2

অনুসৃত ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) <0 হয় তাহলে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x - e^x

x এর সাথে পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ f'(x) = 1 - e^x

ফাংশন বাড়ানোর জন্য,

f'(x) > 0

⇒ 1 – ex > 0

⇒ ex < 1

⇒ ex < e0

∴ x < 0

সুতরাং, x ∈ (-∞, 0)

অনুসৃত ধারণা:

অনুসৃত ত্রিকোণমিতিক সূত্র:

• sin 3x = 3sin x – 4sin ³ x

গণনা:

প্রদত্ত: f(x) = 3sin x – 4sin³ x

আমরা জানি, sin 3x = 3sin x – 4sin³ x

সুতরাং, f(x) = 3 sin x – 4 sin³ x = sin 3x

আমরা জানি যে, sin 3x একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন।

যেহেতু, sin 3x -π/6 থেকে π/6 পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়।

ক্রমবর্ধমান ব্যবধানের দৈর্ঘ্য = π/6 – (-π/6)

= π/3

অনুসৃত সূত্র:

পার্থক্য সূত্র:

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n-1}\)

গণনা:

f(x) = x2 - kx

⇒ f ^' (x) = 2x - k

যেহেতু, f একঘেয়েভাবে বাড়ছে।

f ' (x) > 0

⇒ 2x - k > 0

⇒ k < 2x ----(1)

যেহেতু, আমাদের 1 < x < ∞ আছে

⇒ 2 < 2x < ∞ ----(2)

(1) এবং (2) থেকে পাই,

k < 2

∴ সঠিক সম্পর্কটি হল k < 2

ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 হয় তাহলে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান হয়।
• যদি f′(x) <0 হয় তবে অপেক্ষকটি হ্রাস পায়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = cos x – x

x এর পরিপ্রেক্ষিতে পার্থক্য করার পর, আমরা পাই

⇒ f’(x) = -sin x – 1

আমরা জানি যে,

-1 ≤ sin x ≤ 1, x ∈ R এর জন্য

⇒ -1 ≤ -sin x ≤ 1, x ∈ R এর জন্য

⇒ -1 - 1 ≤ -sin x - 1 ≤ 1 - 1, x ∈ R এর জন্য

⇒ -2 ≤ f’(x) ≤ 0, x ∈ R এর জন্য

∴ f’(x) ≤ 0, x ∈ R এর জন্য

সুতরাং, x ∈ R বা x ∈ (-∞,∞) তে f(x) হ্রাস পেয়েছে।

ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) <0 হয় তাহলে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত: f(x) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন এবং g(x) একটি হ্রাসকারী ফাংশন

∴ f'(x) > 0 এবং g'(x) < 0

ধরি, h(x) = gof(x) = g(f(x))

x এর সাথে পার্থক্য করে পাই,

⇒ h'(x) = g'(f(x)) × f'(x)

আমরা জানি, f'(x) > 0 এবং g'(x) < 0

অতএব, h'(x) = (ঋণাত্মক) × (ধনাত্মক) = ঋণাত্মক

∴ h'(x) < 0

সুতরাং, gof(x) ফাংশন হ্রাস করছে।

বিকল্প সমাধান:

ধরি, x₁ < x₂

প্রদত্ত: f(x) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন এবং g(x) একটি হ্রাসকারী ফাংশন

∴ f(x ₁ ) < f(x ₂ ) এবং g(x ₁ ) > g(x ₂ )

ধরি, h(x) = gof(x) = g(f(x))

আমরা জানি যে, f(x ₁ ) < f(x ₂ )

⇒ g(f(x ₁ )) > g(f(x ₂ ))

সুতরাং, gof(x) ফাংশন হ্রাস করছে।

গণনা:

প্রদত্ত, \(f(x)=\sin x+3 x-\frac{2}{\pi}\left(x^2+x\right)\) \(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\)

⇒ \(f^{\prime}(x)=\cos x+3-\frac{2}{\pi}(2 x+1)>0 \quad f(x) \uparrow\)

⇒ \(f^{\prime\prime}(x)=-\sin x-\frac{4}{\pi}<0\)

\(0<{x}<\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(-\frac{2}{\pi}(\underset{+1}{0}<\underset{+1}{2 x}<\underset{+1}{\pi})\)

∴ \(\rm \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) অন্তরালে f ক্রমবর্ধমান।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1।

ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) <0 হয় তাহলে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = tan^-1 x

x এর সাথে পার্থক্য করে পাই,

\( \Rightarrow {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\frac{1}{{1 + {{\rm{x}}^2}}}{\rm{\;}}\)

আমরা জানি যে, x ∈ R এর জন্য x² > 0

x ∈ R এর জন্য ⇒ 1 + x² > 0

সুতরাং, 1 + x² x ∈ R-এর জন্য ধনাত্মক মান দেয়

অতএব, x ∈ R এর জন্য f'(x) > 0

তাই f(x) x ∈ R বা x ∈ (-∞,∞) এ বাড়ছে

ধারণা: 

• \(\frac{{d\left( {{e^{ax}}} \right)}}{{dx}} = a ⋅ {e^{ax}}\)
• \(\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) ⋅ g\left( x \right)} \right] = f\left( x \right) ⋅ \;\frac{{d\left\{ {g\left( x \right)} \right\}}}{{dx}}\; + \;\;g\left( x \right) ⋅ \;\frac{{d\left\{ {f\left( x \right)} \right\}}}{{dx}}\)

ধরা যাক f(x) একটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত একটি অপেক্ষক (a, b), এই অপেক্ষকটিকে একটি ক্রমবর্ধমান অপেক্ষক বলা হয়:

• যদি x1 < x2 হয় তাহলে f(x1) ≤ f(x2 f(x1) ≤ f(x2) ∀ x1, x2 ∈ (a, b) হয়
• এখানে, \(\frac{{dy}}{{dx}} \ge 0\;or\;f'\left( x \right) \ge 0\)

একইভাবে, f(x) কে একটি হ্রাসকারী অপেক্ষক বলা হয়:

• যদি x1 < x2 হয় তাহলে f(x1) ≥ f(x2) ∀ x1, x2 ∈ (a, b হয়
• এখানে, \(\frac{{dy}}{{dx}} \le 0\;or\;f'\left( x \right) \le 0\)

গণনা:

প্রদত্ত:  f(x) = (x + 2) e-x 

এখানে আমাদের সেই ব্যবধানটিকে নির্ণয় করতে হবে যেখানে f(x) হ্রাস পেয়েছে।

প্রথমে f'(x) কে গণনা করা যাক

আমরা জানি যে,

\(\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) ⋅ g\left( x \right)} \right] = f\left( x \right) ⋅ \;\frac{{d\left\{ {g\left( x \right)} \right\}}}{{dx}}\; + \;\;g\left( x \right) ⋅ \;\frac{{d\left\{ {f\left( x \right)} \right\}}}{{dx}}\)

\(⇒ f'\left( x \right) = \left( {x + 2} \right) ⋅ \frac{{d\left( {{e^{ - x}}} \right)}}{{dx}} + {e^{ - x}} ⋅ \frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{{dx}}\)

আমরা যেমনটি জানি, \(\frac{{d\left( {{e^{ax}}} \right)}}{{dx}} = a ⋅ {e^{ax}}\)

\(⇒ f'\left( x \right) = \; - \left( {x + 2} \right) ⋅ {e^{ - x}} + {e^{ - x}} ⋅ 1\)

\(⇒ f'\left( x \right) = \; - \left( {x + 1} \right) ⋅ {e^{ - x}}\)

আমরা জানি যে একটি হ্রাসকারী অপেক্ষক f(x) এর জন্য আমাদের কাছে f'(x) ≤ 0 আছে।

⇒ - (x + 1) ⋅ e- x ≤ 0

⇒ (x + 1) ⋅ e- x ≥ 0

⇒ x + 1 ≥ 0 ---------(∵ e- x > 0)

⇒ x ≥ - 1

সুতরাং, যে ব্যবধানে প্রদত্ত অপেক্ষকটি হ্রাস পাচ্ছে তা হল [- 1, ∞)

ধারণা:

একটি ফাংশনের জন্য y = f(x):

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা বা মিনিমার বিন্দুতে, f'(x) = 0।
• যেসব অঞ্চলে f(x) বাড়ছে, f'(x) > 0।
• যেসব অঞ্চলে f(x) কমছে, f'(x) < 0।

গণনা:

ফাংশন f(x) = x2 + 2x - 5 যথাযথভাবে বৃদ্ধি করার জন্য, f'(x) > 0।

⇒ f'(x) = 2x + 2 > 0

⇒ x > -1

⇒ x ∈ (-1, ∞)

অনুসৃত ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) <0 হয় তাহলে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x - e^x

x এর সাথে পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ f'(x) = 1 - e^x

ফাংশন বাড়ানোর জন্য,

f'(x) > 0

⇒ 1 – ex > 0

⇒ ex < 1

⇒ ex < e0

∴ x < 0

সুতরাং, x ∈ (-∞, 0)