Differentiability MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Differentiability - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Differentiability MCQ Objective Questions
Differentiability Question 1:
যদি f(x) = x2 + 4x + 3 হয়, তাহলে f'(1) = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
ব্যবহৃত সূত্র:
\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)
সমাধান:
f(x) = x2 + 4x + 3
'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।
\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)
⇒ f'(x) = 2x + 4
x = 1 বসিয়ে পাই,
সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6
∴ f'(1) এর মান হল 6।
Differentiability Question 2:
যদি y = log sin x হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 2 Detailed Solution
ধারণা:
অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য অপেক্ষক হয়, তাহলে:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)
\(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)
\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; cosx\)
গণনা:
প্রদত্ত: y = log sinx
ধরি sin x = u
⇒ y = log u
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{u}}\frac{d}{{dx}}\left( {u} \right) \)
\(= \frac{1}{{\sin x}}\left( { cos x} \right) \)
সুতরাং, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান হবে \(\frac{1}{sin~x} cos~x\)।
Differentiability Question 3:
ত্রিঘাত সমীকরণ x3 - 2x - 8 = 0 এর
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,
- x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
- x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।
গণনা:
প্রদত্ত:
f(x) = x3 - 2x - 8
আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।
f'(x) = 3x2 - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,
3x2 - 2 = 0
\(x = \; \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\)
\(f\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 9.089\) এবং \(f\left( {-\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 6.911\)
x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।
দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।
সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,
f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48
এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,
- অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
- অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
- অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।
Differentiability Question 4:
ধরি, f = yx , x = 2, y = 1 হলে \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\) এর মান কত হবে?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 4 Detailed Solution
\(f = {y^x}\)
ln f = x lny
⇒ \(\frac{1}{f}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{x}{y}\)
⇒ \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {y^x}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {y^{x - 1}}.x\)
⇒ \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\;\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^{x - 1}}.x} \right)\)
\( = {y^{x - 1}} + x{y^{x - 1}}lny\)
\(= {1^{\left( {2 - 1} \right)}} + \left[ {2 \times {1^{\left( {2 - 1} \right)}}\ln \left( 1 \right)} \right] = 1\)
Top Differentiability MCQ Objective Questions
যদি y = log sin x হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য অপেক্ষক হয়, তাহলে:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)
\(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)
\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; cosx\)
গণনা:
প্রদত্ত: y = log sinx
ধরি sin x = u
⇒ y = log u
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{u}}\frac{d}{{dx}}\left( {u} \right) \)
\(= \frac{1}{{\sin x}}\left( { cos x} \right) \)
সুতরাং, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান হবে \(\frac{1}{sin~x} cos~x\)।
ধরি, f = yx , x = 2, y = 1 হলে \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\) এর মান কত হবে?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDF\(f = {y^x}\)
ln f = x lny
⇒ \(\frac{1}{f}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{x}{y}\)
⇒ \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {y^x}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {y^{x - 1}}.x\)
⇒ \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\;\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^{x - 1}}.x} \right)\)
\( = {y^{x - 1}} + x{y^{x - 1}}lny\)
\(= {1^{\left( {2 - 1} \right)}} + \left[ {2 \times {1^{\left( {2 - 1} \right)}}\ln \left( 1 \right)} \right] = 1\)
ত্রিঘাত সমীকরণ x3 - 2x - 8 = 0 এর
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,
- x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
- x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।
গণনা:
প্রদত্ত:
f(x) = x3 - 2x - 8
আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।
f'(x) = 3x2 - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,
3x2 - 2 = 0
\(x = \; \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\)
\(f\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 9.089\) এবং \(f\left( {-\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 6.911\)
x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।
দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।
সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,
f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48
এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,
- অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
- অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
- অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।
Differentiability Question 8:
যদি \(f(x)\) \(\rm {[-3,3]}\) ব্যবধানে একটি রৈখিক ফাংশন হয় তাহলে \(\rm {c\in(-3, 3)}\) এর জন্য c এর মান কত হতে হবে যাতে \(\rm {6f^{'}(c)+f(-3)=f(3)}।\) হয়?
Answer (Detailed Solution Below)
c এর উপর কোন শর্ত নেই
Differentiability Question 8 Detailed Solution
ধরুন \(\rm {∴ f’(x) = a}\)
\(\rm {6f^{'}(c)+f(-3)=f(3)}.\)
প্রদত্ত,
\(\rm {(-3, 3)}\)
\(\rm {⇒ 6a = 3a + b – (-3a + b)}\)
\(\rm {⇒ a = a}\)
∴ C যেকোনো মান হতে পারে \(\rm {(-3, 3)}\)
সুতরাং, c এর উপর কোন শর্ত নেই
Differentiability Question 9:
যদি y = log sin x হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 9 Detailed Solution
ধারণা:
অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য অপেক্ষক হয়, তাহলে:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)
\(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)
\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; cosx\)
গণনা:
প্রদত্ত: y = log sinx
ধরি sin x = u
⇒ y = log u
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{u}}\frac{d}{{dx}}\left( {u} \right) \)
\(= \frac{1}{{\sin x}}\left( { cos x} \right) \)
সুতরাং, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান হবে \(\frac{1}{sin~x} cos~x\)।
Differentiability Question 10:
যদি f(x) = x2 + 4x + 3 হয়, তাহলে f'(1) = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 10 Detailed Solution
ধারণা:
ব্যবহৃত সূত্র:
\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)
সমাধান:
f(x) = x2 + 4x + 3
'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।
\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)
⇒ f'(x) = 2x + 4
x = 1 বসিয়ে পাই,
সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6
∴ f'(1) এর মান হল 6।
Differentiability Question 11:
ধরি, f = yx , x = 2, y = 1 হলে \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\) এর মান কত হবে?
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 11 Detailed Solution
\(f = {y^x}\)
ln f = x lny
⇒ \(\frac{1}{f}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{x}{y}\)
⇒ \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {y^x}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {y^{x - 1}}.x\)
⇒ \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\;\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^{x - 1}}.x} \right)\)
\( = {y^{x - 1}} + x{y^{x - 1}}lny\)
\(= {1^{\left( {2 - 1} \right)}} + \left[ {2 \times {1^{\left( {2 - 1} \right)}}\ln \left( 1 \right)} \right] = 1\)
Differentiability Question 12:
ত্রিঘাত সমীকরণ x3 - 2x - 8 = 0 এর
Answer (Detailed Solution Below)
Differentiability Question 12 Detailed Solution
ধারণা:
বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,
- x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
- x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।
গণনা:
প্রদত্ত:
f(x) = x3 - 2x - 8
আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।
f'(x) = 3x2 - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,
3x2 - 2 = 0
\(x = \; \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\)
\(f\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 9.089\) এবং \(f\left( {-\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 6.911\)
x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।
দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।
সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,
f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48
এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,
- অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
- অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
- অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।