वे सदिश जिनकी दिशा आव्यूह पर रैखिक परिवर्तन लागू करने के बाद भी अपरिवर्तित रहती है, क्या कहलाती है?

स्पष्टीकरण:

अभिलक्षणिक सदिश:

• एक अभिलक्षणिक सदिश एक सदिश है जिसकी दिशा अपरिवर्तित रहती है जब उस पर एक रैखिक परिवर्तन लागू किया जाता है। नीचे दी गई आकृति पर विचार करें जिसमें तीन सदिश दिखाए गए हैं। हरा वर्ग केवल इन तीन सदिशों में से प्रत्येक पर लागू होने वाले रैखिक परिवर्तन को चित्रित करने के लिए तैयार किया गया है।

• जब एक रैखिक परिवर्तन (जैसे सोपानन) लागू किया जाता है तो अभिलक्षणिक सदिश दिशा नहीं बदलते हैं लेकिन अन्य सदिश बदलते हैं।

• यह केवल एक अदिश कारक द्वारा बदलता है। संक्षेप में, हम कह सकते हैं, यदि A एक सदिश समष्टि 'V' से एक रैखिक रूपांतरण है और 'x' V में एक सदिश है, जो शून्य सदिश नहीं है, तो 'v', A का एक अभिलक्षणिक सदिश है, यदि A(x), x का एक अदिश गुणज है।

• सदिश x के एक अभिलक्षणिक समष्टि में सभी अभिलक्षणिक सदिश का एक समुच्चय होता है, जिसमें समान अभिलक्षणिक मान सामूहिक रूप से शून्य सदिश के साथ होता है। हालांकि, शून्य सदिश एक अभिलक्षणिक सदिश नहीं है।

• मान लीजिए कि A एक "n × n" आव्यूह है और λ, आव्यूह A का एक अभिलक्षणिक मान है, तो x, एक शून्येतर सदिश, एक अभिलक्षणिक सदिश कहलाता है यदि यह नीचे दिए गए व्यंजक को संतुष्ट करता है;

Ax = λx

• x, अभिलक्षणिक मान, λ के अनुरूप A का एक अभिलक्षणिक सदिश है। 
• एक अभिलक्षणिक मान के अनुरूप अनंततः कई अभिलक्षणिक सदिश हो सकते हैं।
• विशिष्ट अभिलक्षणिक मानों ​​के लिए, रैखिक रूप से निर्भर हैं।

Additional Informationअभिलक्षणिक मान:

• अभिलक्षणिक मान, ​​​​रैखिक समीकरणों की प्रणाली से जुड़े अदिशों का विशेष समुच्चय है। यह ज्यादातर आव्यूह समीकरणों में प्रयोग किया जाता है। 'आइगेन' एक जर्मन शब्द है जिसका अर्थ है 'उचित' या 'विशेषता'।
• इसलिए, अभिलक्षणिक मान शब्द को विशेषता मान, विशेषता मूल, उचित मान या गुप्त मूल भी कहा जा सकता है। सरल शब्दों में, अभिलक्षणिक मान एक अदिश राशि है जिसका उपयोग अभिलक्षणिक सदिश को बदलने के लिए किया जाता है। मूल समीकरण Ax = λx है।
• संख्या या अदिश मान “λ”, A का अभिलक्षणिक मान है।
• गणित में, एक अभिलक्षणिक सदिश वास्तविक शून्येतर अभिलक्षणिक मान ​​से मेल खाता है जो परिवर्तन द्वारा बढ़ाई गई दिशा में इंगित करता है जबकि अभिलक्षणिक मान को एक कारक के रूप में माना जाता है जिसके द्वारा इसे बढ़ाया जाता है। यदि अभिलक्षणिक मान ऋणात्मक है, तो परिवर्तन की दिशा ऋणात्मक है।
• प्रत्येक वास्तविक आव्यूह के लिए, एक अभिलक्षणिक मान होता है। कभी-कभी यह सम्मिश्र हो सकता है। सम्मिश्र आव्यूहों के लिए अभिलक्षणिक मान का अस्तित्व, बीजगणित के मौलिक प्रमेय के बराबर है।

एक आव्यूह का गौण:

• ​आव्यूह में एक अवयव के गौण को उस पंक्ति और स्तम्भ को हटाकर प्राप्त सारणिक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें वह अवयव निहित है। जैसे सारणिक में।

A = \(\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \\ \end{vmatrix}\)

 a₁₂ की गौण को इस प्रकार दर्शाया गया है:

M₁₂ = \(\begin{vmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \\ \end{vmatrix}\)

सह-खण्ड:

• किसी अवयव का सह-खण्ड उसके गौण से संबंधित होता है जैसे:

C_ij = (-1)^{i + j} ×( M_ij)

जहाँ i, ith  पंक्ति को दर्शाता है और j, jth स्तम्भ को दर्शाता है जिससे aij अवयव संबंधित है।