\(\rm \int {^{\frac \pi 2}_0} \int ^\pi_0 \cos (x + y) dx\;dy\) का मान क्या है?

संकेत:

\(\rm \int {^{\frac \pi 2}_0} \int ^\pi_0 \cos (x + y) dx\;dy\) खोजने के लिए बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

हम जानते हैं कि:

\(\rm sin(\pi + \theta)= -sin\;\theta\) और:

\(\rm sin(-\;\theta)= -sin\;\theta\)

गणना:

मानें कि, I = \(\rm \int {^{\frac \pi 2}_0} \int ^\pi_0 \cos (x + y) dx\;dy\)

ज्ञात करना है:

\(\rm \int {^{\frac \pi 2}_0} \int ^\pi_0 \cos (x + y) dx\;dy\)

बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है, तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

\(=\rm \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} [sin(x+y)]_0^\pi dy\)

\(= \rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(sin(π+y)-sin(0+y))\;dy\)

हम जानते हैं कि \(\rm sin(\pi + \theta)= -sin\;\theta\) और \(\rm sin(-\;\theta)= -sin\;\theta\)

\(= \rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(-siny-siny )\;dy\)

\(= \rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(-2siny)\;dy\)

\(= -2\rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(siny)\;dy\)

= 2 [cos y]0π/2

= 2 [cos 90° - cos 0°]

= -2