[π, 3π] पर फलन f (x) = \(\rm cos \frac{x}{2}\) के लिए रोले के प्रमेय में 'c' का मान क्या है?

संकल्पना:

रोले की प्रमेय:

रोले की प्रमेय में कहा गया है कि यदि कोई फलन f बंद अंतराल [a, b] पर निरंतर है और खुले अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है जैसे कि,

f(a) = f(b) तो, किसी c ∈ [a, b] के लिए

f′(c) = 0

गणना:

दिया गया फलन [π, 3π] पर f(x) = \(\rm \cos \dfrac{x}{2}\) है।

f(π) = \(\rm \cos \dfrac{\pi}{2}\) = 0 और f(3π) = \(\rm \cos \dfrac{3\pi}{2}\) = 0।

चूँकि f(π) = f(3π), एक c ∈ [π, 3π] ऐसे मौजूद होने चाहिए जैसे कि f'(c) = 0।

f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}\left (\cos \dfrac{x}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {x}{2} \right )\)

⇒ f'(c) = \(\rm -\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {c}{2} \right )\) = 0

⇒ \(\rm \sin \dfrac {c}{2}\) = 0

⇒ \(\rm \dfrac {c}{2}\) = nπ

⇒ c = 2nπ, जहाँ n एक पूर्णांक है।

हम c ∈ [π, 3π] चाहते हैं इसलिए c = 2π।