Applications of Derivatives MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Applications of Derivatives - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• \(\text{Related Rates}: \) ऐसी समस्याएँ जहाँ दो या दो से अधिक मात्राएँ समय के साथ बदलती हैं।
• \(\text{Volume of Cone } \) सूत्र है \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) , जहाँ \(\(t\) आयतन है, \(r\) त्रिज्या है, और \(h\) ऊँचाई है।
• \(\text{Constant Ratio Condition} : \) दिया गया है \(h = \frac{1}{6}r\) , त्रिज्या और ऊंचाई आनुपातिक हैं, इसलिए \(r\) \(h\) के संदर्भ में व्यक्त करें।
• Differentiation: समय \( \(V\) V\) का विभेदन करें ताकि पता चल सके कि आयतन बढ़ने पर ऊंचाई कितनी तेजी से बदलती है।

गणना:

दिया गया,

\(\frac{dV}{dt} = 12 \, \text{cm}^3/\text{s}\)

ऊँचाई और त्रिज्या का संबंध: \(h = \frac{1}{6}r\) अतः \(r = 6h\)

शंकु का आयतन:

\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)

⇒ प्रतिस्थापित करें \(r = 6h\) :

\(V = \frac{1}{3}\pi (6h)^2 h\)

⇒ \(V = \frac{1}{3}\pi \times 36h^2 \times h\)

⇒ \(V = 12\pi h^3\)

दोनों पक्षों को \(t\) के संबंध में अवकलित करें:

\(\frac{dV}{dt} = 36\pi h^2 \frac{dh}{dt}\)

\(\frac{dV}{dt} = 12\) और \(h = 4\) प्रतिस्थापित करें:

⇒ \(12 = 36\pi \times (4)^2 \times \frac{dh}{dt}\)

⇒ \(12 = 36\pi \times 16 \times \frac{dh}{dt}\)

⇒ \(12 = 576\pi \frac{dh}{dt}\)

⇒ \(\frac{dh}{dt} = \frac{12}{576\pi} = \frac{1}{48\pi}\)

ऊंचाई \(\frac{1}{48\pi} \, \text{cm/s}\) की दर से बढ़ती है।

⇒ 96πh = 2

अतः 2 सही उत्तर है।

गणना:

f(x) = 2x³ + (2p - 7)x² + 3(2p - 9)x - 6

⇒ f'(x) = 6x² + 2(2p - 7)x + 3(2p - 9)

f'(x) = 0 के मूलों के लिए, विविक्तकर > 0 होना चाहिए और f''(x) का चिन्ह बदलना चाहिए।

चूँकि x<0 पर उच्चिष्ठ और x>0 पर निम्निष्ठ है, इसलिए f'(0) < 0

∴ 3(2p - 9) < 0

⇒ \(\mathrm{p}<\frac{9}{2}\)

⇒ \(\mathrm{p} \in\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

⇒ f'(x) = 8x³ - 36x + 8 = 4(2x³ - 9x + 2)

f'(x) = 0

∴ \(x=\frac{\sqrt{6}-2}{2}\)

अब

⇒ \(f(x)=\left(x^{2}-2 x-\frac{9}{2}\right)\left(2 x^{2}+4 x-1\right)+24 x+7.5\)

∴ \(f\left(\frac{\sqrt{6}-2}{2}\right)=M=12 \sqrt{6}-\frac{33}{2} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

त्रिघात फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्‍ठ ज्ञात करना:

• त्रिघात फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्‍ठ ज्ञात करने के लिए, पहले फलन को अवकलित करें और अवकलज को शून्य के बराबर करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
• क्रांतिक बिंदु x के मानों के अनुरूप होते हैं जहाँ फलन स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्‍ठ प्राप्त करता है।
• प्राचल ज्ञात करने और आवश्यक बिंदुओं पर फलन का मूल्यांकन करने के लिए क्रांतिक बिंदुओं पर दी गई स्थितियों का उपयोग करें।

गणना:

दिया गया है,

\( f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2 x + 1 \)

प्रथम अवकलज,

\( f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2 \)

क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए \( f'(x) = 0 \) सेट करने पर:

\( 6x^2 - 18ax + 12a^2 = 0 \)

6 से भाग देने पर:

\( x^2 - 3ax + 2a^2 = 0 \)

मान लीजिए कि मूल \( p \) और \( q \) हैं। तब, वियता के सूत्रों द्वारा,

• \( p + q = 3a \)
• \( pq = 2a^2 \)

दी गई स्थिति,

\( p^2 = q \)

\( q = p^2 \) प्रतिस्थापित करने पर

\( p + p^2 = 3a \)

\( p \cdot p^2 = p^3 = 2a^2 \)

योग से,

\( a = \frac{p + p^2}{3} \)

गुणनफल से,

\( a^2 = \frac{p^3}{2} \)

योग का वर्ग करके गुणनफल के बराबर करने पर:

\( \left( \frac{p + p^2}{3} \right)^2 = \frac{p^3}{2} \)

\( p \) के लिए हल करने पर \( p = 2 \) प्राप्त होता है।

तब,

\( a = \frac{2 + 4}{3} = 2 \)

अंत में, \( f(3) \) का मूल्यांकन करने पर:

\( f(3) = 2(3)^3 - 9(2)(3)^2 + 12(2)^2 (3) + 1 \)

\( = 54 - 162 + 144 + 1 = 37 \)

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

• क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ f'(x) = 0 या व्युत्पन्न अस्तित्व नहीं होता है।
• लघुगणक वाले समीकरणों के वास्तविक हलों की संख्या प्रतिस्थापन द्वारा द्विघात रूप में कम करके पाई जा सकती है।
• जब कोई रेखा किसी वक्र को स्पर्श करती है, तो इसका अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और उस बिंदु पर ढलान समान होते हैं।
• यदि कोई फलन चर सीमाओं के साथ निश्चित समाकल का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, तो लेबनिज नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न को नियंत्रित किया जाता है।

गणना:

(I) क्रांतिक बिंदुओं की संख्या

दिया गया है,

f(x) = x^3/5 x ≤ 1 के लिए

    = −(x − 2)³ x > 1 के लिए

⇒ f″(x) = 0, x = 2 के लिए और x = 0 पर अस्तित्व नहीं है। 

⇒ कुल क्रांतिक बिंदु = 3 (A, B, C)

∴ (I) → Q

(II) वास्तविक हलों की संख्या

दिया गया है, log₂²x + (x − 1) log₂ x = 6 − 2x

⇒ माना y = log₂ x

⇒ y² + (x − 1)y = 6 − 2x

⇒ y में एक द्विघात बनाएँ और वास्तविक x के लिए हल करने पर,

⇒ हल: x = 1/4 और x = 2

उनका गुणनफल = 1/2

∴ (II) → S

(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि रेखा 3x + 4y = c वक्र x⁴/2 = x + y को स्पर्श करती है

दिया गया है, dy/dx = −1 + 2x³

⇒ dy/dx = −3/4 (रेखा का ढलान) सेट करने पर,

⇒ −1 + 2x₁³ = −3/4 ⇒ x₁ = 1/2

⇒ वक्र से: x⁴/2 = x + y

⇒ (1/2)⁴/2 = 1/2 + y₁

⇒ 1/32 = 1/2 + y₁

⇒ y₁ = −15/32

⇒ c = 3x + 4y = 3/2 + 4(−15/32) = −3/8

∴ (III) → P

(IV) f(x) = ∫_x^x²(t − 1) dt , 1 ≤ x ≤ 2

⇒ f′(x) = 2x(x² − 1) − (x − 1) = 2x³ − 3x + 1

⇒ f′(x) (1, 2) में हमेशा धनात्मक है। 

⇒ इसलिए, फलन [1, 2] में वर्धमान है। 

⇒ अधिकतम मान x = 2 पर है। 

∴ (IV) → T

अंतिम मिलान: (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T है। 

संकल्पना:

एक बिंदु (a, b) पर वक्र y = f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण (y - b) = m(x - a) द्वारा दिया जाता है, जहाँ m = y'(b) = f'(a) [बिंदु (a, b) पर अवकलज का मूल्य]।

गणना:

y = f(x) = x3

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

• फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = \(\frac12\)

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x = \(\frac12\) पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f(\(\frac12\)) = (\(\frac12\))² - \(\frac12\) + 2 = \(\frac74\)

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

'x' के परिवर्तन की दर को \(\rm \frac {dx}{dt}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है कि, y = 2x – x² और \(\rm \frac {dx}{dt}\) = 3 इकाई/सेकेंड

तो, वक्र का ढलान, \(\rm \frac {dy}{dx}\) = 2 - 2x = m

⇒\(\rm \frac {dm}{dt}\)  = 0 - 2 × \(\rm \frac {dx}{dt}\)

= -2(3)

= प्रति सेकेंड -6 इकाई

इसलिए, जब x प्रति सेकेंड 3 इकाई की दर से बढ़ता है, तो वक्र का ढलान प्रति सेकेंड 6 इकाई की दर से बढ़ता है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

धारणा:

प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

गणना:

माना कि f(x) = |x + 3| - 2

जैसा कि हम जानते हैं कि प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0

∴ |x + 3| ≥ 0

फलन का न्यूनतम मान प्राप्त होता है जब |x + 3| = 0

इसलिए f(x) का न्यूनतम मान = 0 – 2 = -2 

संकल्पना:

यदि प्रत्येक बिंदु पर f′(x) > 0 एक अंतराल में है तो फलन को निरंतर वर्धमान फलन कहा जाता है।

गणना:

दिया गया है, f(x) = x2 - 2x 

अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

f'(x) = 2x - 2

f(x) निरंतर वर्धमान फलन है। 

∴ f'(x) > 0

⇒ 2x - 2> 0

⇒ x > 1

∴ x ∈ (1, ∞)

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) के लिए:

• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।

गणना:

दिए गए फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 के लिए पहले स्थानीय उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदु खोजें:

f'(x) = 12x³ + 12x² - 24x = 0

⇒ 12x(x² + x - 2) = 0

⇒ x(x + 2)(x - 1) = 0

⇒ x = 0 या x = -2 या x = 1

f''(x) = 36x² + 24x - 24

f''(0) = 36(0)2 + 24(0) - 24 = -24

f''(-2) = 36(-2)2 + 24(-2) - 24 = 144 - 48 - 24 = 72

f''(1) = 36(1)2 + 24(1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36

चूँकि x = 0 पर मान f''(0) = -24 < 0, फलन का स्थानीय अधिकतम मान x = 0 पर होता है।

संकल्पना:

• यदि f′(x) > 0 है तो फलन को निरंतर वर्धमान फलन कहा जाता है। 
• यदि f′(x) < 0 है तो फलन को घटता हुआ फलन कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = 1 - x - x3

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f'(x) = 0 - 1 - 3x2

⇒ f'(x) =  - 1 - 3x2

घटते हुए फलन के लिए, f'(x) < 0 

⇒ -1 - 3x2 < 0

⇒ -(1 + 3x2) < 0

जैसा कि हम जानते हैं, असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करना असमिका के चिह्न की दिशा को उलट देता है।

⇒ (1 + 3x2)  > 0

चूँकि हम जानते हैं, x2 ≥ 0,  x ∈ R

इसलिए, 1 + 3x2 > 0, x ∈ R

अतः फलन x के सभी मानों के लिए घटता हुआ फलन है। 

संकल्पना:

निम्नलिखित चरण अवकलज का प्रयोग करके उच्चिष्ट और निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए हैं। 

• फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और फिर हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करता है। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है। 

1. f``(x), 0 से कम है, तो दिए गए फलन को उच्चिष्ट कहा जाता है। 
2. यदि f``(x), 0 से अधिक है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = e^x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f’(x) = e^x

अधिकतम मान f’(x) = 0 के लिए 

∴ f’(x) = e^x = 0

घातांक फलन को x के किसी भी मान के लिए कभी भी शून्य नहीं माना जा सकता है, इसलिए फलन में स्थानीय उच्चिष्ट और निम्निष्ट नहीं हैं। 

अवधारणा:

किसी बिंदु पर वक्र y = f(x) की ढलान उस बिंदु पर उसके प्रथम अवकलज का मान होता है।

यानी m = f'(x)

एक फलन y = f(x) का उच्चिष्ट/निम्निष्ट:

• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा बढ़ते हुए से घटते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट वे बिंदु हैं जहाँ फलन f(x) अपनी दिशा घटते हुए से बढ़ते हुए तक परिवर्तित करता है।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट या निम्निष्ट के बिंदुओं पर f'(x) = 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) उच्चिष्ट के बिंदुओं पर f''(x) < 0।
• सापेक्षिक (स्थानीय) निम्निष्ट के बिंदुओं पर f''(x) > 0।

गणना:

वक्र y = -x3 + 3x2 + 2x - 27 की ढलान को निम्न द्वारा दिया जाएगा:

m = y' = \(\rm\frac{d}{dx}\left(-x^3 + 3x^2 + 2x - 27\right)\) = -3x ² + 6x + 2

ढलान को अधिकतम करने के लिए, हमारे पास m' = 0 और m'' < 0 होना चाहिए।

अब, m' = 0

⇒ \(\rm\frac{d}{dx}\left(-3x^2 + 6x+2\right)\) = -6x + 6 = 0.

⇒ x = 1

और m'' = -6 < 0

इसलिए, ढलान x = 1 पर अधिकतम है।

संकल्पना:

यदि y = f(x) है तो dy/dx, x के संबंध में y के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। 

घटते हुए दर को ऋणात्मक चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है जबकि बढ़ते हुए दर को धनात्मक चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है। 

गणना:

दिया गया है: \(\rm V = 4\pi r^3\)

r के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\( \frac{dV}{dr} = 4π \frac{dr^3}{dr}\)

\(= 4π \times 3r^2\)

= 12πr2 

जब r = 2 है 

\(\rm \Rightarrow \frac{dV}{dr} = 12\pi \times 4 = 48\pi\)