तीन बिंदुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a} ,\vec{b} \) और \(\vec{c} \) हैं, जहाँ \(\vec{c} = (\cos^2 \theta)\vec{a}+(\sin^2 \theta)\vec{b}\). है। तो \((\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a})\)किसके बराबर है?

गणना:

दिया गया है,

बिंदु A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) हैं, और \( \vec{c} = \cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b} \) है। 

जिसका मान ज्ञात करना है वह व्यंजक है: \( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \).

सबसे पहले, समीकरण में \( \vec{c} \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b})) + (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b}) \times \vec{a} \).

सदिश गुणनफल के वितरण गुण का उपयोग करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \left[ (\vec{b} \times \cos^2 \theta \, \vec{a}) + (\vec{b} \times \sin^2 \theta \, \vec{b}) \right] + \left[ (\cos^2 \theta \, \vec{a} \times \vec{a}) + (\sin^2 \theta \, \vec{b} \times \vec{a}) \right] \).

चूँकि \( \vec{b} \times \vec{b} = 0 \) और \( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \), हमारे पास निम्न शेष है:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (\vec{b} \times \vec{a}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

व्यंजक में \( \vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

\( \vec{a} \times \vec{b} \) को बाहर निकालने पर:

\( \vec{a} \times \vec{b} \left[ 1 - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right] \).

चूँकि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), व्यंजक बन जाता है:

\( \vec{a} \times \vec{b} [1 - 1] = 0 \).

∴ अंतिम परिणाम \( \vec{0} \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।