Scalar and Vector Product MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Scalar and Vector Product - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 8, 2025

पाईये Scalar and Vector Product उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Scalar and Vector Product MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Scalar and Vector Product MCQ Objective Questions

Scalar and Vector Product Question 1:

तीन बिंदुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a} ,\vec{b} \) और \(\vec{c} \) हैं, जहाँ \(\vec{c} = (\cos^2 \theta)\vec{a}+(\sin^2 \theta)\vec{b}\). है। तो \((\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a})\)किसके बराबर है?

  1. \(\vec{0}\)
  2. \(\vec{2c}\)
  3. \(\vec{3c}\)
  4. मात्रक सदिश

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\vec{0}\)

Scalar and Vector Product Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

बिंदु A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) हैं, और \( \vec{c} = \cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b} \) है। 

जिसका मान ज्ञात करना है वह व्यंजक है: \( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \).

सबसे पहले, समीकरण में \( \vec{c} \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b})) + (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b}) \times \vec{a} \).

सदिश गुणनफल के वितरण गुण का उपयोग करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \left[ (\vec{b} \times \cos^2 \theta \, \vec{a}) + (\vec{b} \times \sin^2 \theta \, \vec{b}) \right] + \left[ (\cos^2 \theta \, \vec{a} \times \vec{a}) + (\sin^2 \theta \, \vec{b} \times \vec{a}) \right] \).

चूँकि \( \vec{b} \times \vec{b} = 0 \) और \( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \), हमारे पास निम्न शेष है:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (\vec{b} \times \vec{a}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

व्यंजक में \( \vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

\( \vec{a} \times \vec{b} \) को बाहर निकालने पर:

\( \vec{a} \times \vec{b} \left[ 1 - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right] \).

चूँकि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), व्यंजक बन जाता है:

\( \vec{a} \times \vec{b} [1 - 1] = 0 \).

अंतिम परिणाम \( \vec{0} \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Scalar and Vector Product Question 2:

एक रेखा निर्देशक अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ α, β और γ कोण बनाती है। यदि \(\vec{a}=(\sin^2 \alpha)\hat{i} + (\sin^2 \beta)\hat{j} + (\sin^2 \gamma)\hat{k} \text{ and } \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\) है, तो \(\vec{a}.\vec{b}\) किसके बराबर है?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2

Scalar and Vector Product Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

\( \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1 \)

सर्वसमिका \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

\( (1 - \sin^2(\alpha)) + (1 - \sin^2(\beta)) + (1 - \sin^2(\gamma)) = 1 \)

समीकरण को सरल करने पर:

\( 3 - (\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma)) = 1 \)

साइन पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

\( \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

अब, अदिश गुणनफल की गणना करने पर:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

∴  \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) का मान 2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

Scalar and Vector Product Question 3:

माना \(\rm \vec{a}=-\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{a}. \vec{b}=1\) और \(\rm \vec{a} \times \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}\) है। तब \(\rm \vec{a}-6 \vec{b}\) बराबर है:

  1. \(3(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})\)
  2. \(3(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\)
  3. \(3(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\)
  4. \(3(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(3(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\)

Scalar and Vector Product Question 3 Detailed Solution

गणना:

\(\rm \vec{a} \times \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}\)

\(\rm \vec{a}\) के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर

\(\rm \Rightarrow \vec{a} \times(\vec{a} \times \vec{b})=\vec{a} \times(\hat{i}-\hat{j}) \)

\(\rm \Rightarrow (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \)

\(\rm \Rightarrow \vec{a}-3 \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \)

\(\rm \Rightarrow 2 \vec{a}-6 \vec{b}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k} \)

\(\rm \Rightarrow \vec{a}-6 \vec{b}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Scalar and Vector Product Question 4:

यदि दो सदिश \(\vec{a} \) और \(\vec{b}\) क्रमशः \(\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=-\hat{i}+4 \hat{j}+8 \hat{k}\) द्वारा दिए गए हैं और सदिश \(\vec{c} \) और \(\vec{d} \) सम्बंधित हैं जैसे कि \((\vec{a}-\vec{c}) \times \vec{b}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{b} \times \vec{c}=\vec{d}\)। तब \(|\vec{a} \cdot \vec{d}|\) बराबर है:

  1. 12
  2. 8
  3. 10
  4. 7

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 10

Scalar and Vector Product Question 4 Detailed Solution

उत्तर (3)

हल:

\((\vec{a}-\vec{c}) \times \vec{b}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\)

\(\vec{a} \times \vec{b}-\vec{c} \times \vec{b}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\)

\(\vec{a} \times \vec{b}+\vec{d}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} \quad \quad(\text { क्योंकि } \vec{b} \times \vec{c}=\vec{d})\)

\(\vec{a} \) के साथ डॉट गुणन करने पर

\(\vec{a} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})+\vec{a} \cdot \vec{d}=\vec{a} \cdot(5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})\)

= 5 x 1 + (-2) (2) + (3) (3)

= 5 - 4 + 9 = 10

Scalar and Vector Product Question 5:

यदि \(\overrightarrow{\mathrm{P}}=3 \hat{\mathrm{i}}+\sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{Q}}=4 \hat{\mathrm{i}}+\sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+2.5 \hat{\mathrm{k}}\) है, तो \(\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}\) की दिशा में इकाई सदिश \(\frac{1}{x}(\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}-2 \sqrt{3} \hat{k})\) है। x का मान ______ है।

Answer (Detailed Solution Below) 4

Scalar and Vector Product Question 5 Detailed Solution

गणना:

सदिश \(\vec{P} \times \vec{Q} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & \sqrt{3} & 2.5 \end{array}\right| = \sqrt{3} \frac{\hat{i}}{2} + \frac{\hat{j}}{2} - \sqrt{3} \hat{k}\) है

\(\frac{\vec{P} \times \vec{Q}}{|\vec{P} \times \vec{Q}|} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} \frac{\hat{i}}{2} + \frac{\hat{j}}{2} - \sqrt{3} \hat{k} \right)\)

\(\frac{1}{4} (\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j} - 2\sqrt{3} \hat{k})\)

⇒ x = 4

Top Scalar and Vector Product MCQ Objective Questions

\(\rm \vec{a} \times \vec{a}\) का मान ज्ञात कीजिए।

  1. 1
  2. 0
  3. \(\rm |\vec{a}|\)
  4. \(\rm |\vec{a}|^2\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0

Scalar and Vector Product Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

दो सदिशों के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A}}{\rm{.\vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times cos}}\;{\rm{\theta }}\)

दो सदिशों के अन्योन्य/सदिश गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A \times \vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{\theta }} \times \rm \hat{n}\)

जहां θ, \({\rm{\vec A}}\;{\rm{and}}\;{\rm{\vec B}}\) बीच का कोण है

गणना:

ज्ञात करना है: \(\rm \vec{a} \times \vec{a}\) का मान

यहाँ उनके बीच का कोण 0° है

\({\rm{\vec a \times \vec a = }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{0 }} \times \rm \hat{n}=0\)

सदिशों \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\) के बीच के कोण का साइन (sine) है?

  1. \(\frac{1}{{\sqrt {26} }}\)
  2. \(\frac{5}{{\sqrt {26} }}\)
  3. \(\frac{5}{{26}}\)
  4. \(\frac{1}{{26}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\frac{5}{{\sqrt {26} }}\)

Scalar and Vector Product Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos \theta\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\)

\(\left| {\vec a} \right| = 7,\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {26} \;and\;\vec a \cdot \;\vec b = - 7\)

\(\Rightarrow \;\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \;\vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - \;7}}{{7 \times \sqrt {26} }} = - \frac{1}{{\sqrt {26} }}\)

\( \Rightarrow \;{\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{26}} = \frac{{25}}{{26}}\)

\(\Rightarrow \;\sin \theta = \frac{5}{{\sqrt {26} }}\)

सदिश \(\left( {\vec i + \lambda \vec j + 3\vec k} \right)\)और \(\left( {3\vec i + 2\vec j + 9\vec k} \right)\)में λ का मान क्या है जो समानांतर है?

  1. \(\frac{2}{3}\)
  2. \(\frac{3}{4}\)
  3. \(\frac{5}{2}\)
  4. \(\frac{1}{2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{2}{3}\)

Scalar and Vector Product Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

दिए गए दो सदिश समानांतर है, इसलिए इन दो सदिश का सदिश गुणनखंड शून्य होगा।

\(\vec a\parallel \vec b \Leftrightarrow \vec a \times \vec b = \vec 0\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ 1&\lambda &3\\ 3&2&9 \end{array}} \right| = 0\)

\(= \left( {9\lambda - 6} \right)\hat i - \left( {9 - 9} \right)\hat j + \left({2 - 3\lambda} \right)\hat k = \vec 0\)

⇒ 9λ – 6 = 0 और 2 - 3λ = 0

∴ λ = 2/3

यदि \(\rm\vec u = \hat i \times ( \vec a \times \hat i) + \hat j \times ( \vec a \times \hat j) + \hat k \times ( \vec a \times \hat k)\) हो तो \(\rm \vec u \) किसके बराबर है?

  1. \(\vec 0\)
  2. \(\vec a\)
  3. \(2 \vec a\)
  4. \(3 \vec a\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(2 \vec a\)

Scalar and Vector Product Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

दिया गया:

\(\rm\vec u = \hat i \times ( \vec a \times \hat i) + \hat j \times ( \vec a \times \hat j) + \hat k \times ( \vec a \times \hat k)\)

संकल्पना:

î × î  = ĵ × ĵ = k̂ × k̂  = 0 

î × ĵ = k̂ , ĵ × k̂ = î , k̂ × î = ĵ 

गणना

माना a = mî + nĵ +lk̂ 

ज्ञात करने के लिए:

\(\rm\vec u = \hat i \times ( \vec a \times \hat i) + \hat j \times ( \vec a \times \hat j) + \hat k \times ( \vec a \times \hat k)\)

\(\vec u \) = î  × (mî + nĵ +lk̂  × î) + ĵ ×  (mî + nĵ +lk̂  × ĵ) + k̂ × (mî + nĵ +lk̂)

\(\vec u \) = î  × (-nk̂ + lĵ) + ĵ × (mk̂ -lî  ) + k̂ × (-mĵ + nî) 

 \(\vec u \)  = nĵ  + lk̂ + mî +  lk̂ + mî + nĵ 

 \(\vec u \) = 2(mî + nĵ +lk̂ ) = 2\(\vec a \)

λ का मान क्या है जिसके लिए सदिश \(\rm \hat i-\hat j+\hat k, 2\hat i+\hat j-\hat k, \hat i\lambda-\hat j+\hat k \lambda \) समतलीय हैं?

  1. 5
  2. 4
  3. 2
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1

Scalar and Vector Product Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

\(\text { Let } \overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_{1} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{1} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{1} \overrightarrow{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{a}_{2} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{2} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{2} \overrightarrow{\mathrm{k}} \text { and } \overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{a}_{3} \overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{b}_{3} \overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{c}_{3} \overrightarrow{\mathrm{k}} \text { be the three vectors }\)

समतलता के लिए स्थिति: 

\( \overrightarrow{\mathbf{a}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}) = 0\)

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{lll} \rm a_{1} & \mathrm{b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|=0 \)

 

 

गणना:

यहाँ, \(\rm \hat i-\hat j+\hat k, 2\hat i+\hat j-\hat k, \hat i\lambda-\hat j+\hat k \lambda \) समतलीय हैं। 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ λ & -1 & λ \end{array}\right|=0\end{array}\)

1(λ - 1) + 1(2λ + λ) + 1(-2 - λ) = 0

λ - 1 + 2λ + λ + -2 - λ = 0

3λ - 3 = 0

λ = 1

अतः विकल्प (4) सही है। 

अगर \(\rm \left| {\vec a} \right| = 3,\;\left| {\vec b} \right| = 4\;and \;\rm \vec a \cdot \;\vec b = 6\) तो \(\rm \left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\) का मान ज्ञात करें।

  1. √3
  2. 8√3 
  3. 6√3 
  4. 4√3 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 6√3 

Scalar and Vector Product Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

माना कि दो सदिश \({\rm{\vec a}}\) और \({\rm{\vec b}}\) हैं

\(\rm \vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \cos θ \)

 \(\rm \vec a × \;\vec b = \;\;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ × \;\hat n,\;where\;\hat n\), \(\rm \vec a\;and\;\vec b\)दोनों के लिए लंबवत इकाई सदिश है 

 

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \left| {\vec a} \right| = 3,\;\left| {\vec b} \right| = 4\;and \;\rm \vec a \cdot \;\vec b = 6\)

जैसा कि हम जानते हैं, \(\rm \vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \cos θ \)

⇒ 6 = 3 × 4 × cos θ 

⇒ cos θ = \(\frac {6} {12} = \frac 1 2\)

∴ θ = 60° 

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) दो सदिश हैं तो

\(\rm \vec a × \;\vec b = \;\;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ × \;\hat n\)

\(\rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \left| {\sin θ } \right| × \left| {\hat n} \right| = \;\left| {\vec a} \right| × \left| {\vec b} \right| × \sin θ \)      (∵ एक इकाई सदिश का परिमाण एक है)

\(\rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right|\) = 3 × 4 × sin 60° 

\(\rm ∴ \rm \left| {\vec a × \;\vec b} \right| = 3 × 4 × \frac{\sqrt 3}{2} = 6\sqrt 3\)

यदि \(\rm \vec a\) एक इकाई सदिश है और \(\rm \left(\vec x + 2\vec a\right) \cdot \left(\vec x - 2\vec a\right) = 12\) है तो \(|\rm \vec x |\) का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 4
  2. 7
  3. 8
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 4

Scalar and Vector Product Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

\(\rm \left(\vec a + \vec b\right) \cdot \left(\vec a - \vec b\right) = \left|\vec a\right|^2-\left|\vec b\right|^2\)

यदि \(\rm \vec u\) एक इकाई सदिश है तो \(\rm \left|\vec u\right|=1\) है। 

 

गणना:

यह दिया गया है कि

\((\rm \vec x + \rm 2\vec a) \cdot (\rm \vec x - \rm 2\vec a) = 12\).

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 - 4\left|\vec a\right|^2 = 12\)

चूँकि \(\rm \vec a\) एक इकाई सदिश है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 - 4= 12\)

⇒ \(\rm \left|\vec x\right|^2 =16\)

⇒ \(|\rm \vec x |\) = 4

वैक्टर 2î - ĵ + k̂ and 3î - 4ĵ - k̂ में से प्रत्येक के लिए एक इकाई वेक्टर ____ लंबवत है।

  1. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat i + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat j - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat k\)
  2. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\hat i + \frac{1}{2}\hat j + \frac{1}{2}\hat k\)
  3. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat i - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat j - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat k\)
  4. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat i - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat j + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat k\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat i + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat j - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\hat k\)

Scalar and Vector Product Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

  • इकाई वेक्टर: एक वेक्टर जिसका परिमाण एक है।

 

माना कि \(\vec a = x\;\vec i + y\;\vec j + z\;\vec k\)

a के वेक्टर का परिमाण = \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)

इकाई वेक्टर = \(\hat a = \frac{{\vec a}}{{\left| {\vec a} \right|}}\)

  • माना कि \(\vec a\) और \(\vec b\) दो वेक्टर हैं तो वेक्टर \(\vec c\) दोनों के लिए लम्बवत 

 

\(\vec a = {a_1}\vec i + {b_1}\vec j + {c_1}\vec k\) and \(\vec b = {a_2}\vec i + {b_2}\vec j + {c_2}\vec k\)

\(\therefore \vec c = \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|\)

 

  • यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) तब A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है:

 

|A| = a11 × {(a22 × a33) - (a23 × a32)} - a12 × {(a21 × a33) - (a23 × a31)} + a13 × {(a21 × a32) - (a22 × a31)}

गणना:

माना कि वेक्टर \(\vec a = 2{\rm{\hat i}} - {\rm{\hat j}} + {\rm{\hat k}}\) और \([\vec b = 3{\rm{\hat i}} - 4{\rm{\hat j}} - {\rm{\hat k}}\) और वेक्टर \(\vec c\)\(\vec a\) और \(\vec b\) दोनों के लिए लंबवत हैं

\(\therefore \vec c = \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k\;}\\ 2&{ - 1}&1\\ 3&{ - 4}&{ - 1} \end{array}} \right|\)

\(= \vec i\;\left( {1 + 4} \right) - \vec j\;\left( { - 2 - 3} \right) + \vec k\left( { - 8 + 3} \right)\)

\(= 5\vec i + 5\vec j - 5\vec k\)

इकाई वेक्टर = \(\hat c = \frac{{\vec c}}{{\left| c \right|}} = \frac{{5\overrightarrow {i} + 5\overrightarrow {j\;} - \;5\vec k}}{{\sqrt {{5^2} + {5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{5\overrightarrow {i} + 5\overrightarrow {j} - 5\vec k}}{{5\sqrt 3 }} = \frac{{\overrightarrow {i} + \overrightarrow {j} - \vec k}}{{\sqrt 3 }}\)

 \(\rm \left( {2\vec a - 3\vec b} \right) \times \left( {2\vec a + 3\vec b} \right)\) किसके बराबर?

  1. \(\vec 0\)
  2. \(\rm \vec a \times \vec b\)
  3. \(\rm 12\left( {\vec a \times \vec b} \right)\)
  4. \(\rm 4 {\left| {\vec a} \right|^2} - 9{\left| {\vec b} \right|^2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\rm 12\left( {\vec a \times \vec b} \right)\)

Scalar and Vector Product Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा: 

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} \)

गणना:

दिया गया है

\(\rm = \left( {2\vec a - 3\vec b} \right) \times \left( {2\vec a + 3\vec b} \right)\)

\(\rm = 2\overrightarrow{a} \times 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{a} \times 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{b} \times 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} \times 3\overrightarrow{b}\)

\(\rm = 0 + 2\overrightarrow{a} \times 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{b} \times 2\overrightarrow{a} - 0\)

\(\rm = 6 \: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 6\: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} )\)

\(\rm = 12\: (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \)

 

Additional Information

अदिश गुणनफल के गुण

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} = \left |\overrightarrow{a} \right |^{2}\)

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\) (अदिश गुणनफल विनिमेय है)

\(\rm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{0} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} . \overrightarrow{c}\) (जोड़ के ऊपर अदिश गुणनफल का वितरण)

पारस्परिक रूप से लंबवत सदिश के लिए ऑर्थोगोनल निर्देशांक के संदर्भ में, यह देखा जाता है कि \(\rm \overrightarrow{i}. \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}. \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k} . \overrightarrow{k} =1\)

सदिश गुणनफल के गुण

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} \) (गैर-विनिमेय)

 \(\rm \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}\) (जोड़ के ऊपर अदिश गुणनफल का वितरण)

\(\rm \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k} = 0\)

\(\rm \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k} ,\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j} \)

यदि \({\rm{\vec a}},{\rm{\vec b}},{\rm{\vec c}}\) समान परिमाण के परस्पर लंबवत वैक्टर हैं तो \({\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} + {\rm{\vec c}}\) और \({\rm{\vec a}}\) के बीच का कोण क्या है?

  1. cos−1 (1/3)
  2. cos−1 (1/√3)
  3. 90°

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : cos−1 (1/√3)

Scalar and Vector Product Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

डॉट गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या स्केलर गुणनफल भी कहा जाता है

  • माना कि \(\vec a\;{\rm{and\;}}\vec b\) दो वेक्टर हैं तो दो वेक्टर का डॉट गुणनफल: \(\vec a.\;\vec b = \;\left| {\bf{a}} \right|\left| {\bf{b}} \right|\;{\bf{cos}}\;{\bf{\theta }}\) जहाँ, |\(\vec a\)| = a और |\(\vec b\)| वेक्टर का परिमाण = वेक्टर b और θ का परिमाण a और b के बीच का कोण है
  • \(\vec i.\vec i = \vec j.\vec j = \vec k.\vec k = 1{\rm{\;and\;}}\overrightarrow {\;i} .\vec j = \vec j.\vec i = \vec i.\vec k = \vec k.\vec i = \vec j.\vec k = \vec k.\vec j = 0\)

 

गणना:

माना कि \(\vec a = \vec i,\vec b = \vec j,\vec c = \vec k\)

\(\therefore \left( {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} + {\rm{\vec c}}} \right).{\rm{\vec a}} = \left| {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} + {\rm{\vec c}}} \right|\left| {{\rm{\vec a}}} \right|\cos \theta \)

\(\Rightarrow \left( {{\rm{\vec i}} + \vec j + {\rm{\vec k}}} \right).{\rm{\vec i}} = \left| {{\rm{\vec i}} + \vec j + {\rm{\vec k}}} \right|\left| {{\rm{\vec i}}} \right|\cos \theta \)

⇒ 1 + 0 + 0 = √3 × 1 × cos θ

⇒ cos θ = 1/√3

∴ θ = cos−1 (1/√3)
Get Free Access Now
Hot Links: teen patti app teen patti gold apk download teen patti cash teen patti gold real cash