वृत्तों \(\rm x^2 +y^2 +2x+3y+1=0\) और \(\rm x^2 +y^2 +4x + 3y+2=0\) के उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई क्या है?

संकल्पना:

दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा: दो प्रतिच्छेदन वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा वह जीवा है जो दोनों वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ है।

यदि वृत्तों के समीकरण \(\rm S_1:x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0 \) और \(\rm S_2:x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0 \) हैं तो उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण S₁ - S₂ = 0 है

एक समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

हम कार्टेशियन समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल

और एक बिंदु जिसका निर्देशांक p (x1, y1, z1) है पर विचार करें

अब, दूरी = \(\left| {\frac{{{\rm{A}}{{\rm{x}}_1}{\rm{\;}} + {\rm{\;B}}{{\rm{y}}_1}{\rm{\;}} + {\rm{\;c}}}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2}{\rm{\;}} + {\rm{\;\;}}{{\rm{B}}^2}{\rm{\;}}} }}} \right|\)

नोट: यदि हम इन दो वृत्तों के केंद्रों को जोड़ते हैं तो जोड़नेवाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा के लंबवत द्विभाजक होगी

गणना:

दिया हुआ: वृत्तों के समीकरण \(\rm x^2 +y^2 +2x+3y+1=0\) और \(\rm x^2 +y^2 +4x + 3y+2=0\) हैं

\(\rm S_1:x^2 +y^2 +2x+3y+1=0\)       .... (1)

\(\rm S_2: x^2 +y^2 +4x + 3y+2=0\)       .... (2)

अब उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण S1 - S2 = 0 है

⇒ \(\rm (x^2 +y^2 +2x+3y+1) - (\rm x^2 +y^2 +4x + 3y+2) = 0\)

⇒ -2x -1 = 0

∴ x = \(\dfrac{-1}{2}\)

x के मूल्य को समीकरण (1) में रखें, हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow \rm (\dfrac{-1}{2})^2 +y^2 +2 \times (\dfrac{-1}{2})+3y+1=0\\ \Rightarrow \rm \dfrac{1}{4}+y^2 -1+3y+1 =0 \\ \Rightarrow \rm y^2+3y+\dfrac{1}{4}=0\\ \Rightarrow \rm 4y^2+12y+1=0\\ \Rightarrow \rm y = \dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\times 4\times 1}}{2\times 4}= \dfrac{-12\pm\sqrt{128}}{8}\\ \Rightarrow \rm y =\dfrac{-12\pm8\sqrt{2}}{8}=\dfrac{-3}{2}\pm \sqrt{2}\)

जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं 

\((\dfrac{-1}{2},\dfrac{-3}{2}+ \sqrt{2}) \text{and}(\dfrac{-1}{2},\dfrac{-3}{2}- \sqrt{2})\)

अब वृत्तों के उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी

\(= \sqrt{(\frac{-1}{2} - \frac{-1}{2})^2 +((\dfrac{-3}{2}+ \sqrt{2}) - (\dfrac{-3}{2}- \sqrt{2}))^2 } \\= \sqrt{(2\sqrt2)^2}=2\sqrt2\)