आव्यूह \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&{ - 3}\\ 2&1&{ - 2}\\ 3&2&1 \end{array}} \right]\) ____ है|

संकल्पना:

एक सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह A होता है जिसका आकार n × n होता है जब वर्ग आव्यूह उस आव्यूह के ट्रांसपोज़्ड फॉर्म के बराबर होता है, यानी ए ^टी = ए।

यदि A = [aij]n×n सममित आव्यूह है, तो aij = aj_i 1 ≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n के लिए।

एक विषम-सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह A होता है जिसका आकार n × n होता है, जब वर्ग आव्यूह उस आव्यूह के स्थानांतरित रूप के बराबर होता है, अर्थात AT = -A.।

विषम-सममिति के विकर्ण अवयव शून्य हैं।

यदिA = [aij]n×n विषम-सममित आव्यूह है, तो aij = -aji 1 ≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n के लिए।

एक वर्ग आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह कहा जाता है जब इसका सारणिक 0 के बराबर होता है।

एक वर्ग आव्यूह को एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह  कहा जाता है जब इसका सारणिक 0 के बराबर नहीं होता है।

गणना:

दिया गया:

दिया गया आव्यूह A = \(\begin{vmatrix} 1& -2& -3 \\ 2& 1& -2 \\ 3& 2 & 1 \\ \end{vmatrix}\) ।

आव्यूह का परिवर्त A ^t = \(\begin{vmatrix} 1& 2& 3 \\ -2& 1& 2 \\ -3& -2 & 1 \\ \end{vmatrix}\) ।

चूँकि A ^t A, इसलिए आव्यूह A सममित नहीं है।

चूँकि आव्यूह के विकर्ण अवयव शून्य नहीं हैं, इसलिए आव्यूह A विषम-सममित नहीं है।

आव्यूह का सारणिक निम्न द्वारा दिया गया है,

∆ = 1(1(1) - 2(-2)) - (-2)(1(2) - 3(-2)) + (-3)(2(2) - 1(3))

\(\Rightarrow\) ∆ = 1(1 + 4) + 2(2 + 6) - 3(4 - 3)

\(\Rightarrow\) ∆ = 5 + 16 - 3

\(\Rightarrow\) ∆ = 18

आव्यूह  का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए यह व्युत्क्रमणीय  है।

अतः सही उत्तर विकल्प 4 है।