यदि \(f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)  है, तो (f(π))² किसके बराबर है?

संप्रत्यय:

घूर्णन आव्यूह:

• यूक्लिडीय समष्टि में घूर्णन करने के लिए एक घूर्णन आव्यूह का उपयोग किया जाता है। यह एक वर्ग आव्यूह है जो एक सदिश समष्टि के घूर्णन का वर्णन करता है।
• 2D घूर्णन के लिए, आव्यूह इस प्रकार दिया गया है: \(f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)
• यहाँ, θ रेडियन में घूर्णन का कोण है।
  • cos θ: घूर्णन कोण की कोज्या को दर्शाता है।
  • sin θ: घूर्णन कोण की ज्या को दर्शाता है।
• घूर्णन आव्यूह का मुख्य गुण:
  • आव्यूह का परिवर्त आव्यूह इसके व्युत्क्रम के बराबर होता है।
  • आव्यूह का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है।
• जब θ = π, घूर्णन आव्यूह बन जाता है: \(f(\pi) = \begin{bmatrix} \cos \pi & \sin \pi \\ -\sin \pi & \cos \pi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

गणना:

दिया गया है,

θ = π पर घूर्णन आव्यूह:

\(f(\pi) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

(f(π))² ज्ञात करने के लिए, आव्यूह को स्वयं से गुणा करें:

\(f(\pi) × f(\pi) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

आव्यूह गुणन का उपयोग करने पर:

ऊपर-बाएँ तत्व: (-1)(-1) + (0)(0) = 1

ऊपर-दाएँ तत्व: (-1)(0) + (0)(-1) = 0

नीचे-बाएँ तत्व: (0)(-1) + (-1)(0) = 0

नीचे-दाएँ तत्व: (0)(0) + (-1)(-1) = 1

परिणामी आव्यूह:

\(f(\pi)^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

∴ (f(π))² तत्समक आव्यूह के बराबर है, जो \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) है।