Symmetric and Non-symmetric Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Symmetric and Non-symmetric Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है, A^T = A, B^T = -B, C^T = -C

माना M = A¹³B²⁶ - B²⁶A¹³

⇒ तब, M^T = (A¹³B²⁶ - B²⁶A¹³)^T

= (A¹³B²⁶)^T - (B²⁶A¹³)^T

= (B^T)²⁶(A^T)¹³ - (A^T)¹³(B^T)²⁶

= B²⁶A¹³ - A¹³ B²⁶ = -M

अतः, M विषम सममित है

माना, N = A²⁶C¹³ - C¹³A²⁶

⇒ तब, N^T = (A²⁶C¹³)^T - (C¹³A²⁶)^T

= (C^T)¹³(A^T)²⁶ - (A^T)²⁶(C^T)¹³

= -C¹³A²⁶ + A²⁶C¹³ = N

अतः, N सममित है।

∴ केवल S2 सत्य है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

वर्ग मैट्रिक्स A को आव्यूह कहा जाता है यदि aij = aij सभी i और j के लिए।

वर्ग मैट्रिक्स A को आव्यूह कहा जाता है यदि आव्यूह A का परिवर्त आव्यूह A के बराबर है ⇔ AT = A

गणना:

सममित आव्यूह के लिए, AT = A

\(\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{array}\right]\) सममित है क्योंकि सभी aij = aij

∴ विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

(i) यदि Δ ≠ 0 और Δx, Δy, Δz ≠ 0 में से कम से कम एक है, तो दिए गए समीकरणों का निकाय संगत है और इसका अद्वितीय गैर-तुच्छ हल है।

(ii) यदि Δ ≠ 0 & Δx = Δy = Δz = 0, तो दिए गए समीकरणों का निकाय संगत है और इसका केवल तुच्छ हल है।

(iii) यदि Δ = Δx = Δy = Δz = 0, तो दिए गए समीकरणों का निकाय संगत है और इसके अनंत हल हैं।

गणना:

दिया गया है, A सममित आव्यूह है और B विषम सममित आव्यूह है

⇒ AT = A, BT = -B

माना A2B2 − B2A2= P

∴ PT = (A2B2 - B2A2)T

= (A2B2)T - (B2A2)T

= (B2)T (A2)T- (A2)T (B2)T

= B2A2 - A2B = -P

⇒ P विषम सममित आव्यूह है।

∴\(\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

∴ ay + bz = 0 …(1)

-ax + cz = 0 …(2)

-bx - cy =0 …(3)

समीकरण (1), (2), (3) से,

Δ = 0 और Δ1 = Δ2= Δ3 = 0

∴ समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी भी आव्यूह M को सममित और विषम-सममित आव्यूह के योगफल के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात,

A = S + K

जहाँ S विषम-सममित है, जो \(S = \frac{1}{2}(A - A^T) \) द्वारा दिया जाता है और K सममित भाग है, जिसे \(K = \frac{1}{2}(A + A^T) \) के रूप में दिया जाता है। 

स्पष्टीकरण: 

दिया गया है: आव्यूह

⇒ \(\left[\begin{array}{lll} 6 & 8 & 5 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 7 & 1 \end{array}\right] \)

आव्यूह का अभीष्ट विषम-सममित भाग \(S = \frac{1}{2}(A - A^T) \) है,

⇒ \(S = \frac12 \left[\begin{array}{lll} 0 & 4 & -4 \\ -4 & 0 & -4 \\ 4 & 4 & 0 \end{array}\right]\)

⇒ \(S = \frac12 \left[\begin{array}{lll} 0 & 4 & -4 \\ -4 & 0 & -4 \\ 4 & 4 & 0 \end{array}\right]\)  

अतः विकल्प (5) सही उत्तर है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी भी आव्यूह M को सममित और विषम - सममित आव्यूह के योगफल के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात,

A = S + K

जहाँ S विषम - सममित है जो  \(S = \frac{1}{2}(A - A^T) \) द्वारा दिया गया है और K सममित भाग है जिसे  \(K = \frac{1}{2}(A + A^T) \) के रूप में दिया गया है। 

स्पष्टीकरण: 

दिया गया आव्यूह है:  \( A = \left[\begin{array}{lll}6 & 8 & 5 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 7 & 1\end{array}\right] \)

⇒ \( A^T = \left[\begin{array}{lll}6 & 4 & 9 \\ 8 & 2 & 7 \\ 5 & 3 & 1\end{array}\right] \)

\(\Rightarrow A - A^T = \left[\begin{array}{lll}0 & 4 & -4 \\ -4 & 0 & -4 \\ 4 & 4 & 0\end{array}\right] \)

\(\Rightarrow S = \frac{1}{2}\left[\begin{array}{lll}0 & 4 & -4 \\ -4 & 0 & -4 \\ 4 & 4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right] \)

जो आव्यूह का अभीष्ट विषम - सममित भाग है।

इस प्रकार, आव्यूह \( A = \left[\begin{array}{lll}6 & 8 & 5 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 7 & 1\end{array}\right] \) का विषम -सममित भाग \( \left[\begin{array}{lll}0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right]\) है।

अवधारणा:

एक वर्ग आव्यूह A = [aij]n × n को सममित कहा जाता है यदि  AT = A

A T (परिवर्त) पंक्तियों को स्तम्भ और स्तम्भ को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है

गणना:

माना A = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

 AT = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)   = A

A एक सममित आव्यूह है

संकल्पना:

सममित आव्यूह:

किसी वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है जिससे A = At है, तो A को सममित आव्यूह कहा जाता है। 

विषम-सममित आव्यूह:

कोई वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को विषम-सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = - aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार होता है जिससे A = - At होता है, तो A को विषम-सममित आव्यूह कहा जाता है।

आव्यूह के परावर्त के गुण :

• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो (At)t = A
• यदि k ∈ R एक अदिश है और A कोटि m × n का एक आव्यूह है तो (k × A)t = k × At
• यदि A और B एक ही कोटि m × n के आव्यूह हैं तो (A ± B)t = At ± Bt और (AB)t = Bt × At।

गणना :

दिया गया: A विषम सममित आव्यूह है

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A विषम सममित आव्यूह है तो A = - At

⇒ (A2)t = (At)2

∵ A विषम सममित आव्यूह है

⇒ (A2)t = (- A)2 = A2

तो, A² एक सममित आव्यूह है।

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

माना कि एक आव्यूह A विषम-सममित आव्यूह है, तो A^T = −A
और A सममित आव्यूह है, तो A^T = A है। 

गणना:

चूँकि, A विषम-सममित है। 
A^T = −A
चूँकि, A सममित है। 
A^T = A
⇒ −A = A
⇒2A = O
⇒A = O

इसलिए, A एक शून्य आव्यूह है। 

अतः विकल्प (4) सही है। 

अवधारणा:

एक आव्यूह X को सममित और विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है

P(सममित) = \(\rm 1\over2\)(X + XT)

Q(विषम-सममित) = \(\rm 1\over2\)(X - XT)

जहाँ XT आव्यूह X का परावर्त है

दिया गया है कि आव्यूह X = \(\begin{bmatrix} 7& 5 & 7\\ 3 & 4 & 6\\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\)

परावर्त आव्यूह X^T = \(\begin{bmatrix} 7& 3 & 2\\ 5& 4 & 3\\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}\)

सममित आव्यूह (P) =  \(\rm 1\over2\)(X + XT)

⇒ P =  \(\rm {1\over2}\left(\begin{bmatrix} 7& 5 & 7\\ 3 & 4 & 6\\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 7& 3 & 2\\ 5& 4 & 3\\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}\right)\)

⇒ P = \(\rm {1\over2}\begin{bmatrix} 14& 8 & 9\\ 8& 8 & 9\\ 9 & 9 & 4 \end{bmatrix}\) 

⇒ P = \(\begin{bmatrix} 7& 4 & 4.5\\ 4& 4 & 4.5\\ 4.5 & 4.5 & 2 \end{bmatrix}\)

विषम-सममित आव्यूह (Q) = \(\rm 1\over2\)(X - XT)

⇒ Q =  \(\rm {1\over2}\left(\begin{bmatrix} 7& 5 & 7\\ 3 & 4 & 6\\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 7& 3 & 2\\ 5& 4 & 3\\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}\right)\)

⇒ Q = \(\rm {1\over2}\begin{bmatrix} 0& 2 & 5\\ -2& 0 & 3\\ -5 & -3 & 0 \end{bmatrix}\) 

⇒ Q = \(\begin{bmatrix} 0& 1& 2.5\\ -1& 0& 1.5\\ -2.5& -1.5& 0\end{bmatrix}\)

संकल्पना:

सममित आव्यूह:

किसी वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है जिससे A = At है, तो A को सममित आव्यूह कहा जाता है। 

गणना :

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{3 + x}&2\\ {1 - x}&2&{y + 1}\\ 2&{5 - y}&3 \end{array}} \right]\)

A = At

\( A^t=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{1 - x}&2\\ {3 + x}&2&{5 - y}\\ 2&{y + 1}&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{3 + x}&2\\ {1 - x}&2&{y + 1}\\ 2&{5 - y}&3 \end{array}} \right] = A\)

तुलना करने पर, 

3 + x = 1 - x

⇒ x = - 1

तथा, y + 1 = 5 - y

⇒ y = 2

3x + y = 3(-1) + 2

∴ 3x + y = -1 

व्याख्या:

दिया गया है, आव्यूह A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 1} \\ 4&{ - 3}&4 \\ 3&{ - 3}&4 \end{array}} \right]\) 

A = B + C

यहाँ आव्यूह A को सममित और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया गया है।

तब, \(B=\frac{1}{2}(A+A^{T}) \ और \ C=\frac{1}{2}(A-A^{T})\)

जहाँ B सममित है और C विषम सममित आव्यूह है।

ज्ञात करें: आव्यूह B

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 1} \\ 4&{ - 3}&4 \\ 3&{ - 3}&4 \end{array}} \right]\) 

\(A^{T}=\begin{bmatrix} 0 & 4& 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1& 4& 4 \\ \end{bmatrix}\)

\(A+ A^{T}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 1} \\ 4&{ - 3}&4 \\ 3&{ - 3}&4 \end{array}} \right] +\begin{bmatrix} 0 & 4& 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1& 4& 4 \\ \end{bmatrix}\)

\(A+ A^{T}=\begin{bmatrix} 0 &5 & 2 \\ 5& -6 & 1 \\ 2& 1 & 8 \\ \end{bmatrix}\)

\(B=\frac{1}{2}(A+ A^{T})=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 &5 & 2 \\ 5& -6 & 1 \\ 2& 1 & 8 \\ \end{bmatrix}\)

संकल्पना:

आव्यूह X को सममित और विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है जो निम्न हैं 

P(सममित) = \(\rm 1\over2\)(X + X^T)

Q(विषम-सममित) = \(\rm 1\over2\)(X - XT)

गणना:

A = \(\rm \begin{bmatrix} 2 & -4 & 3\\ 3 & 1 & -2\\ 1& -3 & 5 \end{bmatrix}\)

A^T = \(\rm \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ -4& 1 & -3\\ 3& -2 & 5 \end{bmatrix}\)

P(सममित आव्यूह) = \(\rm 1\over2\)(A + AT)

⇒ P = \(\rm {1\over2}\left(\begin{bmatrix} 2 & -4 & 3\\ 3 & 1 & -2\\ 1& -3 & 5 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ -4& 1 & -3\\ 3& -2 & 5 \end{bmatrix}\right)\)

⇒ P = \(\rm \begin{bmatrix} 2 & -0.5 & 2\\ -0.5& 1 & -2.5\\ 2& -2.5 & 5 \end{bmatrix}\)

Q(विषम-सममित) = \(\rm 1\over2\)(A - AT)

संकल्पना:

• सममित आव्यूह: किसी वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (a_ij) को सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि a_ij = a_ji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है जिससे A = A’ है, तो A को सममित आव्यूह कहा जाता है।
• (A ± B)' = A' ± B'
• (A ⋅ B)' = B' ⋅ A'

गणना:

दिया गया है: A और B कोटि n वाले दो सममित आव्यूह हैं। 

कथन 1: 1. A + B भी एक सममित आव्यूह है। 

माना कि A + B का पक्षांतर ज्ञात करते हैं। 

⇒ (A + B)' = A' + B'

∵ A और B कोटि n वाले दो सममित आव्यूह हैं अर्थात् A' = A और B' = B है। 

⇒ (A + B)' = A + B

इसलिए, कथन 1 सत्य है। 

कथन 2: A ⋅ B एक सममित आव्यूह है। 

माना कि A ⋅ B का पक्षांतर ज्ञात करते हैं। 

⇒ (A ⋅ B)' = B' ⋅ A'

∵ A और B कोटि n वाले दो सममित आव्यूह हैं अर्थात् A' = A और B' = B है। 

⇒ (A ⋅ B)' = B ⋅ A

लेकिन हम यह भी जानते हैं कि आव्यूह गुणन सामान्यतौर पर क्रमचयी नहीं होते हैं। 

इसलिए, हम सामान्यतौर पर यह नहीं कह सकते हैं कि (A ⋅ B)' = A ⋅ B है। 

अतः कथन 2 असत्य है। 

संकल्पना:

• सममित आव्यूह: किसी वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है जिससे A = A’ है, तो A को सममित आव्यूह कहा जाता है। 
• विषम-सममित आव्यूह: कोई वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को विषम-सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = - aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार होता है जिससे A =- A’ होता है, तो A को विषम-सममित आव्यूह कहा जाता है। 

• कोई वास्तविक वर्ग आव्यूह अर्थात् A को सममित और विषम - सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 

  अर्थात् \(A = \frac{1}{2}\;\left( {A + A'} \right) + \frac{1}{2}\;\left( {A - A'} \right)\)जहाँ A + A’ सममित और A – A’ विषम-सममित आव्यूह है। 

गणना:

दिया गया है: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&5\\ 4&1&3\\ 0&6&7 \end{array}} \right] = \frac{1}{2} \cdot (P + Q)\) जहाँ P सममित और Q विषम सममित आव्यूह है।

यहाँ हमें आव्यूह P और Q ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं, किसी वर्ग आव्यूह को सममित और विषम - सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 

अर्थात् यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:\(A = \frac{1}{2}\;\left( {A + A'} \right) + \frac{1}{2}\;\left( {A - A'} \right)\) जहाँ A + A’ सममित और A – A’ विषम-सममित आव्यूह है। 

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&5\\ 4&1&3\\ 0&6&7 \end{array}} \right] = \frac{1}{2} \cdot (P + Q)\) की तुलना \(A = \frac{1}{2}\;\left( {A + A'} \right) + \frac{1}{2}\;\left( {A - A'} \right)\)के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ P = A + A' और Q = A - A'

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&5\\ 4&1&3\\ 0&6&7 \end{array}} \right] \Rightarrow A' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&0\\ 2&1&6\\ 5&3&7 \end{array}} \right]\)

⇒ \(\Rightarrow P = \;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&5\\ 4&1&3\\ 0&6&7 \end{array}} \right] + \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&0\\ 2&1&6\\ 5&3&7 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 6&6&5\\ 6&2&9\\ 5&9&{14} \end{array}} \right]\)

उसीप्रकार,

 \(Q = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&5\\ 4&1&3\\ 0&6&7 \end{array}} \right] - \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&0\\ 2&1&6\\ 5&3&7 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \;2}&5\\ 2&0&{ - \;3}\\ { - \;5}&3&0 \end{array}} \right]\)

अतः \(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 6&6&5\\ 6&2&9\\ 5&9&{14} \end{array}} \right]\;and\;Q = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \;2}&5\\ 2&0&{ - \;3}\\ { - \;5}&3&0 \end{array}} \right]\)

संकल्पना:

एक सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह A होता है जिसका आकार n × n होता है जब वर्ग आव्यूह उस आव्यूह के ट्रांसपोज़्ड फॉर्म के बराबर होता है, यानी ए ^टी = ए।

यदि A = [aij]n×n सममित आव्यूह है, तो aij = aj_i 1 ≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n के लिए।

एक विषम-सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह A होता है जिसका आकार n × n होता है, जब वर्ग आव्यूह उस आव्यूह के स्थानांतरित रूप के बराबर होता है, अर्थात AT = -A.।

विषम-सममिति के विकर्ण अवयव शून्य हैं।

यदिA = [aij]n×n विषम-सममित आव्यूह है, तो aij = -aji 1 ≤ i ≤ n, और 1 ≤ j ≤ n के लिए।

एक वर्ग आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय आव्यूह कहा जाता है जब इसका सारणिक 0 के बराबर होता है।

एक वर्ग आव्यूह को एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह  कहा जाता है जब इसका सारणिक 0 के बराबर नहीं होता है।

गणना:

दिया गया:

दिया गया आव्यूह A = \(\begin{vmatrix} 1& -2& -3 \\ 2& 1& -2 \\ 3& 2 & 1 \\ \end{vmatrix}\) ।

आव्यूह का परिवर्त A ^t = \(\begin{vmatrix} 1& 2& 3 \\ -2& 1& 2 \\ -3& -2 & 1 \\ \end{vmatrix}\) ।

चूँकि A ^t A, इसलिए आव्यूह A सममित नहीं है।

चूँकि आव्यूह के विकर्ण अवयव शून्य नहीं हैं, इसलिए आव्यूह A विषम-सममित नहीं है।

आव्यूह का सारणिक निम्न द्वारा दिया गया है,

∆ = 1(1(1) - 2(-2)) - (-2)(1(2) - 3(-2)) + (-3)(2(2) - 1(3))

\(\Rightarrow\) ∆ = 1(1 + 4) + 2(2 + 6) - 3(4 - 3)

\(\Rightarrow\) ∆ = 5 + 16 - 3

\(\Rightarrow\) ∆ = 18

आव्यूह  का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए यह व्युत्क्रमणीय  है।

अतः सही उत्तर विकल्प 4 है।