मानें कि y0 > 0, z0 > 0 तथा α > 1

निम्न दो अवकलन समीकरणों पर विचार करें:

0, \\ y(0)=y_0 \end{array}\right. \\ &(* *)\left\{\begin{array}{l} \frac{d z}{d t}=-z^\alpha \quad \text { for } t>0, \\ z(0)=z_0 \end{array}\right. \end{aligned}\)

हमारा कहना है कि अवकल समीकरण का हल सार्वत्रिक होगा यदि यह सभी t > 0 के लिए अस्तित्व में है।

निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?

व्याख्या:

और y(0) = y₀ ⇒

तब y1-α = (1 - α)t + y01-α

और यदि α > 1 ⇒ 1 - α 0

तब (1) y-a = -at + y0-a

⇒

तब y0-a - at = 0, हल मौजूद नहीं है।

o\)

(∵ y0 > 0, a > 0)

∴ (*) का कोई वैश्विक हल नहीं है

जैसे ∈ (0, ∞)

विकल्प (1) और (3) गलत हैं

(* *) ⇒

और z0 = z(0) ⇒

∴ z1-α = -(1 - α)t + z01-α ....(ii)

और α > 1 के लिए ⇒ 1 - α . इसलिए, मान लीजिये 1 - α = - b, b > 0

तब (ii) ⇒ z-b = bt + zo-b ⇒

और bt + z0-b​ = 0 के लिए हल मौजूद नहीं है

⇒

(∵ zo > o, b > 0)

इसलिए, ∀ t > 0, (* *) का हल मौजूद है

⇒​ (**) के वैश्विक हल हैं।

विकल्प (2) गलत है।

साथ ही, T के लिए, T =

= + ∞

∴ विकल्प (4) सही है।