मान लीजिए किसी त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB की लंबाइयाँ क्रमशः a, b और c हैं। यदि p इस त्रिभुज का परिमाप और q क्षेत्रफल है, तो किसके बराबर है?

संकल्पना:

त्रिभुज का परिमाप = सभी भुजाओं का योग

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)आधार × ऊँचाई

गणना​:

चूँकि इसका उल्लेख नहीं है, Δ ABC किस प्रकार का त्रिभुज है। तो, गणना को आसान बनाने के लिए

मान लीजिए, Δ ABC एक समकोण त्रिभुज है जहाँ ∠A 90° है।

मान लीजिए a = 5, b = 4, और c = 3 (पायथागॉरियन ट्रिपल)

उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करते हुए, परिमाप

p = 3 + 4 + 5

⇒ p = 12  

त्रिभुज का क्षेत्रफल

q = (1/2) 3 × 4

⇒ q = 6

इसलिए, अभीष्ट मान

= 12(12 - 2 × 5)tan (90°/2) [∵ A = 90°]

⇒ p(p − 2a)tan(A/2) = 24 [∵ tan 45° = 1

विकल्प 4 से

4q = 4 × 6 = 24

∴ 4q सही उत्तर है।

Alternate Method अवधारणा:

त्रिभुज का परिमाप = सभी भुजाओं का योग = a + b + c

विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = ,

अर्ध-कोण सूत्र:

जहाँ 2s = a + b + c और a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

गणना​:

यदि p त्रिभुज का परिमाप हो,

p = a + b + c                ------(1)

q = ------(2)

जहाँ a , b , c त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

अब,

= ( a + b+ c ) ( a + b+ c - 2a )

⇒ ( a + b+ c ) ( a + b+ c - 2a )

⇒ (a + b+ c) (a + b+ c - 2a)