यदि एक मीनार के शीर्ष से तीन गेंदें एक साथ गिराई जाती हैं, तो गति के दौरान तीन गेंदों के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण:

अवधारणा:

द्रव्यमान केंद्र:

• किसी पिंड के द्रव्यमान के केंद्र या किसी कण की प्रणाली को एक बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिस पर पिंड का पूरा द्रव्यमान या कण की एक प्रणाली के सभी द्रव्यमान केंद्रित होते हैं।

द्रव्यमान के केंद्र की गति:

• मान लीजिये हमारे पास n कण है जिनका द्रव्यमान m1, m2,..., mn. है
• अगर सभी द्रव्यमान गतिमान है तो,

⇒ Mv = m1v1 + m2v2 + ... + mnvn

⇒ Ma = m1a1 + m2a2 + ... + mnan

⇒ \( M\vec{a}=\vec{F_1}+\vec{F_2}+...+\vec{F_n}\)

⇒ M = m1 + m2 + ... + mn

• इस प्रकार, कणों के एक निकाय का कुल द्रव्यमान एवं द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण का गुणनफल कणों की प्रणाली पर कार्य कर रहे सभी बलों का सदिश योग होता है।
• आंतरिक बल द्रव्यमान के केंद्र की गति में कोई योगदान नहीं देते हैं।

व्याख्या:

दिया गया है:

a₁ = a₂ = a₃ = g (गुरुत्वीय त्वरण)

• तीन गेंदें गुरुत्वाकर्षण के अधीन गिर रही हैं, इसलिए तीनों गेंदों का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होगा।
• हम जानते हैं कि कणों के एक निकाय का कुल द्रव्यमान एवं द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण का गुणनफल कणों की प्रणाली पर कार्य कर रहे सभी बलों का सदिश योग होता है।

⇒ Ma = m1a1 + m2a2 + ... + mnan     -----(1)

जहाँ m₁, m₂,..., m_n = कणों का द्रव्यमान, और a1, a2,..., an = कणों का त्वरण

समीकरण 1 से, तीन गेंदों के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ Ma = m1a1 + m2a2 + m3a3

⇒ \(a=\frac{m_1g+m_2g+m_3g}{m_1+m_2+m_3}\)

⇒ \(a=\frac{(m_1+m_2+m_3)g}{(m_1+m_2+m_3)}\)

⇒ a = g

• अत: विकल्प 3 सही है।