चार एकसमान छड़ों से एक वर्गाकार फ़्रेम बनाया गया है। छड़ें AB, BC, CD और DA का द्रव्यमान क्रमशः 2m, 3m, 4m और 5m है, और प्रत्येक की लंबाई 2a है। इस फ़्रेम के द्रव्यमान केंद्र का x-y समतल में स्थान कहाँ है, विशेष रूप से, x और y निर्देशांकों द्वारा परिभाषित कौन सा चतुर्थांश या क्षेत्र है।

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  1. a = 1m के लिए, द्रव्यमान केंद्र का क्षेत्र 1< y<2 और 0< x <1 है
  2. a = 2m के लिए, द्रव्यमान केंद्र का क्षेत्र 1< y<2 और 2< x <3 है
  3. a = 1m के लिए, द्रव्यमान केंद्र का क्षेत्र 2< y<3 और 1< x <2 है
  4. a = 2m के लिए, द्रव्यमान केंद्र का क्षेत्र 1< y<2 और 1< x <2 है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : a = 1m के लिए, द्रव्यमान केंद्र का क्षेत्र 1< y<2 और 0< x <1 है

Detailed Solution

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प्रयुक्त अवधारणा:

छड़ों के एक निकाय के द्रव्यमान केंद्र (COM) का निर्धारण भारित औसत सूत्र का उपयोग करके किया जाता है:

XCOM = (Σmixi) / Σmi

YCOM = (Σmiyi) / Σmi

जहाँ:

mi = प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान

(xi, yi) = प्रत्येक छड़ का केंद्र

गणना:

दिया गया द्रव्यमान और लंबाई:

छड़ AB: द्रव्यमान = 2m, केंद्र (a, 0) पर

छड़ BC: द्रव्यमान = 3m, केंद्र (2a, a) पर

छड़ CD: द्रव्यमान = 4m, केंद्र (a, 2a) पर

छड़ DA: द्रव्यमान = 5m, केंद्र (0, a) पर

द्रव्यमान मानों का योग:

⇒ कुल द्रव्यमान, M = 2m + 3m + 4m + 5m = 14m

XCOM ज्ञात करना:

⇒ XCOM = [(2m x a) + (3m x 2a) + (4m x a) + (5m x 0)] / 14m

⇒ XCOM = (2a + 6a + 4a) / 14

⇒ XCOM = (12a) / 14 = 6a/7

YCOM ज्ञात करना:

⇒ YCOM = [(2m x 0) + (3m x a) + (4m x 2a) + (5m x a)] / 14m

⇒ YCOM = (0 + 3a + 8a + 5a) / 14

⇒ YCOM = (16a) / 14 = 8a/7

द्रव्यमान केंद्र (6a/7, 8a/7) पर स्थित है।

इस प्रकार a = 1m का मान विकल्प 1 देता है।

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