दो वृत्त x² + y² = 16 और x² + y² - 2y = 0 के लिए यहाँ कितनी स्पर्श रेखाएं है/हैं?

संकल्पना:

दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्या के अंतर की तुलना में कम है, तो यहाँ कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं है। 

गणना:

पहले वृत्त का समीकरण x2 + y2   ​= 16 है जिसे निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है: x2 + y2  ​= 4²

इसलिए, पहले वृत्त का केंद्र (0,0) और त्रिज्या = 4 

दूसरे वृत्त का समीकरण x2 + y2 - 2y = 0 है जिसे निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है: x2 + (y-1)² = 1² 

इसलिए, दूसरे वृत्त का केंद्र: (0,1) और त्रिज्या = 1 है। 

इसलिए, केंद्रों के बीच की दूरी \(d = \sqrt {{0^2} + {1^2}} = 1\)

दो वृत्तों की त्रिज्या के बीच का अंतर = |4 - 1| = 3

चूँकि हम देख सकते हैं कि, केंद्रों के बीच की दूरी < उनके त्रिज्या का अंतर

हम यह भी जानते हैं कि यदि दो वृत्त के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्या के अंतर की तुलना में कम है, तो यहाँ कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं है। 

इसलिए, दो दिए गए वृत्तों के बीच की कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं है। 

अतः विकल्प D सही उत्तर है।