बिंदु (5, 1) से वृत्त x2 + y2 + 6x - 4y - 3 = 0 की स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

अवधारणा :

समीकरण: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 द्वारा दर्शाये गए वृत्त तक एक बाहरी बिंदु P (x1, y1) से स्पर्शरेखा की लम्बाई निम्न द्वारा दी गयी है: \(\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + 2g{x_1} + 2f{y_1} + c} \)

गणना :

दिया गया: वृत्त का समीकरण x2 + y2 + 6x - 4y - 3 = 0 और बिंदु (5, 1) है

यदि हम x = 5 और y = 1 को अभिव्यक्ति x2 + y2 + 6x - 4y - 3 में प्रतिस्थापित करते हैं तो हम प्राप्त करते हैं

⇒ 52 + 12 + 6 × 5 - 4 × 1 - 3 = 49 > 0---------(1)

तो, बिंदु (5, 1) एक बाहरी बिंदु है।

जैसा कि हम जानते हैं कि समीकरण: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 द्वारा दर्शाये गए वृत्त तक एक बाहरी बिंदु P (x1, y1) से स्पर्शरेखा की लम्बाई निम्न द्वारा दी गयी है: \(\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + 2g{x_1} + 2f{y_1} + c} \)

यहाँ, x1 = 5 और y1 = 1 और समीकरण (1) से हम जानते हैं कि, x12 + y12 + 6x1 - 4y1 - 3 = 49

तो, स्पर्शरेखा की लंबाई √49 = ±7 इकाई है

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।