Question
Download Solution PDFनिम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : Z → Z एकैक व आच्छादक फलन है।
2. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
आच्छादक फलन -
X से Y तक एक फलन f केवल आच्छादक (या आच्छादी) तब होता है यदि प्रत्येक तत्व y ∈ Y के लिए f(x) = y के साथ एक तत्व x ∈ X है।
शब्दों में: "f के सह-डोमेन में प्रत्येक तत्व में एक पूर्व-छवि है"
गणितीय विवरण: f : X →Y आच्छादक है ⇔ \(\rm \forall \) y \(\rm \exists \)x, f(x) = y
एकैक संगतता
एक फलन f एकैक संगतता (या एकैक आच्छादन) केवल तब होता है यदि यह एकैक और आच्छादक दोनों होता है।
शब्दों में: "f के सह-डोमेन में किसी भी तत्व में दो (या अधिक) पूर्व छवियां नहीं है" (एकैक) और "f के सह-डोमेन में प्रत्येक तत्व में पूर्व-छवि" (आच्छादक) है।
गणना:
1. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : Z → Z एकैक व आच्छादक फलन है।
f(x) = x + 1,
f(x1) की गणना करने पर:
f(x1) = x1 + 1
f(x2) की गणना करने पर:
f(x2) = x2 + 1
अब, f(x1) = f(x2)
⇒ x1 + 1 = x2 + 1
⇒ x1 = x2
इसलिए, f एकैक फलन है।
माना कि f(x) = y है।
y = x + 1
x = y - 1
f(y-1) = y - 1 + 1 = y
f आच्छादक है।
2. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है।
f(x) = x + 1,
f(x1) की गणना करने पर:
f(x1) = x1 + 1
f(x2) की गणना करने पर:
f(x2) = x2 + 1
अब, f(x1) = f(x2)
⇒ x1 + 1 = x2 + 1
⇒ x1 = x2
इसलिए, f एकैक फलन है।
स्पष्ट रूप से, सभी x ∈ N के लिए f(x) = x + 1 ≥ 2
इसलिए, f(x) मान 1 नहीं लेता है।
f आच्छादक फलन नहीं है।
अतः 1 और 2 दोनों सही हैं।
Last updated on Jul 8, 2025
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