निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:

1. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : Z → Z एकैक व आच्छादक फलन है। 

2. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है। 

उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं?

संकल्पना:

आच्छादक फलन -

X से Y तक एक फलन f केवल आच्छादक (या आच्छादी) तब होता है यदि प्रत्येक तत्व y ∈ Y के लिए f(x) = y के साथ एक तत्व x ∈ X है। 

शब्दों में: "f के सह-डोमेन में प्रत्येक तत्व में एक पूर्व-छवि है"

गणितीय विवरण: f : X →Y आच्छादक है ⇔ \(\rm \forall \) y \(\rm \exists \)x, f(x) = y 

एकैक संगतता

एक फलन f एकैक संगतता (या एकैक आच्छादन) केवल तब होता है यदि यह एकैक और आच्छादक दोनों होता है। 

शब्दों में: "f के सह-डोमेन में किसी भी तत्व में दो (या अधिक) पूर्व छवियां नहीं है" (एकैक) और "f के सह-डोमेन में प्रत्येक तत्व में पूर्व-छवि" (आच्छादक) है। 

गणना:

1. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : Z → Z एकैक व आच्छादक फलन है। 

f(x) = x + 1,

f(x1) की गणना करने पर:

 f(x1) = x1 + 1

f(x2) की गणना करने पर:

 f(x2) = x2 + 1

अब, f(x1) = f(x2) 

⇒ x1 + 1 =  x2 + 1

⇒ x1 =  x2 

इसलिए, f एकैक फलन है। 

माना कि f(x) = y है। 

y = x + 1

x = y - 1

f(y-1) = y - 1 + 1 = y

f आच्छादक है। 

2. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है। 

f(x) = x + 1,

f(x₁) की गणना करने पर:

 f(x1) = x₁ + 1

f(x₂) की गणना करने पर:

 f(x₂) = x₂ + 1

अब, f(x1) = f(x2) 

⇒ x1 + 1 =  x2 + 1

⇒ x1 =  x2 

इसलिए, f एकैक फलन है। 

स्पष्ट रूप से, सभी x ∈ N के लिए f(x) = x + 1 ≥ 2 

इसलिए, f(x) मान 1 नहीं लेता है। 

f आच्छादक फलन नहीं है। 

अतः 1 और 2 दोनों सही हैं।