100 mm व्यास और 1.0 m लंबाई वाले एक ठोस शाफ्ट द्वारा प्रेषित ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण और अधिकतम बलाघूर्ण की गणना करें। मान लें कि मोड़ का कोण 2° है और दृढ़ता का मापांक G = 80 GPa है।

अवधारणा:

एक ठोस शाफ्ट द्वारा प्रेषित ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण और अधिकतम बलाघूर्ण की गणना करने के लिए, हमें शाफ्ट के आयाम, मोड़ कोण और दृढ़ता मापांक के लिए दिए गए सूत्रों और मानों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

गणना:

दिया गया है:

शाफ्ट का व्यास, \( d = 100 \, \text{mm} \)

शाफ्ट की लंबाई, \( L = 1.0 \, \text{m} = 1000 \, \text{mm} \)

मोड़ का कोण, \( \theta = 2^\circ = 2 \times \frac{\pi}{180} \, \text{radians} \)

दृढ़ता मापांक, \( G = 80 \, \text{GPa} = 80 \times 10^3 \, \text{MPa} \)

गणना:

1. ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण ( जे)

\( J = \frac{\pi d^4}{32} \)

d का मान प्रतिस्थापित करने पर:

\( J = \frac{\pi (100)^4}{32} \)

\( J = \frac{\pi (100 \times 100 \times 100 \times 100)}{32} \)

\( J = \frac{\pi (10^8)}{32} \)

\( J = \frac{3.1416 \times 10^8}{32} \)

\( J = 9.817 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \)

\( \theta = 2^\circ = 2 \times \frac{\pi}{180} \)

\( \theta = 2 \times 0.01745 \)

\( \theta = 0.0349 \, \text{radians} \)

मानों को बलाघूर्ण सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

\( T = \frac{G J \theta}{L} \)

\( G = 80 \times 10^3 \, \text{MPa} = 80 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2 \)

\( J = 9.817 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \)

\( \theta = 0.0349 \, \text{radians} \)

\( L = 1000 \, \text{mm} \)

\( T = \frac{80 \times 10^3 \times 9.817 \times 10^6 \times 0.0349}{1000} \)

\( T = \frac{80 \times 9.817 \times 0.0349 \times 10^9}{10^3} \)

\( T = 80 \times 9.817 \times 0.0349 \times 10^6 \)

\( T = 27.409 \, \text{kN-m} \)