ফাংশন f(x) = x + \(\rm \frac{1}{x}\) সম্পর্কে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি বিবেচনা করুন :

1. f(x) এর স্থানীয় সর্বোচ্চ মান তার স্থানীয় নূন্যতম মানের থেকে কম।

2. f(x) এর স্থানীয় সর্বোচ্চ মান x = 1 এ ঘটে।

উপরের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?

অনুসৃত সূত্র:

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)

অনুসৃত ধারণা:

যদি f''(a) > 0 তাহলে x = a স্থানীয় নূন্যতম মানের একটি বিন্দু

যদি f''(a) < 0 তাহলে x = a স্থানীয় গরিষ্ঠতম মানের একটি বিন্দু

গণনা:

ধরুন f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)

\(\rm \frac{d f(x)}{dx} = 1 - \frac{1}{x^{2}}\)

\(\rm \frac{d f(x)}{dx} = 0\)

x = ±1

\(\rm \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} = \frac{2}{x^{3}}\)

x = 1 এ, \(\rm \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} = 2\)

\(\rm \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} > 1\)

x = -1 এ, \(\rm \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} = -2\)

\(\rm \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} < 0\)

তাই f(x) এর স্থানীয় সর্বোচ্চ মান হল x = −1 এবং স্থানীয় সর্বোচ্চ মান = −2
f(x) এর স্থানীয় নূন্যতম মান হল x = 1 এবং স্থানীয় নূন্যতম মান = 2।
তাইজন্যে, স্থানীয় সর্বোচ্চ মান (−2) স্থানীয় নূন্যতম মানের 2 থেকে কম।

∴ বিবৃতি 1 শুধুমাত্র সঠিক।