త్రిభుజం MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Triangle - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం యొక్క భుజాలు: a = 60 సెం.మీ., b = 75 సెం.మీ., c = 45 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి):

వైశాల్యం =

ఇక్కడ s = (a + b + c) ÷ 2 (సెమీ-చుట్టుకొలత)

లెక్కింపు:

s = (60 + 75 + 45) ÷ 2

⇒ s = 180 ÷ 2 = 90 సెం.మీ.

వైశాల్యం =

⇒ వైశాల్యం =

⇒ వైశాల్యం =

⇒ వైశాల్యం = 1350 సెం.మీ²

∴ త్రిభుజం వైశాల్యం 1350 సెం.మీ².

దత్తాంశం:

కోణం P = 75°

కోణం Q మరియు కోణం R ల అంతర కోణ సమద్విఖండన రేఖలు S వద్ద కలుస్తాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం: కోణం P + కోణం Q + కోణం R = 180°

రెండు కోణ సమద్విఖండన రేఖల ఖండన వల్ల ఏర్పడే కోణం:

కోణం QSR = 90° + (కోణం P / 2)

గణన:

కోణం Q + కోణం R లను లెక్కించండి:

కోణం P + కోణం Q + కోణం R = 180°

75° + కోణం Q + కోణం R = 180°

కోణం Q + కోణం R = 105°

కోణం QSR ను లెక్కించండి:

కోణం QSR = 90° + (75° / 2)

కోణం QSR = 90° + 37.5°

కోణం QSR = 127.5°

కాబట్టి, కోణం QSR = 127.5°.

ఇచ్చినవి:

త్రిభుజం యొక్క భుజాలు: a = 5 సెం.మీ, b = 7 సెం.మీ, c = 10 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజ వైశాల్యం =

ఇక్కడ, s = అర్ధ చుట్టుకొలత =

గణన:

దశ 1: అర్ధ చుట్టుకొలత (s) = సెం.మీ

దశ 2: వైశాల్యం =

⇒ వైశాల్యం =

⇒ వైశాల్యం =

⇒ వైశాల్యం = 2√66 చ.సెం.మీ

∴ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం 2√66 చ.సెం.మీ.

ఇచ్చినవి:

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క భుజం = 12 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం = (√3 / 4) x భుజం²

గణనలు:

వైశాల్యం = (√3 / 4) x 12²

వైశాల్యం = (√3 / 4) x 144

వైశాల్యం = 36√3 చ.సెం.మీ

సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం సుమారుగా 36√3 చ.సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం 81 చ.సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = (1/2) x a²

ఇక్కడ 'a' సమాన భుజాల పొడవు.

కర్ణం = a√2

గణన:

ప్రతి సమాన భుజం పొడవు 'a' అనుకుందాం.

వైశాల్యం = (1/2) x a²

81 = (1/2) x a²

⇒ a² = 81 x 2

⇒ a² = 162

⇒ a = √162

⇒ a = √(81 x 2)

⇒ a = 9√2

కర్ణం = a√2

⇒ కర్ణం = 9√2 x √2

⇒ కర్ణం = 9 x 2

⇒ కర్ణం = 18 సెం.మీ

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

ఇచ్చినది:

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క భుజాలు 34% పెంచబడ్డాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సమర్థవంతమైన పెరుగుదల % = పెరుగుదల.% + పెరుగుదల.% + (పెరుగుదల²/100)

గణన:

సమర్థవంతమైన పెరుగుదల = 34 + 34 + {(34 × 34)/100}

⇒ 68 + 11.56 = 79.56%

∴ సరైన సమాధానం 79.56%.

ఇచ్చిన:

సమద్విబాహు త్రిభుజం ABCలో,

AB = AC = 26 సెం.మీ మరియు BC = 20 సెం.మీ.

లెక్కలు:

ఈ త్రిభుజం ABCలో,

∆ADC = 90° (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో మధ్య బిందువు వద్ద వ్యతిరేక శీర్షం నుండి అసమాన భుజం వరకు ఒక రేఖ ద్వారా ఏర్పడిన కోణం 90°)

కాబట్టి,

AD² + BD² = AB² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ద్వారా)

⇒ AD² = 576

⇒ AD = 24

త్రిభుజం వైశాల్యం = ½(భూమి × ఎత్తు)

⇒ ½(20 × 24) (త్రిభుజం వైశాల్యం = (1/2) భూమి × ఎత్తు)

⇒ 240 సెం.మీ

∴ సరైన ఎంపిక ఎంపిక 2.

త్రిభుజం యొక్క అర్ధ చుట్టుకొలత (s) = 28/2 = 14

మనకు తెలిసినట్లుగా,

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం x S = 3.5 x 14 = 49 cm²

 Shortcut Trick

∠BAC = 75º

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

∠ABC + ∠ACB + 75° = 180°

∠ABC + ∠ACB = 180° - 75° = 105°

లెట్, ∠ABC = ∠PBQ = 70° మరియు ∠ACB = ∠RCQ = 35°

కాబట్టి, ∠PQR = 180° - (∠PQB + ∠RQC)

= 180° - [(180° - 2∠PBQ) + (180° - 2∠RCQ) [∵ BQ = PQ; QC = QR]

= 180° - [(180° - 2 x 70°) + (180° - 2 x 35°)]

= 180° - (40° + 110°)

= 180° - 150°

= 30°

 Alternate Method

ఇచ్చినది:

ΔABCలో, ∠BAC = 75º

BQ = PQ మరియు QC = QR

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం = 180°

సరళ రేఖలోని అన్ని కోణాల మొత్తం = 180°

గణన:

 ∠ABC = x మరియు ∠ACB = y, అనుకుందాం

కాబట్టి, ∠ABC = ∠PBQ = ∠QPB = x [∵ BQ = PQ]

∠ACB = ∠RCQ = ∠QRC = y [QC = QR]

ΔABCలో, ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

⇒ x + y + 75° = 180°

⇒ x + y = 180° - 75° = 105° .....(1)

ΔBPQ మరియు ΔCRQ కోసం,

(∠PBQ + ∠QPB + ∠PQB) + (∠RCQ + ∠QRC + ∠RQC) = 180° + 180° = 360°

⇒ ( x + x + ∠PQB) + (y + y + ∠RQC) = 360°

⇒ 2x + 2y + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ 2 (x + y) + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ (2 x 105°) + ∠PQB + ∠RQC = 360° [∵ x + y = 105°]

⇒ ∠PQB + ∠RQC = 360° - 210° = 150° .....(2)

అలాగే, ∠PQB + ∠RQC + ∠PQR = 180°

⇒ 150° + ∠PQR = 180° [∵ ∠PQB + ∠RQC = 150°]

⇒ ∠PQR = 180° - 150° = 30°

∴ T ∠PQR (డిగ్రీలలో) యొక్క కొలత 30°

ఇచ్చిన,

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క రెండు సమాన భుజాలలో ఒకటి, a = 20 సెం.మీ.

త్రిభుజం చుట్టుకొలత = 72 సెం.మీ.

ఫార్ములా:

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత = 2a + b

సమద్విబాహు  త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = (b/4) × √(4a2 – b2)

లెక్కింపు:

a = 20 సెం.మీ అనుకుందాం

2a + b = 72

⇒ 2 × 20 + b = 72

⇒ 40 + b = 72

⇒ b = 72 – 40

⇒ b = 32

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = (32/4) × √(4 × 202 – 322)

⇒ 8 × √(4 × 400 – 1024)

⇒ 8 × √(1600 – 1024)

⇒ 8 × √576

⇒ 8 × 24

⇒ 192 సెం.మీ2

ప్రత్యామ్నాయ పరిష్కారం

మూడవ భుజం = 72 - 2 × 20 = 72 - 40 = 32

పాక్షిక చుట్టుకొలత, s = 72/2 = 36

ఇప్పుడు,

వైశాల్యం = √[s (s – a) (s – b) (s – c)] = √[36(36 – 32)(36 - 20)(36 - 20)] = √(36 × 4 × 16 × 16) = 16 × 4 × 3 = 192 సెం.మీ2

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

చతుర్భుజం యొక్క  వైశాల్యం = 12√3 సెం.మీ2

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

 మనకు తెలుసు, త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థం త్రిభుజం సమాన వైశాల్యాలలో కత్తిరించబడుతుంది

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = (√3/4) (భుజం)²

సాధన:

⇒ ΔABC యొక్క వైశాల్యం = చతుర్భుజ BDGF యొక్క వైశాల్యం × 3 

⇒ ΔABC యొక్క వైశాల్యం = 12√3 × 3

⇒ ΔABC యొక్క  వైశాల్యం = 36√3 సెం.మీ²

⇒ 36√3 = (√3/4) × (భుజం)2

⇒ భుజం= 12 సెం.మీ

∴ ΔABC యొక్క భుజం 12 సెం.మీ

 Shortcut Trick సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు = a√3/2 అని మనకు తెలుసు

ఇక్కడ, ఎత్తు = 9 = 6√3 × √3/2

a = 6√3, కాబట్టి ఎత్తు = a√3/2.

∴ ఇచ్చిన త్రిభుజం ఒక సమబాహు త్రిభుజం.

కాబట్టి, ∠A = 60°.

సాంప్రదాయ పద్ధతి:

భావన:

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

(AB)2 = (BD)2 + (AD)2

సమబాహు త్రిభుజం:

AB = BC = AC

∠A = ∠B = ∠C = 60°

గణన:

(6√3)2 = (BD)2 + 92

⇒ BD = 3√3 సెం.మీ

∵ DC = BD = 3√3 సెం.మీ

∴ BC = AC = AB = 6√3 సెం.మీ &

∠A = ∠B = ∠C = 60°

∴ ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం.

ఇచ్చిన

సమబాహు త్రిభుజం ఒక వృత్తంలో చెక్కబడి ఉంటుంది

సమబాహు త్రిభుజం వైశాల్యం = 4√3 సెం.మీ ²

కాన్సెప్ట్ ఉపయోగించబడింది

సమబాహు త్రిభుజం వైశాల్యం =

లెక్కింపు

= 4√3

a ² = 16

a = 4

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత =

r =

వృత్త వైశాల్యం = πr ²

πr ² =

వైశాల్యం = సెం.మీ ²

 AD = DF = FB = x యూనిట్లు మరియు AE = EG = GC = y యూనిట్లు అనుకుందాం

ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ ΔADE వైశాల్యం / ΔABC వైశాల్యం = (AD/AB)²

⇒ ΔADE వైశాల్యం/63 = (x/3x)²

⇒ ΔADE వైశాల్యం = 63 × 1/9

⇒  ΔADE వైశాల్యం = 7

ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ ΔAFG వైశాల్యం/ΔABC వైశాల్యం = (AF/AB)²

⇒ ΔAFG వైశాల్యం/63 = (2x/3x)²

⇒ ΔAFG వైశాల్యం = 63 × 4/9

⇒ ΔAFG వైశాల్యం = 28

∴ DEGF చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం = (ΔAFG - ΔADE) యొక్క వైశాల్యం = (28 - 7) = 21 చ.యూనిట్లు

ఇవ్వబడింది

Δ ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం, AB=AC

Ad = 6 సె౦.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం

త్రిభుజం యొక్క వైశల్యం = 1/2 × భూమి × ఎత్తు

చిత్రం:

లెక్కింపు

AD BCకి లంబంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ΔADB లంబకోణ త్రిభుజం

మనకు త్రికం (6,8, 10) తెలుసు

కాబట్టి AB= 10, AD = 6 సెం.మీ మరియు BD= 8 సెం.మీ

BC = 2 × BD      (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, ఎత్తు మరియు మధ్యమం ఒకేవిధంగా ఉంటాయి)

BC = 16 సెం.మీ

ABC త్రిభుజం యొక్క వైశల్యం  = 1/2 × 16 × 6 = 48 సె౦.మీ2

∴ ABC త్రిభుజం యొక్క వైశల్యం 48 సె౦.మీ2