Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్లోడ్ కరెన్
Last updated on May 14, 2025
Latest Inverse Trigonometric Functions MCQ Objective Questions
Inverse Trigonometric Functions Question 1:
Tan-1 2 + Tan-1 3 =
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 1 Detailed Solution
Inverse Trigonometric Functions Question 2:
12 sin x - 5 cos x + 3 యొక్క గరిష్ట విలువ
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 2 Detailed Solution
Inverse Trigonometric Functions Question 3:
y(cos x)sin x = (sin x)sin x అయితే, \(\frac{d y}{d x}\) వద్ద \(x=\frac{\pi}{4}\) విలువ
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 3 Detailed Solution
Inverse Trigonometric Functions Question 4:
tan-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right),|x|<\frac{1}{2}, x \neq 0\) విలువ
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 4 Detailed Solution
గణన:
\(\text { Let } T=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)\) అనుకుందాం
\(\text { Put } x^2=\cos 2 \theta \Rightarrow \theta=\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2\)
∴ \(\mathrm{T}=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2 \theta}+\sqrt{1-\cos 2 \theta}}{\sqrt{1+\cos 2 \theta}-\sqrt{1-\cos 2 \theta}}\right)\)
= \(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2} \cos \theta+\sqrt{2} \sin \theta}{\sqrt{2} \cos \theta-\sqrt{2} \sin \theta}\right)\)
= \(\tan ^{-1}\left(\frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right)\)
= \(\tan ^{-1}\left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)
= \(\tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right)\)
= \(\frac{\pi}{4}+\theta\)
= \(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2\)
∴ కావలసిన సమాధానం \(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2\).
సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.
Inverse Trigonometric Functions Question 5:
tan-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా సమానం
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 5 Detailed Solution
ఉపయోగించిన భావన:-
tan 2θ విలువ తెలుసు,
\(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1-\tan ^2 x\right)}\)
అలాగే, sin 2θ విలువ,
\(\sin 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1+\tan^2 x\right)}\)
వివరణ:-
అనుకుందాం,
\(\begin{aligned} & u=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \\ & v=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} \end{aligned}\)
x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right) \end{aligned}\)
x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1-(tan \theta)^2} \right)=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} tan (2\theta)\right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1+(tan \theta)^2}\right)=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} sin(2\theta)\right) \end{aligned}\)
లేదా,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x) \end{aligned}\)
ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,
\(\Rightarrow \frac{d u}{d v}=1\)
కాబట్టి, tan-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.
సరైన ఎంపిక 4.
Top Inverse Trigonometric Functions MCQ Objective Questions
sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3\pi}{4}\) , అయినా cos-1 x + cos-1 y = ? .
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFకాన్సెప్ట్:
sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)
సాధన:
sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\)
⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\)
⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)
⇒ cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\)
సరైన ఎంపిక 2.
\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\) దేనికి సమానం?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన:
sin (π - θ) = sin θ
\({\sin ^{ - 1}}(sinx)= x\), x ∈ [\(\rm \frac {-\pi}{2},\rm \frac {\pi}{2}\)]
లెక్కింపు:
\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\)
\(\rm = {\sin ^{ - 1}}[sin \rm (\pi - \frac{{2\pi }}{5})]\)
\(= {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{2\pi }}{5})\) (∵ sin (π - θ) = sin θ)
\(= \frac{{2\pi }}{5}\)
కావున, ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం
\(\sin^{−1}\left(\frac{−\sqrt{3}}{2}\right)\) యొక్క ప్రధాన విలువ
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFవివరణ:
sinθ = x ⇒ θ = sin-1x, θ ∈ [-π/2, π/2]
sin (sin-1 x) =x -π/2 ≤ x ≤ π/2
మనకు, \(\sin^{−1}\left(\frac{−\sqrt{3}}{2}\right)\)
= sin-1(sin(\(\frac{-\pi}{3}\))) ----- ఎందుకంటే \(\frac{-\pi}{3}\) ∈ [\(\frac{-\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)]
కాబట్టి sin-1(sin(\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\))) = \(\frac{-\pi}{3}\)
Additional Information విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాల ప్రధాన విలువలు:
ప్రమేయం |
డొమైన్ |
ప్రధాన విలువ యొక్క వ్యాప్తి |
sin-1 x |
[-1, 1] |
[-π/2, π/2] |
cos-1 x |
[-1, 1] |
[0, π] |
csc-1 x |
R - (-1, 1) |
[-π/2, π/2] - {0} |
sec-1 x |
R - (-1, 1) |
[0, π] - {π/2} |
tan-1 x |
R |
(-π/2, π/2) |
cot-1 x |
R |
(0, π) |
tan-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా సమానం
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFఉపయోగించిన భావన:-
tan 2θ విలువ తెలుసు,
\(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1-\tan ^2 x\right)}\)
అలాగే, sin 2θ విలువ,
\(\sin 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1+\tan^2 x\right)}\)
వివరణ:-
అనుకుందాం,
\(\begin{aligned} & u=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \\ & v=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} \end{aligned}\)
x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right) \end{aligned}\)
x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1-(tan \theta)^2} \right)=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} tan (2\theta)\right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1+(tan \theta)^2}\right)=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} sin(2\theta)\right) \end{aligned}\)
లేదా,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x) \end{aligned}\)
ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,
\(\Rightarrow \frac{d u}{d v}=1\)
కాబట్టి, tan-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.
సరైన ఎంపిక 4.
Inverse Trigonometric Functions Question 10:
sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3\pi}{4}\) , అయినా cos-1 x + cos-1 y = ? .
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 10 Detailed Solution
కాన్సెప్ట్:
sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)
సాధన:
sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\)
⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\)
⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)
⇒ cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\)
సరైన ఎంపిక 2.
Inverse Trigonometric Functions Question 11:
\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\) దేనికి సమానం?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 11 Detailed Solution
భావన:
sin (π - θ) = sin θ
\({\sin ^{ - 1}}(sinx)= x\), x ∈ [\(\rm \frac {-\pi}{2},\rm \frac {\pi}{2}\)]
లెక్కింపు:
\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\)
\(\rm = {\sin ^{ - 1}}[sin \rm (\pi - \frac{{2\pi }}{5})]\)
\(= {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{2\pi }}{5})\) (∵ sin (π - θ) = sin θ)
\(= \frac{{2\pi }}{5}\)
కావున, ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం
Inverse Trigonometric Functions Question 12:
\(\sin^{−1}\left(\frac{−\sqrt{3}}{2}\right)\) యొక్క ప్రధాన విలువ
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 12 Detailed Solution
వివరణ:
sinθ = x ⇒ θ = sin-1x, θ ∈ [-π/2, π/2]
sin (sin-1 x) =x -π/2 ≤ x ≤ π/2
మనకు, \(\sin^{−1}\left(\frac{−\sqrt{3}}{2}\right)\)
= sin-1(sin(\(\frac{-\pi}{3}\))) ----- ఎందుకంటే \(\frac{-\pi}{3}\) ∈ [\(\frac{-\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)]
కాబట్టి sin-1(sin(\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\))) = \(\frac{-\pi}{3}\)
Additional Information విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాల ప్రధాన విలువలు:
ప్రమేయం |
డొమైన్ |
ప్రధాన విలువ యొక్క వ్యాప్తి |
sin-1 x |
[-1, 1] |
[-π/2, π/2] |
cos-1 x |
[-1, 1] |
[0, π] |
csc-1 x |
R - (-1, 1) |
[-π/2, π/2] - {0} |
sec-1 x |
R - (-1, 1) |
[0, π] - {π/2} |
tan-1 x |
R |
(-π/2, π/2) |
cot-1 x |
R |
(0, π) |
Inverse Trigonometric Functions Question 13:
\(\sin^{-1} \left( 2 \sin \frac{\pi}{2} \right)\) విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 13 Detailed Solution
భావన :
y = sin-1 x ప్రమేయం ఉనికిలో ఉండాలంటే,
⇒ |x| ≤ 1
గణన:
\(\sin^{-1} \left( 2 \sin \frac{\pi}{2} \right)\) ఉనికిలో ఉండాలంటే,
\(\Rightarrow -1 ≤ 2 \sin \frac{\pi}{2} ≤ 1\)
⇒ -1 ≤ 2 ≤ 1 ⇒ సాధ్యం కాదు
⇒ \(\sin^{-1} \left( 2 \sin \frac{\pi}{2} \right)\) విలువ ఉండదు.
కాబట్టి సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.
Inverse Trigonometric Functions Question 14:
tan-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా సమానం
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 14 Detailed Solution
ఉపయోగించిన భావన:-
tan 2θ విలువ తెలుసు,
\(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1-\tan ^2 x\right)}\)
అలాగే, sin 2θ విలువ,
\(\sin 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1+\tan^2 x\right)}\)
వివరణ:-
అనుకుందాం,
\(\begin{aligned} & u=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \\ & v=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} \end{aligned}\)
x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right) \end{aligned}\)
x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1-(tan \theta)^2} \right)=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} tan (2\theta)\right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1+(tan \theta)^2}\right)=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} sin(2\theta)\right) \end{aligned}\)
లేదా,
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x) \end{aligned}\)
ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,
\(\Rightarrow \frac{d u}{d v}=1\)
కాబట్టి, tan-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.
సరైన ఎంపిక 4.
Inverse Trigonometric Functions Question 15:
sin-1 \(\frac{{12}}{{13}}\) + cos-1 \(\frac{{4}}{{5}}\) + tan-1 \(\frac{{63}}{{16}}\) = విలువకు సమానమైనది