Integration using Substitution MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Integration using Substitution - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

I = \(\int \frac{\tan x+\tan α}{\tan x-\tan α} \mathrm{d} x\) అనుకుందాం

= \(\int \frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin α}{\cos α}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin α}{\cos α}} d x\)

= \(\int \frac{\sin x \cos α+\sin α \cos x}{\sin x \cos α-\sin α \cos x} \mathrm{~d} x\)

= \(\int \frac{\sin (x+α)}{\sin (x-α)} d x\)

x - α = t అనుకుందాం

∴ I = \(\int \frac{\sin (t+2 α)}{\sin t}dt\)

= \(\int \frac{\sin (t) \cos 2 α+\cos (t) \sin 2 α}{\sin (t)} dt\)

= \(\cos 2 α \int 1 dt+\sin 2 α \int \cot (\mathrm{t}) \mathrm{dt}\)

= \(\cos 2 α \cdot \mathrm{t}+\sin 2 α \cdot \log |\sin (\mathrm{t})|+\mathrm{c}\)

∴ \(\mathrm{I}=(x-α) \cos 2 α+\log |\sin (x-α)| \sin 2 α+\mathrm{c}\)

కానీ \(\int \frac{\tan x+\tan α}{\tan x-\tan α} \mathrm{d} x=\mathrm{A}(x) \cos 2 α+\mathrm{B}(x) \sin 2 α+\mathrm{c}\) .... [ఇవ్వబడింది]

⇒ A(x) = x - α, B(x) = log |sin (x - α)| + c

∴ A(x) మరియు B(x) ప్రమేయాలు వరుసగా x - α మరియు log |sin(x − α)|.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన:

\(\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన: 

\(\rm \int x^{n}\space dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4}) \space d(x^2)\)      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2}) \space du\)

⇒ u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\)+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C.

భావన: 

\(\rm \int x^{n}\space dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4}) \space d(x^2)\)      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2}) \space du\)

⇒ u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\)+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C.

భావన:

\(\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన: 

\(\rm \int x^{n}\space dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4}) \space d(x^2)\)      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2}) \space du\)

⇒ u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\)+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C.

భావన:

\(\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

గణన:

I = \(\int \frac{\tan x+\tan α}{\tan x-\tan α} \mathrm{d} x\) అనుకుందాం

= \(\int \frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin α}{\cos α}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin α}{\cos α}} d x\)

= \(\int \frac{\sin x \cos α+\sin α \cos x}{\sin x \cos α-\sin α \cos x} \mathrm{~d} x\)

= \(\int \frac{\sin (x+α)}{\sin (x-α)} d x\)

x - α = t అనుకుందాం

∴ I = \(\int \frac{\sin (t+2 α)}{\sin t}dt\)

= \(\int \frac{\sin (t) \cos 2 α+\cos (t) \sin 2 α}{\sin (t)} dt\)

= \(\cos 2 α \int 1 dt+\sin 2 α \int \cot (\mathrm{t}) \mathrm{dt}\)

= \(\cos 2 α \cdot \mathrm{t}+\sin 2 α \cdot \log |\sin (\mathrm{t})|+\mathrm{c}\)

∴ \(\mathrm{I}=(x-α) \cos 2 α+\log |\sin (x-α)| \sin 2 α+\mathrm{c}\)

కానీ \(\int \frac{\tan x+\tan α}{\tan x-\tan α} \mathrm{d} x=\mathrm{A}(x) \cos 2 α+\mathrm{B}(x) \sin 2 α+\mathrm{c}\) .... [ఇవ్వబడింది]

⇒ A(x) = x - α, B(x) = log |sin (x - α)| + c

∴ A(x) మరియు B(x) ప్రమేయాలు వరుసగా x - α మరియు log |sin(x − α)|.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.