Determinants MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Determinants - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన

సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B =

⇒ det (A) ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్ ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B = 0, సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B ≠ 0, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది (పరిష్కారం లేదు)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

kx + y + z = 1, x + ky + z = k మరియు x + y + kz = k2

⇒ ఇచ్చిన సమీకరణాలకు పరిష్కారం లేకపోవడానికి, |A| = 0

⇒ k(k2 – 1) - 1(k – 1) + 1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k + 1 + 1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాలలో మనం k = 1ని ఉంచినట్లయితే, అన్ని సమీకరణాలు ఒకేలా మారతాయి.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణాలకు k = - 2 అయితే పరిష్కారం ఉండదు.

ఇవ్వబడింది:

భావన:

నిర్ణాయక విస్తరణ భావనను ఉపయోగించండి.

లెక్కింపు:

మూడవ నిలువు వరుసకు సంబంధించి విస్తరించండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

⇒ 4x - 8 - 8 = 0

⇒ 4x = 16

⇒ x = 4

కాబట్టి ఎంపిక (1) సరైనది.

భావన:

ఫార్ములా:

త్రిభుజం వైశాల్యం = 

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: శీర్షాల (-k , k), (1 , 0) మరియు (5 , 0) ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యం 8 చదరపు యూనిట్లు.

వైశాల్యం  = 

⇒ |- k(0 × 1 - 0 × 1) - k(1 × 1 - 5 × 1) + 1(1 × 0 - 5 × 0)| = 8 × 2

⇒ |4k| = 16

⇒ k = ± 4

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 3

భావన

సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B =

⇒ det (A) ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్ ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B = 0, సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B ≠ 0, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది (పరిష్కారం లేదు)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

kx + y + z = 1, x + ky + z = k మరియు x + y + kz = k2

⇒ ఇచ్చిన సమీకరణాలకు పరిష్కారం లేకపోవడానికి, |A| = 0

⇒ k(k2 – 1) - 1(k – 1) + 1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k + 1 + 1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాలలో మనం k = 1ని ఉంచినట్లయితే, అన్ని సమీకరణాలు ఒకేలా మారతాయి.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణాలకు k = - 2 అయితే పరిష్కారం ఉండదు.

భావన:

శీర్షాల ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యం సున్నా అయితే, మూడుబిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి

ఫార్ములా:

త్రిభుజం వైశాల్యం =

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

బిందువులు  A(a , b), B(b , a) మరియు C(2a - 3b , 3b - a)

వైశాల్యం =

= 1/2[a(a × 1 - (3b - a) × 1) -b(b × 1 - (2a - 3b) × 1) +1(b × (3b - a) - (2a - 3b) × a)]

⇒ వైశాల్యం = 0

అందువల్ల బిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి.

గణన:

ఇచ్చినది, D =

=

=

C₂ → C₂ − C₁ మరియు C₃ → C₃ − C₁ అనువర్తిస్తే

=

= [3(12n + 30) − 6(6n + 6)]

= [36n + 90 − 36n − 36]

= [54]

= 27 = 33 = 3ⁿ

⇒ n = 3

∴ n యొక్క గరిష్ట విలువ 3.

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది:

భావన:

నిర్ణాయక విస్తరణ భావనను ఉపయోగించండి.

లెక్కింపు:

మూడవ నిలువు వరుసకు సంబంధించి విస్తరించండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

⇒ 4x - 8 - 8 = 0

⇒ 4x = 16

⇒ x = 4

కాబట్టి ఎంపిక (1) సరైనది.

సిద్ధాంతం:

అయితే,

సాధారణంగా,

ఇక్కడ n ఏదైనా ధన పూర్ణ సంఖ్య మరియు fⁿ(x) అనేది f(x) యొక్క n^th అవకలజాన్ని సూచిస్తుంది.

గణన:

ఇచ్చినది,

⇒ =

=

∴

=

= 0

∴ x = 0 వద్ద విలువ 0.

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

సమాధానం : 2

పరిష్కారం :

cos(A + B) [(cos A cos B - sin A sin B)] + sin(A + B) [sin A cos B + sin B cos A] + cos 2B [sin² A + cos² A] = 0

cos(A + B) cos(A + B)

+sin(A + B) sin(A + B) + cos 2 B = 0

cos² (A + B) + sin² (A + B) + cos 2 B = 0

1 + cos 2 B = 0

2 cos² B -1 = 0

2 cos² B = 1

cos²B = 1/2

cos B = 0

∴

వివరణ -

మనకు α ≠ a, β ≠ b, γ ≠ c మరియు అని ఇవ్వబడింది.

R₁ → R₁ - R₂, R₂ → R₂ - R₃

= 0

(α - a) (γ(β - b) - b(c - γ)) - (b - β) (- a(c - γ)) = 0

γ(α - a) (β - b) - b(α - a) (c - γ) + a(b - β) (c - γ)

కాబట్టి 3వ ఎంపిక సరైనది.