Application of Determinants MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Application of Determinants - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

సిద్ధాంతం:

adj(kA) = k^n-1adj(A)

గణన:

మనకు తెలుసు, A ^-1 = \(\frac{adj(A)}{|A|}\)

⇒ adj(A) = |A|A ^-1

⇒ adj(2A) = |2A|(2A) ^-1

⇒ adj(2A) = \(\frac{2^2}{2}\)|A|A -1

⇒ adj(2A) = 2|A|A -1

∴ |A4| + |A10 - (adj(2A))10|

= |A4| + |A10 - 2²⁰A-10|

= |A4| + \(\frac{1}{|A^{10}|}\)|A20 - 220I| … (i)

ఇప్పుడు, A యొక్క లక్షణ సమీకరణం: x² - x - 2 = 0

మూలాలు -1 మరియు 2

⇒ A యొక్క ఐగెన్ విలువలు: -1 మరియు 2

⇒ A²⁰ యొక్క ఐగెన్ విలువలు: 1 మరియు 2²⁰ ⇔ |A20 - 220I| = 0

(i) లో ఉంచడం ద్వారా,

|A⁴| = 16

∴ |A4| + |A10 - (adj(2A))10| విలువ 16.

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

సిద్ధాంతం:

\(\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}\left( x \right) & {{f}_{2}}\left( x \right) & {{f}_{3}}\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\) అయితే, \( \Delta’ \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}’\left( x \right) & {{f}_{2}}’\left( x \right) & {{f}_{3}}’\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

సాధారణంగా, \(\begin{array}{l}{{\Delta }^{n}}\left( x \right)=\left| \begin{matrix} f_{1}^{n}\left( x \right) & f_{2}^{n}\left( x \right) & f_{3}^{n}\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\end{array}\)

ఇక్కడ n ఏదైనా ధన పూర్ణ సంఖ్య మరియు fⁿ(x) అనేది f(x) యొక్క n^th అవకలజాన్ని సూచిస్తుంది.

గణన:

ఇచ్చినది, \(\rm f(x)=\begin{vmatrix}x^n&\sin x&\cos x\\\ n!& \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)&\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)\\\ a&a^2&a^3\end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm \frac{d^n}{dx^n}[f(x)]\) = \(\left| \begin{matrix} \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( {{x}^{n}} \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \sin x \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \cos x \right) \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

= \(\left| \begin{matrix} n! & \sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) & \cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

∴ \(\\ {{\left( \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left\{ f\left( x \right) \right\} \right)}}\)

= \(\left| \begin{matrix} n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

= 0

∴ x = 0 వద్ద \(\rm \frac{d^n}{dx^n}[f(x)]\) విలువ 0.

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

భావన:

శీర్షాల ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యం సున్నా అయితే, మూడుబిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి

ఫార్ములా:

త్రిభుజం వైశాల్యం =\(|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}|\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

బిందువులు  A(a , b), B(b , a) మరియు C(2a - 3b , 3b - a)

వైశాల్యం =\(|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} a & b & 1 \\ b & a & 1\\2a-3b & 3b-a & 1 \end{vmatrix}|\)

= 1/2[a(a × 1 - (3b - a) × 1) -b(b × 1 - (2a - 3b) × 1) +1(b × (3b - a) - (2a - 3b) × a)]

⇒ వైశాల్యం = 0

అందువల్ల బిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి.

భావన

సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B =\(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ det (A) ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్ ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B = 0, సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B ≠ 0, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది (పరిష్కారం లేదు)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

kx + y + z = 1, x + ky + z = k మరియు x + y + kz = k2

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ ఇచ్చిన సమీకరణాలకు పరిష్కారం లేకపోవడానికి, |A| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k(k2 – 1) - 1(k – 1) + 1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k + 1 + 1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాలలో మనం k = 1ని ఉంచినట్లయితే, అన్ని సమీకరణాలు ఒకేలా మారతాయి.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణాలకు k = - 2 అయితే పరిష్కారం ఉండదు.

భావన:

ఫార్ములా:

త్రిభుజం వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: శీర్షాల (-k , k), (1 , 0) మరియు (5 , 0) ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యం 8 చదరపు యూనిట్లు.

వైశాల్యం  = \(\frac{1}{2}\begin{vmatrix} -k & k& 1 \\ 1 & 0 & 1\\5 & 0 & 1 \end{vmatrix}\)

⇒ |- k(0 × 1 - 0 × 1) - k(1 × 1 - 5 × 1) + 1(1 × 0 - 5 × 0)| = 8 × 2

⇒ |4k| = 16

⇒ k = ± 4

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 3

భావన

సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B =\(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ det (A) ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్ ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B = 0, సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

⇒ det (A) = 0 మరియు (adj A) అయితే. B ≠ 0, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంది (పరిష్కారం లేదు)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

kx + y + z = 1, x + ky + z = k మరియు x + y + kz = k2

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ ఇచ్చిన సమీకరణాలకు పరిష్కారం లేకపోవడానికి, |A| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k(k2 – 1) - 1(k – 1) + 1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k + 1 + 1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాలలో మనం k = 1ని ఉంచినట్లయితే, అన్ని సమీకరణాలు ఒకేలా మారతాయి.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమీకరణాలకు k = - 2 అయితే పరిష్కారం ఉండదు.

భావన:

శీర్షాల ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం వైశాల్యం సున్నా అయితే, మూడుబిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి

ఫార్ములా:

త్రిభుజం వైశాల్యం =\(|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}|\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన:

బిందువులు  A(a , b), B(b , a) మరియు C(2a - 3b , 3b - a)

వైశాల్యం =\(|\frac{1}{2}\begin{vmatrix} a & b & 1 \\ b & a & 1\\2a-3b & 3b-a & 1 \end{vmatrix}|\)

= 1/2[a(a × 1 - (3b - a) × 1) -b(b × 1 - (2a - 3b) × 1) +1(b × (3b - a) - (2a - 3b) × a)]

⇒ వైశాల్యం = 0

అందువల్ల బిందువులు సమరేఖీయంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం:

\(\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}\left( x \right) & {{f}_{2}}\left( x \right) & {{f}_{3}}\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\) అయితే, \( \Delta’ \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}’\left( x \right) & {{f}_{2}}’\left( x \right) & {{f}_{3}}’\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

సాధారణంగా, \(\begin{array}{l}{{\Delta }^{n}}\left( x \right)=\left| \begin{matrix} f_{1}^{n}\left( x \right) & f_{2}^{n}\left( x \right) & f_{3}^{n}\left( x \right) \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\end{array}\)

ఇక్కడ n ఏదైనా ధన పూర్ణ సంఖ్య మరియు fⁿ(x) అనేది f(x) యొక్క n^th అవకలజాన్ని సూచిస్తుంది.

గణన:

ఇచ్చినది, \(\rm f(x)=\begin{vmatrix}x^n&\sin x&\cos x\\\ n!& \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)&\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)\\\ a&a^2&a^3\end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm \frac{d^n}{dx^n}[f(x)]\) = \(\left| \begin{matrix} \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( {{x}^{n}} \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \sin x \right) & \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \cos x \right) \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

= \(\left| \begin{matrix} n! & \sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) & \cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right) \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

∴ \(\\ {{\left( \frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left\{ f\left( x \right) \right\} \right)}}\)

= \(\left| \begin{matrix} n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ n! & \sin \frac{n\pi }{2} & \cos \frac{n\pi }{2} \\ a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

= 0

∴ x = 0 వద్ద \(\rm \frac{d^n}{dx^n}[f(x)]\) విలువ 0.

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

సిద్ధాంతం:

adj(kA) = k^n-1adj(A)

గణన:

మనకు తెలుసు, A ^-1 = \(\frac{adj(A)}{|A|}\)

⇒ adj(A) = |A|A ^-1

⇒ adj(2A) = |2A|(2A) ^-1

⇒ adj(2A) = \(\frac{2^2}{2}\)|A|A -1

⇒ adj(2A) = 2|A|A -1

∴ |A4| + |A10 - (adj(2A))10|

= |A4| + |A10 - 2²⁰A-10|

= |A4| + \(\frac{1}{|A^{10}|}\)|A20 - 220I| … (i)

ఇప్పుడు, A యొక్క లక్షణ సమీకరణం: x² - x - 2 = 0

మూలాలు -1 మరియు 2

⇒ A యొక్క ఐగెన్ విలువలు: -1 మరియు 2

⇒ A²⁰ యొక్క ఐగెన్ విలువలు: 1 మరియు 2²⁰ ⇔ |A20 - 220I| = 0

(i) లో ఉంచడం ద్వారా,

|A⁴| = 16

∴ |A4| + |A10 - (adj(2A))10| విలువ 16.

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.