Probability MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Probability - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்
Last updated on Jun 5, 2025
Latest Probability MCQ Objective Questions
Probability Question 1:
ஒரு பகடையை இரண்டு முறை உருட்டினால், தோன்றும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை 10 ஆகும். அப்பொழுது குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 1 Detailed Solution
இங்கு பயன்படுத்தப்படும் தர்க்கம்:
இரண்டு பகடைகளின் கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றவும்:
-
கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: (x, y) என்பது
x + y = 10 x + y = 10 எனில்:சாத்தியமான விளைவுகள்:
எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகள் 3.
- (4, 6)
- (5, 5)
- (6, 4)
-
குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் சாதகமான விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் ஜோடிகள்:
எனவே, சாதகமான விளைவுகள் 1.
- (5, 5)
-
நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்: கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:
- P = சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை / மொத்த விளைவுகள் = 1 / 3
-
எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு 1/3.
Probability Question 2:
ஒரு பொம்மை தொழிற்சாலையில், A, B மற்றும் C இயந்திரங்கள் முறையே 30%, 40%, 30% வெளியீட்டை உற்பத்தி செய்கின்றன. அவற்றின் மொத்த உற்பத்தியில், 2%, 3%, 1% குறைபாடுடையவை. A பொம்மை தொழிற்சாலையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது மற்றும் குறைபாடு இருப்பது கண்டறியப்பட்டது எனில் B இயந்திரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு ____ ஆகும்.
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 2 Detailed Solution
கருத்து:
பேய்ஸ் தேற்றம்:
\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)
A மற்றும் B ஆகியவை நிகழ்வுகள் மற்றும் P(B) ஆகும்.
P(A|B) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு B உண்மையாக இருக்கும்.
P(B|A) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A உண்மையாக இருக்கும் போது B நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு.
P(A) மற்றும் P(B) முறையே A மற்றும் B ஐ கவனிக்கும் நிகழ்தகவுகள்.
கணக்கீடு:
பின்வருமாறு
A: A என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
B: B என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
C: C என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
D: குறைபாடுள்ள பொம்மை.
கொடுக்கப்பட்டவை:
P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30
A = P(D|A) = 0.02 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
B = P(D|B) = 0.03 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
C = P(D|C) = 0.01 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
ஒரு பொம்மை தேர்வு செய்யப்பட்டு, குறைபாடுள்ளதாகக் கண்டறியப்பட்டு, B = P(B|D) ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.
பேய்ஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி,
\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)
P(D) = குறைபாடுள்ள பொம்மை நிகழ்தகவு
= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)
= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01
= (12 + 6 + 3) × 10-3
= 21 × 10-3
இப்போது, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)
\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)
\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)
= 4/7
Probability Question 3:
ஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 2 நீலம் மற்றும் 5 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. பையில் இருந்து ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது. எடுக்கப்பட்ட பந்து சிவப்பு இல்லை என்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 3 Detailed Solution
ஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 2 நீலம் மற்றும் 5 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன.
மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 3 + 2 + 5 = 10
சிவப்பு இல்லாத பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 10 - 5 = 5
எடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் நிகழ்தகவு சிவப்பு அல்ல = (சிவப்பு இல்லாத பந்துகளின் எண்ணிக்கை)/(மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை) = 5/10 = 1/2Probability Question 4:
ஒரு கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்து மற்றும் 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. முதலில் எடுக்கும்போது, ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்டு அதன் நிறத்தைக் கவனிக்காமல் தூக்கி எறியப்படும். இரண்டாவதாக எடுக்கும்போது சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 4 Detailed Solution
கருத்து :
நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அளவீடு, மற்றொரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால், அது நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிப்பிடப்படுகிறது.
நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெருக்கப்படுகிறது.
நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது
\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)
\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)
E1 மற்றும் E2 ஆகியவை நிகழ்வுகளாகும்.
கணக்கீடு:
கொடுக்கப்பட்டது:
கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்துகள், 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.
ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது.
நிலை (i): முதல் பந்து சிவப்பு பந்து
இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)
நிலை (ii): முதல் பந்து கருப்பு பந்து
இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)
தேவையான நிகழ்தகவு (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)
Probability Question 5:
X ஐ சராசரி 1 மற்றும் மாறளவு கொண்ட ஈருறுப்பு சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும். X என்பது 3 இன் மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 5 Detailed Solution
கோட்பாடு:
ஈருறுப்புப் பரவல்
\(P\left( {X = r} \right) = {n_{{c_r}}}{p^r}{q^{n - r}}\)
சராசரி = np
மாறளவு = npq
திட்ட விலக்கம்\( = \sqrt {npq} \)
கணக்கீடு:
சராசரி = np = 1
மாறளவு = npq = 3/4
\( \Rightarrow p = \frac{1}{4},q = \frac{3}{4},n = 4\)
\(P\left( {X = 3} \right) = {4_{{c_3}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{4 - 3}} \)
\(P(X=3)= 4 \times \frac{1}{{64}} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{{64}}\)
Top Probability MCQ Objective Questions
ஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 2 நீலம் மற்றும் 5 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. பையில் இருந்து ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது. எடுக்கப்பட்ட பந்து சிவப்பு இல்லை என்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 2 நீலம் மற்றும் 5 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன.
மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 3 + 2 + 5 = 10
சிவப்பு இல்லாத பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 10 - 5 = 5
எடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் நிகழ்தகவு சிவப்பு அல்ல = (சிவப்பு இல்லாத பந்துகளின் எண்ணிக்கை)/(மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை) = 5/10 = 1/2ஒரு கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்து மற்றும் 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. முதலில் எடுக்கும்போது, ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்டு அதன் நிறத்தைக் கவனிக்காமல் தூக்கி எறியப்படும். இரண்டாவதாக எடுக்கும்போது சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFகருத்து :
நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அளவீடு, மற்றொரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால், அது நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிப்பிடப்படுகிறது.
நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெருக்கப்படுகிறது.
நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது
\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)
\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)
E1 மற்றும் E2 ஆகியவை நிகழ்வுகளாகும்.
கணக்கீடு:
கொடுக்கப்பட்டது:
கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்துகள், 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.
ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது.
நிலை (i): முதல் பந்து சிவப்பு பந்து
இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)
நிலை (ii): முதல் பந்து கருப்பு பந்து
இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)
தேவையான நிகழ்தகவு (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)
ஒரு பொம்மை தொழிற்சாலையில், A, B மற்றும் C இயந்திரங்கள் முறையே 30%, 40%, 30% வெளியீட்டை உற்பத்தி செய்கின்றன. அவற்றின் மொத்த உற்பத்தியில், 2%, 3%, 1% குறைபாடுடையவை. A பொம்மை தொழிற்சாலையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது மற்றும் குறைபாடு இருப்பது கண்டறியப்பட்டது எனில் B இயந்திரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு ____ ஆகும்.
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFகருத்து:
பேய்ஸ் தேற்றம்:
\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)
A மற்றும் B ஆகியவை நிகழ்வுகள் மற்றும் P(B) ஆகும்.
P(A|B) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு B உண்மையாக இருக்கும்.
P(B|A) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A உண்மையாக இருக்கும் போது B நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு.
P(A) மற்றும் P(B) முறையே A மற்றும் B ஐ கவனிக்கும் நிகழ்தகவுகள்.
கணக்கீடு:
பின்வருமாறு
A: A என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
B: B என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
C: C என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
D: குறைபாடுள்ள பொம்மை.
கொடுக்கப்பட்டவை:
P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30
A = P(D|A) = 0.02 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
B = P(D|B) = 0.03 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
C = P(D|C) = 0.01 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
ஒரு பொம்மை தேர்வு செய்யப்பட்டு, குறைபாடுள்ளதாகக் கண்டறியப்பட்டு, B = P(B|D) ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.
பேய்ஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி,
\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)
P(D) = குறைபாடுள்ள பொம்மை நிகழ்தகவு
= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)
= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01
= (12 + 6 + 3) × 10-3
= 21 × 10-3
இப்போது, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)
\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)
\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)
= 4/7
ஒரு பெட்டியில் சிவப்பு மற்றும் வெள்ளை என இரண்டு வண்ணங்களில் 25 பந்துகள் உள்ளன. சீரற்ற முறையில் ஒரு சிவப்பு பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac25\) ஆகும், முதல் பந்து சிவப்பு மற்றும் இரண்டாவது பந்து வெள்ளை ஆகியவற்றை மாற்றாமல் எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFவிளக்கம்:
இங்கே பந்தின் மொத்த எண்ணிக்கை 25 ஆகும்.
சிவப்பு பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = \(\frac{No. ~of~ red~ balls}{25}\) = \(\frac25\)
⇒ சிவப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை = \(\frac {25\times2}{5}\) = 10 பந்துகள்
⇒ வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 25 - 10 = 15 பந்துகள்
∴ முதல் பந்து சிவப்பு மற்றும் இரண்டாவது பந்து வெள்ளை ஆகியவற்றை மாற்றாமல் எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = \(\frac {10} {25}\) × \(\frac{15}{24}\) = \(\frac1 4\) .Probability Question 10:
ஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 2 நீலம் மற்றும் 5 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன. பையில் இருந்து ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது. எடுக்கப்பட்ட பந்து சிவப்பு இல்லை என்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 10 Detailed Solution
ஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 2 நீலம் மற்றும் 5 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன.
மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 3 + 2 + 5 = 10
சிவப்பு இல்லாத பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 10 - 5 = 5
எடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் நிகழ்தகவு சிவப்பு அல்ல = (சிவப்பு இல்லாத பந்துகளின் எண்ணிக்கை)/(மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை) = 5/10 = 1/2Probability Question 11:
ஒரு கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்து மற்றும் 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன. முதலில் எடுக்கும்போது, ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்டு அதன் நிறத்தைக் கவனிக்காமல் தூக்கி எறியப்படும். இரண்டாவதாக எடுக்கும்போது சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 11 Detailed Solution
கருத்து :
நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அளவீடு, மற்றொரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால், அது நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிப்பிடப்படுகிறது.
நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெருக்கப்படுகிறது.
நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது
\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)
\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)
E1 மற்றும் E2 ஆகியவை நிகழ்வுகளாகும்.
கணக்கீடு:
கொடுக்கப்பட்டது:
கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்துகள், 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.
ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது.
நிலை (i): முதல் பந்து சிவப்பு பந்து
இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)
நிலை (ii): முதல் பந்து கருப்பு பந்து
இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)
தேவையான நிகழ்தகவு (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)
Probability Question 12:
X ஐ சராசரி 1 மற்றும் மாறளவு கொண்ட ஈருறுப்பு சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும். X என்பது 3 இன் மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 12 Detailed Solution
கோட்பாடு:
ஈருறுப்புப் பரவல்
\(P\left( {X = r} \right) = {n_{{c_r}}}{p^r}{q^{n - r}}\)
சராசரி = np
மாறளவு = npq
திட்ட விலக்கம்\( = \sqrt {npq} \)
கணக்கீடு:
சராசரி = np = 1
மாறளவு = npq = 3/4
\( \Rightarrow p = \frac{1}{4},q = \frac{3}{4},n = 4\)
\(P\left( {X = 3} \right) = {4_{{c_3}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{4 - 3}} \)
\(P(X=3)= 4 \times \frac{1}{{64}} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{{64}}\)
Probability Question 13:
ஒரு பொம்மை தொழிற்சாலையில், A, B மற்றும் C இயந்திரங்கள் முறையே 30%, 40%, 30% வெளியீட்டை உற்பத்தி செய்கின்றன. அவற்றின் மொத்த உற்பத்தியில், 2%, 3%, 1% குறைபாடுடையவை. A பொம்மை தொழிற்சாலையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது மற்றும் குறைபாடு இருப்பது கண்டறியப்பட்டது எனில் B இயந்திரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு ____ ஆகும்.
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 13 Detailed Solution
கருத்து:
பேய்ஸ் தேற்றம்:
\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)
A மற்றும் B ஆகியவை நிகழ்வுகள் மற்றும் P(B) ஆகும்.
P(A|B) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு B உண்மையாக இருக்கும்.
P(B|A) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A உண்மையாக இருக்கும் போது B நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு.
P(A) மற்றும் P(B) முறையே A மற்றும் B ஐ கவனிக்கும் நிகழ்தகவுகள்.
கணக்கீடு:
பின்வருமாறு
A: A என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
B: B என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
C: C என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.
D: குறைபாடுள்ள பொம்மை.
கொடுக்கப்பட்டவை:
P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30
A = P(D|A) = 0.02 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
B = P(D|B) = 0.03 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
C = P(D|C) = 0.01 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு
ஒரு பொம்மை தேர்வு செய்யப்பட்டு, குறைபாடுள்ளதாகக் கண்டறியப்பட்டு, B = P(B|D) ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.
பேய்ஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி,
\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)
P(D) = குறைபாடுள்ள பொம்மை நிகழ்தகவு
= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)
= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01
= (12 + 6 + 3) × 10-3
= 21 × 10-3
இப்போது, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)
\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)
\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)
= 4/7
Probability Question 14:
ஒரு பெட்டியில் சிவப்பு மற்றும் வெள்ளை என இரண்டு வண்ணங்களில் 25 பந்துகள் உள்ளன. சீரற்ற முறையில் ஒரு சிவப்பு பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac25\) ஆகும், முதல் பந்து சிவப்பு மற்றும் இரண்டாவது பந்து வெள்ளை ஆகியவற்றை மாற்றாமல் எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 14 Detailed Solution
விளக்கம்:
இங்கே பந்தின் மொத்த எண்ணிக்கை 25 ஆகும்.
சிவப்பு பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = \(\frac{No. ~of~ red~ balls}{25}\) = \(\frac25\)
⇒ சிவப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை = \(\frac {25\times2}{5}\) = 10 பந்துகள்
⇒ வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 25 - 10 = 15 பந்துகள்
∴ முதல் பந்து சிவப்பு மற்றும் இரண்டாவது பந்து வெள்ளை ஆகியவற்றை மாற்றாமல் எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = \(\frac {10} {25}\) × \(\frac{15}{24}\) = \(\frac1 4\) .Probability Question 15:
ஒரு பகடையை இரண்டு முறை உருட்டினால், தோன்றும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை 10 ஆகும். அப்பொழுது குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 15 Detailed Solution
இங்கு பயன்படுத்தப்படும் தர்க்கம்:
இரண்டு பகடைகளின் கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றவும்:
-
கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: (x, y) என்பது
x + y = 10 x + y = 10 எனில்:சாத்தியமான விளைவுகள்:
எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகள் 3.
- (4, 6)
- (5, 5)
- (6, 4)
-
குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் சாதகமான விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் ஜோடிகள்:
எனவே, சாதகமான விளைவுகள் 1.
- (5, 5)
-
நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்: கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:
- P = சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை / மொத்த விளைவுகள் = 1 / 3
-
எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு 1/3.