Variational Principle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Variational Principle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर है \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2)\)

संकल्पना:-

भिन्नता विधि: रैखिक भिन्नता विधि का उद्देश्य किसी क्वांटम निकाय की निम्नतम अवस्था ऊर्जा का अनुमान लगाना है, जो कि परीक्षण तरंग फलन के संबंध में हैमिल्टोनियन के प्रत्याशा मान को न्यूनतम करके प्राप्त किया जाता है। यह परीक्षण तरंग फलन में मापदंडों को बदलकर प्राप्त किया जाता है।
आधार फलनों में वृद्धि: अधिक आधार फलनों के साथ, परीक्षण तरंग फलन अधिक लचीला हो जाता है और वास्तविक निम्नतम अवस्था तरंग फलन का बेहतर अनुमान लगा सकता है, जिससे ऊर्जा अनुमानों में सुधार होता है।

व्याख्या:-

1. \(\bar{E}_1(2) \leq \bar{E}_1(3) ; \bar{E}_2(2) \leq \bar{E}_2(3) \): यह विकल्प बताता है कि निम्नतम अवस्था के लिए 2 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा, निम्नतम अवस्था के लिए 3 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा से कम या उसके बराबर है, और इसी प्रकार दूसरी अवस्था के लिए भी। यह सच हो सकता है यदि आधार फलनों में वृद्धि से बेहतर अनुमान मिलते हैं, जिससे ऊर्जा कम हो जाती है।

2. \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(2) \leq \bar{E}_2(3) \): यह विकल्प 2 आधार फलनों के लिए ऊर्जा के दिए गए क्रम के विपरीत है, इसलिए यह प्रदान की गई जानकारी के अनुरूप नहीं है।

3. \(\bar{E}_1(2) \leq \bar{E}_1(3) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2) \): यह विकल्प बताता है कि निम्नतम अवस्था के लिए 2 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा, निम्नतम अवस्था के लिए 3 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा से कम या उसके बराबर है, लेकिन 3 आधार फलनों के साथ दूसरी ऊर्जा, 2 आधार फलनों के साथ दूसरी ऊर्जा से कम या उसके बराबर है। यह इस सामान्य अपेक्षा के विपरीत है कि आधार फलनों में वृद्धि से बेहतर अनुमान मिलते हैं।

4. \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2)\): यह विकल्प बताता है कि निम्नतम अवस्था के लिए 3 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा, निम्नतम अवस्था के लिए 2 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा से कम या उसके बराबर है, और इसी प्रकार दूसरी अवस्था के लिए भी। यह इस सामान्य अपेक्षा के अनुरूप है कि आधार फलनों में वृद्धि से बेहतर अनुमान मिलते हैं।

निष्कर्ष:-

इस प्रकार, \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2)\) सही संबंध है।

सही उत्तर \(-\frac{3}{8}\) है

संप्रत्यय:

सबसे पहले, हम α का मान ज्ञात करते हैं, और फिर भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा की गणना करते हैं।

व्याख्या:

\(E(α ) =\frac{ α ^2 -3 α}{6}\)

भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा के लिए

\(\frac{\delta E}{\delta α} =0\)

\(\frac{\delta E}{\delta α} = \frac{1}{6}[2α -3] = 0\)

α = 3/2

भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा

\(E(3/2) =\frac{ (3/2) ^2 -3 (3/2)}{6} = -\frac{3}{8}\)

निष्कर्ष:

भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा -3/8 निकलती है।

व्याख्या:-

\(\left|\begin{array}{ll} H_{11}-E S_{11} & H_{12}-E S_{12} \\ H_{21}-E S_{21} & H_{22}-E S_{22} \end{array}\right|=0\)

\(\left|\begin{array}{cc} 0-E & 2.5 \\ 2.5 & 12-E \end{array}\right|=0\)

-E(12 - E) - 6.25 = 0

-12E + E² - 6.25 = 0

E² - 12E - 6.25 = 0

इस समीकरण का मूल E = -0.50 है

∴ E = -0.50

निष्कर्ष:-

सही विकल्प (b) है

संकल्पना:-

यह क्वांटम सिद्धांत में अपेक्षाकृत कठिन निकायों के ऊर्जा स्तरों को मापने के लिए एक विचरणीय विधि शामिल है।

विचरणीय विधि अच्छी तरह से समझाती है कि यदि परीक्षण तरंग फलन को ध्यान में रखा जाता है तो परिकलित ऊर्जा वास्तविक ऊर्जा से अधिक होती है।\(energy\: of\: trial\: wave\: function \geqslant exact\: energy\)

परीक्षण तरंग फलन:

यह सतत है और एक तरंग फलन की विशेषताओं जैसे आकार और सीमा शर्तों को अवश्य रखता है।

इसके अलावा, इसे एकल परीक्षण तरंग कार्यों के रैखिक संयोजनों के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या:-

आयतीय आधार फलन अन-अपभ्रष्ट होते हैं और उनके क्रमिक ऊर्जा स्तर भी तरंग फलन होते हैं।

\(\epsilon _0 < \epsilon_1\) दिया गया है, जहाँ \(\epsilon _0\) =निम्न ऊर्जा फलन, \(\epsilon_1\)=उच्च ऊर्जा तरंग फलन

इसलिए,\(\epsilon_0 \geqslant E_0\)

\(\epsilon_1 \geqslant E_1\)

निष्कर्ष:-

दो आयतीय आधार कार्यों का उपयोग करते हुए रैखिक परिवर्तन विधि में, प्राप्त दो मूल ϵ0 और ϵ1(ϵ0 < ϵ1) हैं। क्रमशः सही भूतल और पहली उत्तेजित अवस्था ऊर्जाओं, E0 और E1, के साथ इनका सही संबंध \(\epsilon_0 \geqslant E_0\) , \(\epsilon_1 \geqslant E_1\) है।

इसलिए विकल्प 4 सही है।

संप्रत्यय:-

यह क्वांटम सिद्धांत में अपेक्षाकृत कठिन निकायों के ऊर्जा स्तरों को मापने के लिए एक विचरणीय विधि शामिल है।

विचरणीय विधि अच्छी तरह से समझाती है कि यदि परीक्षण तरंग फलन को ध्यान में रखा जाता है तो परिकलित ऊर्जा वास्तविक ऊर्जा से अधिक होती है।\(ऊर्जा\: परीक्षण\: तरंग\: फलन \geqslant सही\: ऊर्जा\)

परीक्षण तरंग फलन:

यह सतत है और एक तरंग फलन की विशेषताओं जैसे आकार और सीमा शर्तों को अवश्य रखता है।

इसके अलावा, इसे एकल परीक्षण तरंग कार्यों के रैखिक संयोजनों के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या:-

ऑर्थोगोनल आधार फलन अन-अपभ्रष्ट होते हैं और उनके क्रमिक ऊर्जा स्तर भी तरंग फलन होते हैं।

\(\epsilon _0 < \epsilon_1\) दिया गया है, जहाँ \(\epsilon _0\) =निम्न ऊर्जा फलन, \(\epsilon_1\)=उच्च ऊर्जा तरंग फलन

इसलिए,\(\epsilon_0 \geqslant E_0\)

\(\epsilon_1 \geqslant E_1\)

निष्कर्ष:-

दो ऑर्थोगोनल आधार कार्यों का उपयोग करते हुए रैखिक परिवर्तन विधि में, प्राप्त दो मूल ϵ0 और ϵ1(ϵ0 < ϵ1) हैं। क्रमशः सही भूतल और पहली उत्तेजित अवस्था ऊर्जाओं, E0 और E1, के साथ इनका सही संबंध \(\epsilon_0 \geqslant E_0\) , \(\epsilon_1 \geqslant E_1\) है।

इसलिए विकल्प 4 सही है।

सही उत्तर \(-\frac{3}{8}\) है

संप्रत्यय:

सबसे पहले, हम α का मान ज्ञात करते हैं, और फिर भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा की गणना करते हैं।

व्याख्या:

\(E(α ) =\frac{ α ^2 -3 α}{6}\)

भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा के लिए

\(\frac{\delta E}{\delta α} =0\)

\(\frac{\delta E}{\delta α} = \frac{1}{6}[2α -3] = 0\)

α = 3/2

भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा

\(E(3/2) =\frac{ (3/2) ^2 -3 (3/2)}{6} = -\frac{3}{8}\)

निष्कर्ष:

भिन्नतात्मक रूप से अनुकूलित ऊर्जा -3/8 निकलती है।

संप्रत्यय:-

यह क्वांटम सिद्धांत में अपेक्षाकृत कठिन निकायों के ऊर्जा स्तरों को मापने के लिए एक विचरणीय विधि शामिल है।

विचरणीय विधि अच्छी तरह से समझाती है कि यदि परीक्षण तरंग फलन को ध्यान में रखा जाता है तो परिकलित ऊर्जा वास्तविक ऊर्जा से अधिक होती है।\(ऊर्जा\: परीक्षण\: तरंग\: फलन \geqslant सही\: ऊर्जा\)

परीक्षण तरंग फलन:

यह सतत है और एक तरंग फलन की विशेषताओं जैसे आकार और सीमा शर्तों को अवश्य रखता है।

इसके अलावा, इसे एकल परीक्षण तरंग कार्यों के रैखिक संयोजनों के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या:-

ऑर्थोगोनल आधार फलन अन-अपभ्रष्ट होते हैं और उनके क्रमिक ऊर्जा स्तर भी तरंग फलन होते हैं।

\(\epsilon _0 < \epsilon_1\) दिया गया है, जहाँ \(\epsilon _0\) =निम्न ऊर्जा फलन, \(\epsilon_1\)=उच्च ऊर्जा तरंग फलन

इसलिए,\(\epsilon_0 \geqslant E_0\)

\(\epsilon_1 \geqslant E_1\)

निष्कर्ष:-

दो ऑर्थोगोनल आधार कार्यों का उपयोग करते हुए रैखिक परिवर्तन विधि में, प्राप्त दो मूल ϵ0 और ϵ1(ϵ0 < ϵ1) हैं। क्रमशः सही भूतल और पहली उत्तेजित अवस्था ऊर्जाओं, E0 और E1, के साथ इनका सही संबंध \(\epsilon_0 \geqslant E_0\) , \(\epsilon_1 \geqslant E_1\) है।

इसलिए विकल्प 4 सही है।

सही उत्तर है \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2)\)

संकल्पना:-

भिन्नता विधि: रैखिक भिन्नता विधि का उद्देश्य किसी क्वांटम निकाय की निम्नतम अवस्था ऊर्जा का अनुमान लगाना है, जो कि परीक्षण तरंग फलन के संबंध में हैमिल्टोनियन के प्रत्याशा मान को न्यूनतम करके प्राप्त किया जाता है। यह परीक्षण तरंग फलन में मापदंडों को बदलकर प्राप्त किया जाता है।
आधार फलनों में वृद्धि: अधिक आधार फलनों के साथ, परीक्षण तरंग फलन अधिक लचीला हो जाता है और वास्तविक निम्नतम अवस्था तरंग फलन का बेहतर अनुमान लगा सकता है, जिससे ऊर्जा अनुमानों में सुधार होता है।

व्याख्या:-

1. \(\bar{E}_1(2) \leq \bar{E}_1(3) ; \bar{E}_2(2) \leq \bar{E}_2(3) \): यह विकल्प बताता है कि निम्नतम अवस्था के लिए 2 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा, निम्नतम अवस्था के लिए 3 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा से कम या उसके बराबर है, और इसी प्रकार दूसरी अवस्था के लिए भी। यह सच हो सकता है यदि आधार फलनों में वृद्धि से बेहतर अनुमान मिलते हैं, जिससे ऊर्जा कम हो जाती है।

2. \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(2) \leq \bar{E}_2(3) \): यह विकल्प 2 आधार फलनों के लिए ऊर्जा के दिए गए क्रम के विपरीत है, इसलिए यह प्रदान की गई जानकारी के अनुरूप नहीं है।

3. \(\bar{E}_1(2) \leq \bar{E}_1(3) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2) \): यह विकल्प बताता है कि निम्नतम अवस्था के लिए 2 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा, निम्नतम अवस्था के लिए 3 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा से कम या उसके बराबर है, लेकिन 3 आधार फलनों के साथ दूसरी ऊर्जा, 2 आधार फलनों के साथ दूसरी ऊर्जा से कम या उसके बराबर है। यह इस सामान्य अपेक्षा के विपरीत है कि आधार फलनों में वृद्धि से बेहतर अनुमान मिलते हैं।

4. \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2)\): यह विकल्प बताता है कि निम्नतम अवस्था के लिए 3 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा, निम्नतम अवस्था के लिए 2 आधार फलनों से प्राप्त ऊर्जा से कम या उसके बराबर है, और इसी प्रकार दूसरी अवस्था के लिए भी। यह इस सामान्य अपेक्षा के अनुरूप है कि आधार फलनों में वृद्धि से बेहतर अनुमान मिलते हैं।

निष्कर्ष:-

इस प्रकार, \(\bar{E}_1(3) \leq \bar{E}_1(2) ; \bar{E}_2(3) \leq \bar{E}_2(2)\) सही संबंध है।

व्याख्या:-

\(\left|\begin{array}{ll} H_{11}-E S_{11} & H_{12}-E S_{12} \\ H_{21}-E S_{21} & H_{22}-E S_{22} \end{array}\right|=0\)

\(\left|\begin{array}{cc} 0-E & 2.5 \\ 2.5 & 12-E \end{array}\right|=0\)

-E(12 - E) - 6.25 = 0

-12E + E² - 6.25 = 0

E² - 12E - 6.25 = 0

इस समीकरण का मूल E = -0.50 है

∴ E = -0.50

निष्कर्ष:-

सही विकल्प (b) है