Perturbation Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Perturbation Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

प्रथम-क्रम क्षोभ सिद्धांत

• ऊर्जा में प्रथम-क्रम क्षोभ सुधार सूत्र द्वारा दिया गया है:

  E₁' = <ψ₀|V|ψ₀>

• L लंबाई के एक-आयामी बॉक्स में एक कण के लिए, मूल अवस्था तरंग फलन है:

  ψ₀(x) = √(2/L) sin(πx/L)

• दिए गए क्षोभकारी विभव के लिए:
  •  0 ≤ x ≤ L/2 के लिए V = V
  •  L/2 ≤ x ≤ L के लिए V = V/3
• प्रथम-क्रम ऊर्जा सुधार उन क्षेत्रों पर तरंग फलन को समाकलित करके प्राप्त किया जाता है जहाँ विभव भिन्न होता है:
  • प्रथम क्षेत्र (0 ≤ x ≤ L/2) विभव V के साथ
  • द्वितीय क्षेत्र (L/2 ≤ x ≤ L) विभव V/3 के साथ

व्याख्या:

• प्रथम-क्रम सुधार में दो विभव क्षेत्रों के लिए कुल समाकल को दो भागों में विभाजित करना शामिल है:
  • विभव V के लिए 0 से L/2 तक समाकल
  • विभव V/3 के लिए L/2 से L तक समाकल
• समाकलन करने के बाद, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:
  • प्रथम क्षेत्र से योगदान: ½ V
  • द्वितीय क्षेत्र से योगदान: ⅙ V
• इसलिए, कुल प्रथम-क्रम ऊर्जा सुधार है:

  E₁' = (VxL/2 + V/3 xL/2) / L = V/2 + V/6 = 4V/6 = 2V/3

इसलिए, सही उत्तर 2V/3 है।

अवधारणा:

प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन, विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके

• विक्षोभ सिद्धांत एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग क्वांटम निकाय के ऊर्जा स्तरों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जब हैमिल्टोनियन में एक छोटा विक्षोभकारी विभव जोड़ा जाता है।
• 1D बॉक्स में एक कण के लिए, बिना विक्षोभित निम्नतम ऊर्जा स्तर की ऊर्जा और तरंग फलन अच्छी तरह से ज्ञात हैं, और हम विक्षोभ के कारण ऊर्जा परिवर्तन ज्ञात करने के लिए प्रथम-कोटि संशोधन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
• विक्षोभ (\( \lambda x\) ) के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम-कोटि संशोधन, निम्नतम ऊर्जा स्तर के तरंग फलन में विक्षोभ के प्रत्याशा मान द्वारा दिया जाता है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \langle \psi_0 | \lambda x | \psi_0 \rangle \)

गणना:

• विक्षोभ पद \( \Delta H = \lambda x \) है।
• ऊर्जा में प्रथम-कोटि संशोधन इस प्रकार दिया गया है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \int_0^L \psi_0(x) \, \lambda x \, \psi_0(x) \, dx \)
• L लंबाई के एक बॉक्स में एक कण के लिए, निम्नतम ऊर्जा स्तर का तरंग फलन है:
  • \( \psi_0(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \)
• निम्नतम ऊर्जा स्तर के तरंग फलन को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \lambda \int_0^L \frac{2}{L} x \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \, dx \)
• समाकल का मूल्यांकन करने पर, हम पाते हैं कि यह सरल हो जाता है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \lambda \frac{L}{2} \)

निष्कर्ष:

• विक्षोभ \( \lambda x \) के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम-कोटि संशोधन है:
  • विकल्प (1): \( \frac{\lambda L}{2} \)

अवधारणा:

क्वांटम यांत्रिकी में, किसी निकाय की मूल अवस्था ऊर्जा में द्वितीय-क्रम विक्षोभ सुधार इस प्रकार दिया जाता है: \(E_0^{(2)} = \sum_{n \neq 0} \frac{|V_{0n}|^2}{E_0 - E_n} \)

जहाँ:

• \(E_0^{(2)} \) मूल अवस्था ऊर्जा में द्वितीय-क्रम सुधार है।

• V0n मूल अवस्था और उच्च अवस्थाओं के बीच विक्षोभ के आव्यूह अवयव हैं।

• E0 और En क्रमशः मूल अवस्था और उच्च अवस्थाओं की अप्रभावित ऊर्जाएँ हैं।

व्याख्या:

मूल अवस्था ऊर्जा में द्वितीय-क्रम सुधार के लिए, हम प्रत्येक उत्तेजित अवस्था से योगदान की गणना करते हैं:

• \(E_0^{(2)} = \frac{|V_{10}|^2}{E_0 - E_1} + \frac{|V_{20}|^2}{E_0 - E_2} \)

• चरण 1: अप्रभावित ऊर्जाओं की पहचान करें:

  • \( E_0 = 0 \, \text{eV}, \quad E_1 = 8 \, \text{eV}, \quad E_2 = 12 \, \text{eV} \)

• चरण 2: विक्षोभ के आव्यूह अवयव (V0n) इस प्रकार दिए गए हैं:

  • \( V_{10} = 6 \, \text{eV}, \quad V_{20} = 8 \, \text{eV}, \quad V_{12} = 14 \, \text{eV} \)

• चरण 3: द्वितीय-क्रम सुधार सूत्र लागू करें:

• चरण 4: योगदानों की गणना करें:

  • पहले पद के लिए: \(\frac{|V_{10}|^2}{E_0 - E_1} = \frac{6^2}{0 - 8} = \frac{36}{-8} = -4.5 \, \text{eV}\)

  • दूसरे पद के लिए: \( \frac{|V_{20}|^2}{E_0 - E_2} = \frac{8^2}{0 - 12} = \frac{64}{-12} = -5.33 \, \text{eV}\)

• चरण 5: योगदानों को जोड़ें:

  • \(E_0^{(2)} = -4.5 \, \text{eV} + (-5.33 \, \text{eV}) = -9.83 \, \text{eV}\)

निष्कर्ष:

मूल अवस्था ऊर्जा में द्वितीय-क्रम सुधार -9.83 eV है।

अवधारणा:

क्वांटम यांत्रिकी में, 1D बॉक्स में विक्षोभ के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम कोटि का संशोधन विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके गणना किया जा सकता है। प्रथम कोटि ऊर्जा संशोधन (E⁽¹⁾) अबाधित निम्नतम ऊर्जा स्तर तरंग फलन के संबंध में विक्षोभ क्षमता (V(x)) के प्रत्याशा मान द्वारा दिया जाता है।

प्रथम कोटि संशोधन सूत्र: ऊर्जा में प्रथम कोटि का संशोधन इस प्रकार गणना किया जाता है:

\(E^{(1)} = \int \psi_0^*(x) V(x) \psi_0(x) \, dx ,\ where\ \psi_0(x) \) निम्नतम ऊर्जा स्तर तरंग फलन है और ( V(x) ) विक्षोभ क्षमता है।

व्याख्या:

E(1) = ∫0L/2 2⁄L V1 sin²(πx/L) dx
      + ∫L/2L 2⁄L V1⁄2 sin²(πx/L) dx

∫ sin²(ax) dx = x⁄2 - sin(2ax)⁄4a

∫0L/2 sin²(πx/L) dx = L/4
∫L/2L sin²(πx/L) dx = L/4

For 0 ≤ x ≤ L/2:
(2/L) V1 × L/4 = V1/2

For L/2 ≤ x ≤ L:
(2/L) × (V1/2) × L/4 = V1/4

• Substituting ψ0(x) = 2⁄L sin(πx/L):
• Using the standard integral result:
• Applying for a = π/L:
• Computing the energy correction:

E(1) = V1/2 + V1/4 = 3V1⁄4

निष्कर्ष:

विक्षोभ के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम कोटि का संशोधन है: \( \frac{3V_1}{4} \)

संकल्पना:

विक्षोभ सिद्धांत में, एक छोटे विक्षोभ के कारण किसी निकाय की ऊर्जा में प्रथम-कोटि संशोधन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहाँ:

• \(\psi_n^0 \) अविक्षुब्ध अवस्था n के लिए निकाय का तरंग फलन है।
• H' विक्षोभ हैमिल्टोनियन है।
• \(E_n^{(1)} \) प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन है।

प्रथम-कोटि संशोधन अविक्षुब्ध अवस्था में विक्षोभ हैमिल्टोनियन के प्रत्याशा मान पर निर्भर करता है। एक दृढ़ घूर्णक के लिए, तरंग फलन गोलीय संनादी (\(Y_l^m(\theta, \phi) \)) होते हैं, और समाकलन की गणना इन तरंग फलनों का उपयोग करके की जाती है।

व्याख्या:

• विक्षोभ हैमिल्टोनियन:

  • \(H' = V_0 \left(3 \cos^2 \phi - 1 \right) \)

• मूल अवस्था में प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

  • \( E_0^{(1)} = \langle Y_0^0 | H' | Y_0^0 \rangle \)

• एक दृढ़ घूर्णक की मूल अवस्था के लिए, तरंग फलन (\(Y_0^0 = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\)) है। इस प्रकार, समाकलन बन जाता है:

  • ​\( E_0^{(1)} = V_0 \langle Y_0^0 | 3 \cos^2 \phi - 1 | Y_0^0 \rangle \)

• चूँकि (\( Y_0^0 \)) (\( \phi\)) से स्वतंत्र है, कोणीय समाकलन देता है:

  • \(E_0^{(1)} = V_0 \times \frac{1}{2}\)

• इस प्रकार, प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन है:

  • \( E_0^{(1)} = \frac{1}{2} V_0 \)

निष्कर्ष:

इस विक्षोभ की उपस्थिति में दृढ़ घूर्णक के लिए प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन (\(\frac{1}{2} V_0 \)) है, जो विकल्प 3 से मेल खाता है।

अवधारणा:-

क्षोभ सिद्धांत:

• क्षोभ सिद्धांत किसी भी निकाय के सटीक हल को अत्यधिक सटीकता के साथ ज्ञात करने की एक क्षोभ विधि है।
• किसी विशेष ऊर्जा स्तर में ऊर्जा संशोधन को तोड़ने के लिए, हमें एक विशिष्ट क्रम में संचालक को विक्षुब्ध करना होगा।
• ऊर्जा संशोधन दिया गया है,

\(\Delta E = \int {{\Psi ^ * }_ \circ {H^I}} {\Psi _ \circ }d\tau \)

प्रथम क्रम तक विक्षुब्ध ऊर्जा स्तर दिए गए हैं,

​\(E = {E^{\left( 0 \right)}} + {E^{\left( I \right)}}\)

व्याख्या:-

हाइड्रोजन परमाणु के लिए जो एक विक्षोभ के संपर्क में है

V= E.z

कक्षक जो तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन में योगदान देगा,

​\(E_1^1 = \int {\Psi *\hat H\Psi d\tau } \ne 0\)

2s, 3p_y और 3dz2 कक्षकों के लिए तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन होगा

​\({\rm{E}}_{\rm{1}}^{\rm{1}}{\rm{ = }}\left\langle {{{\rm{\Psi }}_{{\rm{2s}}}}{\rm{|V|}}{{\rm{\Psi }}_{{\rm{2s}}}}} \right\rangle {\rm{ = 0}}\),

\({\rm{E}}_{\rm{1}}^{\rm{1}}{\rm{ = }}\left\langle {{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3}}{{\rm{p}}_{\rm{y}}}}}{\rm{|V|}}{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3}}{{\rm{p}}_{\rm{y}}}}}} \right\rangle {\rm{ = 0}} \), और

\({\rm{E}}_{\rm{1}}^{\rm{1}}{\rm{ = }}\left\langle {{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3d}}_{\rm{z}}^{\rm{2}}}}{\rm{|V|}}{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3d}}_{\rm{z}}^{\rm{2}}}}} \right\rangle {\rm{ = 0}} \)

जबकि 2p_z कक्षक के लिए, तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन होगा

​\(E_1^1 = \left\langle {{\Psi _{2{p_z}}}|V|{\Psi _{2{p_z}}}} \right\rangle \ne 0\)​

चूँकि तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन का मान 2pz कक्षक के लिए शून्येतर है, यह प्रथम-क्रम संशोधन में योगदान देगा।

निष्कर्ष:-

इसलिए, तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन केवल 2pz कक्षक से आता है।

अवधारणा:

क्वांटम यांत्रिकी में, किसी तंत्र की मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय कोटि विक्षोभ सुधार इस प्रकार दिया जाता है:

\(E_0^{(2)} = \sum_{n \neq 0} \frac{|V_{0n}|^2}{E_0 - E_n}\)

जहां:

• \(E_0^{(2)} \) मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय क्रम सुधार है।

• V_0n मूल अवस्था और उच्च अवस्थाओं के बीच विक्षोभ के आव्यूह तत्व हैं।

• E₀ और E_n क्रमशः मूल अवस्था और उच्च अवस्थाओं की विक्षोभ ऊर्जाएँ हैं।

व्याख्या:

मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय कोटि सुधार के लिए, हम प्रत्येक उत्तेजित अवस्था से योगदान की गणना करते हैं:

\(E_0^{(2)} = \frac{|V_{10}|^2}{E_0 - E_1} + \frac{|V_{20}|^2}{E_0 - E_2}\)

• चरण 1: विक्षोभ ऊर्जाओं की पहचान करें:

  • \( E_0 = 2 \, \text{eV}, \quad E_1 = 4 \, \text{eV}, \quad E_2 = 6 \, \text{eV} \)

• चरण 2: विक्षोभ के आव्यूह तत्व (V_0n) इस प्रकार दिए गए हैं:

  • \( V_{10} = 4 \, \text{eV}, \quad V_{20} = 6 \, \text{eV}, \quad V_{12} = 10 \, \text{eV}\)

• चरण 3: द्वितीय कोटि सुधार सूत्र लागू करें:

• चरण 4: योगदानों की गणना करें:

  • पहले पद के लिए: \(\frac{|V_{10}|^2}{E_0 - E_1} = \frac{4^2}{2 - 4} = \frac{16}{-2} = -8 \, \text{eV}\)

  • दूसरे पद के लिए: \( \frac{|V_{20}|^2}{E_0 - E_2} = \frac{6^2}{2 - 6} = \frac{36}{-4} = -9 \, \text{eV}\)

• चरण 5: योगदानों को जोड़ें:

  • \(E_0^{(2)} = -8 \, \text{eV} + (-9 \, \text{eV}) = -17 \, \text{eV}\)

निष्कर्ष:

मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय कोटि सुधार -17 eV है।

संकल्पना:

• व्युत्क्रम सिद्धांत किसी भी निकाय के सटीक हल को अत्यधिक सटीकता के साथ ज्ञात करने की एक सन्निकटन विधि है।
• किसी विशेष ऊर्जा स्तर में ऊर्जा संशोधन को तोड़ने के लिए, हमें एक विशिष्ट क्रम में संचालक को विक्षुब्ध करना होगा।
• ऊर्जा संशोधन दिया गया है,

\(\Delta E = \int {{\Psi ^ * }_ \circ {H^I}} {\Psi _ \circ }d\tau \)

• प्रथम क्रम तक विक्षुब्ध ऊर्जा स्तर दिए गए हैं,

​\(E = {E^{\left( 0 \right)}} + {E^{\left( I \right)}}\)

• एक वलय में कण के लिए, आधार अवस्था क्वांटित ऊर्जा मान हैं,

\({E^{\left( 0 \right)}} = {{{m_l}^2{\hbar ^2}} \over {2l}}\), जहाँ ml चुंबकीय क्वांटम संख्या है।

व्याख्या:

• एक वलय में कण के लिए जो एक लगाए गए विद्युत क्षेत्र (E) के साथ परस्पर क्रिया करके विक्षुब्ध होता है, विक्षोभ है

\({H^I} = \mu E\cos \phi \)

• एक वलय में कण के लिए, तरंग फलन दिया गया है,

​ \(\Psi = N{e^{in\phi }}\)

• प्रथम-कोटि विक्षुब्ध ऊर्जा (\({E^{\left( I \right)}}\)) दी गई है,

\({E^{\left( I \right)}} = \int_0^{2\pi } {{\Psi _ \circ }\left( {\mu E\cos \phi } \right){\Psi _ \circ }d\phi } \)

\( = \int_0^{2\pi } {N{e^{in\phi }}\left( {\mu E\cos \phi } \right)N{e^{ - in\phi }}d\varphi } \)

\( = {N^2}\mu E\int_0^{2\pi } {{e^{in\phi - in\phi }}\cos \phi d\phi } \)

\( = {N^2}\mu E\int_0^{2\pi } {\cos \phi d\phi } \)

\( = {N^2}\mu E[\sin 2\pi - \sin 0]\)

=0

निष्कर्ष:

• इसलिए, ऊर्जा स्तर प्रथम कोटि तक सही हैं,

\(E = {E^{\left( 0 \right)}} + {E^{\left( I \right)}}\)

\( = {{{m_l}^2{\hbar ^2}} \over {2l}} + 0\)​

\( = {{{m_l}^2{\hbar ^2}} \over {2l}}\)

संकल्पना:

क्वांटम यांत्रिकी में, विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग किसी ऐसी समस्या का सन्निकट हल ज्ञात करने के लिए किया जाता है जिसे ठीक से हल नहीं किया जा सकता है। प्रणाली के कुल हैमिल्टोनियन को एक हल करने योग्य हैमिल्टोनियन से एक छोटा विचलन (विक्षोभ) माना जाता है। ऊर्जा में प्रथम कोटि का संशोधन निम्नलिखित सूत्र को लागू करके निर्धारित किया जाता है:

प्रथम कोटि ऊर्जा संशोधन:

विक्षोभ (\( \hat{H}^{(1)} \)) के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम कोटि का संशोधन, (\( E_0^{(1)} \)), निम्न द्वारा दिया गया है:

\( E_0^{(1)} = \int_0^L \psi_1^*(x) \hat{H}^{(1)} \psi_1(x) dx\)

जहाँ (\( \psi_1(x) \)) निम्नतम ऊर्जा स्तर का अपरिवर्तित तरंग फलन है।

• विक्षोभ हैमिल्टोनियन: विक्षोभ हैमिल्टोनियन ( \(\hat{H}^{(1)} \)) आम तौर पर प्रणाली के विभव में एक छोटा सा संयोजन होता है। दी गई समस्या के लिए, यह है:

  • ​\( \hat{H}^{(1)} = -\epsilon \sin(\frac{\pi x}{L}) \)

व्याख्या:

ऊर्जा में प्रथम कोटि का संशोधन:

\(E_0^{(1)} = \int_0^L \psi_1(x) \hat{H}^{(1)} \psi_1(x) dx = \int_0^L \psi_1^2(x) (-\epsilon \sin(\frac{\pi x}{L})) dx \)

एक बॉक्स में एक कण के लिए निम्नतम ऊर्जा स्तर का तरंग फलन है:

\(\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{\pi x}{L}) \)

इसे प्रथम कोटि संशोधन के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

\(E_0^{(1)} = \int_0^L \left( \frac{2}{L} \sin^2(\frac{\pi x}{L}) \right) \left( -\epsilon \sin(\frac{\pi x}{L}) \right) dx\\ E_0^{(1)} = -\frac{2\epsilon}{L} \int_0^L \sin^3(\frac{\pi x}{L}) dx \)

समाकलन (\( \int_0^L \sin^3(\frac{\pi x}{L}) dx\) ) को हल करना। यह साइन की घातों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके किया जा सकता है:

\( \sin^3(\theta) = \frac{3\sin(\theta) - \sin(3\theta)}{4} \)

इस सर्वसमिका का उपयोग करके, हमारे पास है:

\(E_0^{(1)} = -\frac{2\epsilon}{L} \int_0^L \frac{3\sin(\frac{\pi x}{L}) - \sin(\frac{3\pi x}{L})}{4} dx \)

हल करने पर:

\( \int_0^L \sin^3(\frac{\pi x}{L}) dx = \frac{4L}{3\pi}\)

इसलिए, प्रथम कोटि ऊर्जा संशोधन है:

\(E_0^{(1)} = -\frac{2\epsilon}{L} \cdot \frac{4L}{3\pi} = -\frac{8\epsilon}{3\pi}\)

निष्कर्ष:

प्रथम कोटि विक्षोभ सिद्धांत से प्राप्त, सही उत्तर विकल्प 3: (\(-\frac{8\epsilon}{3\pi}\)) है।

अवधारणा:

क्वांटम यांत्रिकी में, 1D बॉक्स में विक्षोभ के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम कोटि का संशोधन विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके गणना किया जा सकता है। प्रथम कोटि ऊर्जा संशोधन (E⁽¹⁾) अबाधित निम्नतम ऊर्जा स्तर तरंग फलन के संबंध में विक्षोभ क्षमता (V(x)) के प्रत्याशा मान द्वारा दिया जाता है।

प्रथम कोटि संशोधन सूत्र: ऊर्जा में प्रथम कोटि का संशोधन इस प्रकार गणना किया जाता है:

\(E^{(1)} = \int \psi_0^*(x) V(x) \psi_0(x) \, dx ,\ where\ \psi_0(x) \) निम्नतम ऊर्जा स्तर तरंग फलन है और ( V(x) ) विक्षोभ क्षमता है।

व्याख्या:

E(1) = ∫0L/2 2⁄L V1 sin²(πx/L) dx
      + ∫L/2L 2⁄L V1⁄2 sin²(πx/L) dx

∫ sin²(ax) dx = x⁄2 - sin(2ax)⁄4a

∫0L/2 sin²(πx/L) dx = L/4
∫L/2L sin²(πx/L) dx = L/4

For 0 ≤ x ≤ L/2:
(2/L) V1 × L/4 = V1/2

For L/2 ≤ x ≤ L:
(2/L) × (V1/2) × L/4 = V1/4

• Substituting ψ0(x) = 2⁄L sin(πx/L):
• Using the standard integral result:
• Applying for a = π/L:
• Computing the energy correction:

E(1) = V1/2 + V1/4 = 3V1⁄4

निष्कर्ष:

विक्षोभ के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम कोटि का संशोधन है: \( \frac{3V_1}{4} \)

संकल्पना:

विक्षोभ सिद्धांत में, एक छोटे विक्षोभ के कारण किसी निकाय की ऊर्जा में प्रथम-कोटि संशोधन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहाँ:

• \(\psi_n^0 \) अविक्षुब्ध अवस्था n के लिए निकाय का तरंग फलन है।
• H' विक्षोभ हैमिल्टोनियन है।
• \(E_n^{(1)} \) प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन है।

प्रथम-कोटि संशोधन अविक्षुब्ध अवस्था में विक्षोभ हैमिल्टोनियन के प्रत्याशा मान पर निर्भर करता है। एक दृढ़ घूर्णक के लिए, तरंग फलन गोलीय संनादी (\(Y_l^m(\theta, \phi) \)) होते हैं, और समाकलन की गणना इन तरंग फलनों का उपयोग करके की जाती है।

व्याख्या:

• विक्षोभ हैमिल्टोनियन:

  • \(H' = V_0 \left(3 \cos^2 \phi - 1 \right) \)

• मूल अवस्था में प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

  • \( E_0^{(1)} = \langle Y_0^0 | H' | Y_0^0 \rangle \)

• एक दृढ़ घूर्णक की मूल अवस्था के लिए, तरंग फलन (\(Y_0^0 = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\)) है। इस प्रकार, समाकलन बन जाता है:

  • ​\( E_0^{(1)} = V_0 \langle Y_0^0 | 3 \cos^2 \phi - 1 | Y_0^0 \rangle \)

• चूँकि (\( Y_0^0 \)) (\( \phi\)) से स्वतंत्र है, कोणीय समाकलन देता है:

  • \(E_0^{(1)} = V_0 \times \frac{1}{2}\)

• इस प्रकार, प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन है:

  • \( E_0^{(1)} = \frac{1}{2} V_0 \)

निष्कर्ष:

इस विक्षोभ की उपस्थिति में दृढ़ घूर्णक के लिए प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन (\(\frac{1}{2} V_0 \)) है, जो विकल्प 3 से मेल खाता है।

संकल्पना:-

विक्षोभ सिद्धांत:

• विक्षोभ सिद्धांत किसी भी प्रणाली के सटीक हल को अत्यधिक सटीकता के साथ ज्ञात करने के लिए एक सन्निकर्ष विधि है।
• किसी विशेष ऊर्जा स्तर में ऊर्जा सुधार को तोड़ने के लिए, हमें एक विशिष्ट क्रम में प्रचालक को बाधित करना होगा।
• ऊर्जा सुधार इस प्रकार दिया गया है,

\(\Delta E = \int {{\Psi ^ * }_ \circ {H^I}} {\Psi _ \circ }d\tau \)

प्रथम कोटि तक विक्षुब्ध ऊर्जा स्तर इस प्रकार दिए गए हैं,

​\(E = {E^{\left( 0 \right)}} + {E^{\left( I \right)}}\)

व्याख्या:-

• एक दृढ़ घूर्णक के लिए तरंग फलन (\(\Phi\)) है

\(\Phi _{m}(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\phi}\)

m का संभावित मान हो सकता है

\(m=0,\pm 1,\pm 2...\)

और \(\phi\) की सीमा 0 से 2\(\pi\) तक हो सकती है

• आद्य अवस्था (m=0) पर तरंग फलन (\(\Phi\)) के लिए होगा

\(\Phi _{0}(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i0\phi}\)

\(\Phi _{0}(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0}\)

\(\Phi _{0}(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)

• विक्षोभ इस प्रकार दिया गया है,

Ĥ' = V0(3 cos2ϕ - 1),

जहां a एक स्थिरांक है, अनंत वर्ग कूप क्षमता में जोड़ा जाता है जहां,

• आद्य अवस्था के लिए प्रथम-कोटि ऊर्जा सुधार की गणना इस प्रकार की जा सकती है,

\(E_1^1 = \int_{0}^{2\pi} {\Phi *\hat H\Phi d\phi }\)

\(= \int_{0}^{2\phi}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}V_o(3cos^2\phi-1)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}d\phi\)

\(= \frac{V_0}{2\phi}\int_{0}^{2\phi}(3cos^2\phi-1)d\phi\)

​= \(\frac{V_o}{2\pi}\)

निष्कर्ष:-

इसलिए, आद्य अवस्था के लिए प्रथम कोटि ऊर्जा सुधार \(\frac{V_o}{2\pi}\) है

अवधारणा:-

क्षोभ सिद्धांत:

• क्षोभ सिद्धांत किसी भी निकाय के सटीक हल को अत्यधिक सटीकता के साथ ज्ञात करने की एक क्षोभ विधि है।
• किसी विशेष ऊर्जा स्तर में ऊर्जा संशोधन को तोड़ने के लिए, हमें एक विशिष्ट क्रम में संचालक को विक्षुब्ध करना होगा।
• ऊर्जा संशोधन दिया गया है,

\(\Delta E = \int {{\Psi ^ * }_ \circ {H^I}} {\Psi _ \circ }d\tau \)

प्रथम क्रम तक विक्षुब्ध ऊर्जा स्तर दिए गए हैं,

​\(E = {E^{\left( 0 \right)}} + {E^{\left( I \right)}}\)

व्याख्या:-

हाइड्रोजन परमाणु के लिए जो एक विक्षोभ के संपर्क में है

V= E.z

कक्षक जो तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन में योगदान देगा,

​\(E_1^1 = \int {\Psi *\hat H\Psi d\tau } \ne 0\)

2s, 3p_y और 3dz2 कक्षकों के लिए तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन होगा

​\({\rm{E}}_{\rm{1}}^{\rm{1}}{\rm{ = }}\left\langle {{{\rm{\Psi }}_{{\rm{2s}}}}{\rm{|V|}}{{\rm{\Psi }}_{{\rm{2s}}}}} \right\rangle {\rm{ = 0}}\),

\({\rm{E}}_{\rm{1}}^{\rm{1}}{\rm{ = }}\left\langle {{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3}}{{\rm{p}}_{\rm{y}}}}}{\rm{|V|}}{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3}}{{\rm{p}}_{\rm{y}}}}}} \right\rangle {\rm{ = 0}} \), और

\({\rm{E}}_{\rm{1}}^{\rm{1}}{\rm{ = }}\left\langle {{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3d}}_{\rm{z}}^{\rm{2}}}}{\rm{|V|}}{{\rm{\Psi }}_{{\rm{3d}}_{\rm{z}}^{\rm{2}}}}} \right\rangle {\rm{ = 0}} \)

जबकि 2p_z कक्षक के लिए, तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन होगा

​\(E_1^1 = \left\langle {{\Psi _{2{p_z}}}|V|{\Psi _{2{p_z}}}} \right\rangle \ne 0\)​

चूँकि तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन का मान 2pz कक्षक के लिए शून्येतर है, यह प्रथम-क्रम संशोधन में योगदान देगा।

निष्कर्ष:-

इसलिए, तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन केवल 2pz कक्षक से आता है।

अवधारणा:

प्रथम-क्रम क्षोभ सिद्धांत

• ऊर्जा में प्रथम-क्रम क्षोभ सुधार सूत्र द्वारा दिया गया है:

  E₁' = <ψ₀|V|ψ₀>

• L लंबाई के एक-आयामी बॉक्स में एक कण के लिए, मूल अवस्था तरंग फलन है:

  ψ₀(x) = √(2/L) sin(πx/L)

• दिए गए क्षोभकारी विभव के लिए:
  •  0 ≤ x ≤ L/2 के लिए V = V
  •  L/2 ≤ x ≤ L के लिए V = V/3
• प्रथम-क्रम ऊर्जा सुधार उन क्षेत्रों पर तरंग फलन को समाकलित करके प्राप्त किया जाता है जहाँ विभव भिन्न होता है:
  • प्रथम क्षेत्र (0 ≤ x ≤ L/2) विभव V के साथ
  • द्वितीय क्षेत्र (L/2 ≤ x ≤ L) विभव V/3 के साथ

व्याख्या:

• प्रथम-क्रम सुधार में दो विभव क्षेत्रों के लिए कुल समाकल को दो भागों में विभाजित करना शामिल है:
  • विभव V के लिए 0 से L/2 तक समाकल
  • विभव V/3 के लिए L/2 से L तक समाकल
• समाकलन करने के बाद, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:
  • प्रथम क्षेत्र से योगदान: ½ V
  • द्वितीय क्षेत्र से योगदान: ⅙ V
• इसलिए, कुल प्रथम-क्रम ऊर्जा सुधार है:

  E₁' = (VxL/2 + V/3 xL/2) / L = V/2 + V/6 = 4V/6 = 2V/3

इसलिए, सही उत्तर 2V/3 है।

अवधारणा:

प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन, विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके

• विक्षोभ सिद्धांत एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग क्वांटम निकाय के ऊर्जा स्तरों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जब हैमिल्टोनियन में एक छोटा विक्षोभकारी विभव जोड़ा जाता है।
• 1D बॉक्स में एक कण के लिए, बिना विक्षोभित निम्नतम ऊर्जा स्तर की ऊर्जा और तरंग फलन अच्छी तरह से ज्ञात हैं, और हम विक्षोभ के कारण ऊर्जा परिवर्तन ज्ञात करने के लिए प्रथम-कोटि संशोधन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
• विक्षोभ (\( \lambda x\) ) के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम-कोटि संशोधन, निम्नतम ऊर्जा स्तर के तरंग फलन में विक्षोभ के प्रत्याशा मान द्वारा दिया जाता है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \langle \psi_0 | \lambda x | \psi_0 \rangle \)

गणना:

• विक्षोभ पद \( \Delta H = \lambda x \) है।
• ऊर्जा में प्रथम-कोटि संशोधन इस प्रकार दिया गया है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \int_0^L \psi_0(x) \, \lambda x \, \psi_0(x) \, dx \)
• L लंबाई के एक बॉक्स में एक कण के लिए, निम्नतम ऊर्जा स्तर का तरंग फलन है:
  • \( \psi_0(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \)
• निम्नतम ऊर्जा स्तर के तरंग फलन को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \lambda \int_0^L \frac{2}{L} x \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) \, dx \)
• समाकल का मूल्यांकन करने पर, हम पाते हैं कि यह सरल हो जाता है:
  • \( \Delta E_1^{(1)} = \lambda \frac{L}{2} \)

निष्कर्ष:

• विक्षोभ \( \lambda x \) के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम-कोटि संशोधन है:
  • विकल्प (1): \( \frac{\lambda L}{2} \)