Triangles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triangles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी, AC = 20 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

जहाँ s = अर्ध-परिमाप = \(\frac{a+b+c}{2}\)

अंकित वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{\Delta}{s}\)

गणनाएँ:

a = 12 सेमी, b = 16 सेमी, c = 20 सेमी

s = \(\frac{12+16+20}{2}\) = 24 सेमी

क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)}\)

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{24×12×8×4}\)

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = \(\sqrt{9216}\)

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = 96 सेमी2

त्रिज्या (r) = \(\frac{96}{24}\)

⇒ त्रिज्या (r) = 4 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

एक त्रिभुज की भुजाएँ k, 1.5k और 2.25k हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

एक त्रिभुज के माध्यिकाओं के वर्गों का योग दिया गया है:

\(\text{Sum of squares of medians} = \frac{3}{4} (a^2 + b^2 + c^2)\)

जहाँ, a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

गणना:

माना a = k, b = 1.5k = 3k/2, c = 2.25k = 9k/4

\(a^2 + b^2 + c^2 = k^2 + \frac{9}{4}k^2 + \frac{81}{16}k^2\)

\(a^2 + b^2 + c^2 = \frac{16}{16}k^2 + \frac{36}{16}k^2 + \frac{81}{16}k^2 = \frac{133}{16}k^2\)

माध्यिकाओं के वर्गों का योग = \(\frac{3}{4} \times \frac{133}{16}k^2\)

माध्यिकाओं के वर्गों का योग = \(\frac{3 \times 133}{4 \times 16}k^2 = \frac{399}{64}k^2\)

इसलिए, माध्यिकाओं के वर्गों का योग है: \(\frac{399}{64}k^2\)

दिया गया है:

त्रिभुज ABC का परिमाप = 105 सेमी

भुजाओं का अनुपात AB : BC : CA = 5 : 10 : 6

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हीरोन का सूत्र:

क्षेत्रफल = \((\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})\)

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाईयाँ हैं, और

s अर्ध-परिमाप s = \((\dfrac{\text{a + b + c}}{2})\)

गणना:

पिछले प्रश्न से, हमने यह स्थापित किया

भुजाओं का अनुपात AB : BC : CA = 5 : 10 : 6.

माना भुजाएँ AB = 5x, BC = 10x, और CA = 6x हैं।

परिमाप भुजाओं का योग है:

परिमाप = AB + BC + CA = 5x + 10x + 6x = 21x

दिया गया परिमाप = 105 सेमी

⇒ 21x = 105

⇒ x = \((\dfrac{105}{21})\)

⇒ x = 5

a (BC) = 10x = 10 × 5 = 50 सेमी

b (CA) = 6x = 6 × 5 = 30 सेमी

c (AB) = 5x = 5 × 5 = 25 सेमी

अर्ध-परिमाप (s): s = \((\dfrac{\text{Perimeter}}{2})\) = \((\dfrac{105}{2})\) = 52.5 सेमी

क्षेत्रफल = \((\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})\)

क्षेत्रफल = \((\sqrt{52.5 \times (52.5 - 50) \times (52.5 - 30) \times (52.5 - 25)})\)

क्षेत्रफल = \((\sqrt{52.5 \times 2.5 \times 22.5 \times 27.5})\)

क्षेत्रफल = \((\sqrt{99738.28125})\)

क्षेत्रफल ≈ 284.975 सेमी²

क्षेत्रफल ≈ 285 सेमी²

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC का परिमाप = 105 सेमी

ऊँचाइयों का अनुपात AD : BE : CF = 3 : 5 : 6

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = \((\dfrac{1}{2}) × base × height.\)

भुजाओं a, b, c और संगत ऊँचाइयों ha, hb, hc वाले त्रिभुज के लिए, हमारे पास है:

2 × क्षेत्रफल = a × ha = b × hb = c × hc

इसका अर्थ है कि त्रिभुज की भुजाएँ उनकी संगत ऊँचाइयों के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं। अर्थात्, \(a : b : c = (\dfrac{1}{h_a}) : (\dfrac{1}{h_b}) : (\dfrac{1}{h_c})\)

गणना:

मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं, जहाँ:

a = BC (शीर्ष A के विपरीत भुजा)

b = CA (शीर्ष B के विपरीत भुजा)

c = AB (शीर्ष C के विपरीत भुजा)

मान लीजिए ऊँचाइयाँ ha, hb, hc हैं, जहाँ:

ha = AD

hb = BE

hc = CF

ऊँचाइयों का अनुपात दिया गया है: ha : hb : hc = 3 : 5 : 6.

इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि भुजाएँ ऊँचाई के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं:

\(a : b : c = (\dfrac{1}{3}) : (\dfrac{1}{5}) : (\dfrac{1}{6})\)

⇒ \(a : b : c = (\dfrac{1}{3}) × 30 : (\dfrac{1}{5}) × 30 : (\dfrac{1}{6}) × 30\)

⇒ a : b : c = 10 : 6 : 5

इसका अर्थ है कि भुजाओं BC : CA : AB का अनुपात 10 : 6 : 5 है।

इसलिए, AB : BC : CA = c : a : b = 5 : 10 : 6.

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

∠P = 54º

ΔABC की भुजाएँ AB और AC क्रमशः D और E तक बढ़ाई गई हैं।

∠CBD और ∠BCE के समद्विभाजक P पर मिलते हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

बाह्य कोण गुणधर्म: ∠P = ∠CBD + ∠BCE

त्रिभुज के कोणों का योग: ∠A + ∠B + ∠C = 180º

गणना:

बाह्य कोण गुणधर्म का उपयोग करते हुए:

∠P = ∠CBD + ∠BCE

⇒ 54º = ∠B + ∠C

त्रिभुज के कोणों के योग का उपयोग करते हुए:

∠A + ∠B + ∠C = 180º

⇒ ∠A + 54º = 180º

⇒ ∠A = 180º - 54º

⇒ ∠A = 126º

∠A का माप 126º है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी और AC = 10 सेमी और ∠BAC = 60° है।

प्रयुक्त अवधारणा:

कोसाइन के नियम के अनुसार, यदि a, b, और c त्रिभुज ΔABC की तीन भुजाएँ हैं और ∠C AC और AB के बीच का कोण है, तो a2 = b2 + c2 - 2bc × cos∠A

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cos60°

⇒ BC² = 12² + 10² - 2 × 12 × 10 × 1/2

⇒ BC² = 124

⇒ BC ≈ 11.13

∴ BC की माप 11.13 सेमी है।

दिया गया है:

त्रिभुज की पहली भुजा (a) = 16 इकाई

त्रिभुज की दूसरी भुजा (b) = 30 इकाई

त्रिभुज की तीसरी भुजा (c) = 34 इकाई

प्रयुक्त सूत्र:

हीरोन का सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s × (s - a) × (s - b) × (s - c)}

जहाँ, अर्ध-परिमाप (s) = (a + b + c)/2

और a, b और c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

त्रिभुज की परिवृत्त-त्रिज्या = (a × b × c)/(4 × त्रिभुज का क्षेत्रफल)

गणना:

अर्ध-परिमाप = (16 + 30 + 34)/2 = 80/2 = 40 इकाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s × (s - a) × (s - b) × (s - c)}

⇒ √{40 × (40 - 16) × (40 - 30) × (40 - 34)}

⇒ √{40 × 24 × 10 × 6} = √57600 = 240 इकाई2

त्रिभुज की परिवृत्त-त्रिज्या = (a × b × c)/(4 × त्रिभुज का क्षेत्रफल)

⇒ (16 × 30 × 34)/(4 × 240) = 17 इकाई

∴ सही उत्तर 17 इकाई है।

Shortcut Trick 
गणना:

दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ पाइथागोरस त्रिक हैं।

अत: कर्ण = 34 इकाई

और समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या = 34/2 = 17 इकाई

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि त्रिभुज का परिमाप "p" है।

माना कुल सम्भावित त्रिभुज "t" है।

यदि p = सम है, तो

t = p2/48

यदि p = विषम है, तो

t = (p + 3)2/48

गणना:

प्रश्नानुसार,

कुल सम्भावित त्रिभुज = (13 + 3)^2/48

⇒ 5.33 ≈ 5

∴ कुल सम्भावित त्रिभुज 5 हैं।

दिया गया है:

BC = 16 cm, BD = 11 cm और ∠ADC = ∠BAC

संकल्पना:

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण और एक भुजा बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।

गणना:

ΔABC और ΔADC में

⇒ ∠ADC = ∠BAC

⇒ ∠C = दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण

⇒ AC = उभयनिष्ठ भुजा

इसलिए, ΔABC और ΔADC समरूप त्रिभुज हैं।

⇒ \({BC\over AC}={AC\over DC}\)

⇒ AC² = BC × DC

⇒ AC² = 16 × 5 = 80

⇒ AC = 4√5

∴ अभीष्ट परिणाम 4√5 होगा।

दिया गया है:

त्रिभुज की पहली भुजा = 30 सेमी

त्रिभुज की दूसरी भुजा = x सेमी

त्रिभुज की तीसरी भुजा = 42 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

(तीसरी भुजा - पहली भुजा) < दूसरी भुजा < (तीसरी भुजा + पहली भुजा)

गणना:

दूसरी भुजा का परिसर = (42 - 30) < x < (42 + 30)

⇒ 12 < x < 72

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

लंबवत दूरी:

P₁ = √3; P₂ = 2√3; P₃ = 5√3

प्रयुक्त अवधारणा:

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3 × भुजा)/2 

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = बिंदु से लंबवत दूरियों का योग

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

गणना:

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = लम्बवत दूरियों का योग

⇒ (√3 × भुजा)/2 = P1 + P2 + P3 

⇒ (√3 × भुजा)/2 = √3 + 2√3 + 5√3

⇒ भुजा = 8 × 2 = 16 सेमी

समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

⇒ 3 × 16 = 48 सेमी

∴ सही उत्तर 48 सेमी है।

दिया गया है:

ABC कोण B पर समकोण त्रिभुज है, BC = 10 सेमी है। 

AC = 12 सेमी, B से AC तक लंबवत लंबाई p है। 

प्रयुक्त सूत्र:

Δ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

गणना:

Δ ABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

यहाँ, हम क्षेत्रफल को दो प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं,

1) AC को आधार और लंबाई p को लंब मानकर।

2) BC को आधार और AB को लंब मानकर

ΔABC का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 सेमी 

∴ सही उत्तर (5√11)/3 सेमी है। 

दिया गया है:

AB = 8.4 सेमी, और AC = 5.6 सेमी, DC = 2.8 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती दो भागों में विभाजित करता है।

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

इसलिए, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 सेमी

∴ भुजा BC की लम्बाई 7 सेमी होगी।

दिया गया है:

AB = DB और AC = DC,

∠ABD = 58° और ∠DBC = (2x - 4)°, 

∠ACB = (y + 15)° और ∠DCB = 63°

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीन भुजाओं के बराबर हों, तो SSS (भुजा-भुजा-भुजा) नियम के अनुसार दोनों त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं।

गणना:

चूँकि AB = DB, AC = DC है और BC दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है।

इसलिए, ΔABC ≅ ΔDBC

इसलिए, ∠ABC = ∠DBC = ∠ABD/2

⇒ 58°/2 = 29°

इसलिए,

(2x - 4)° = 29°

⇒ 2x = 33°

पुनः,

∠ACB = ∠DCB = 63°

इसलिए,

(y + 15)° = 63°

⇒ y = 48°

इसलिए,

2x + 5y = 33° + 5 × 48°

⇒ 33° + 240°

⇒ 273°

∴ अभीष्ट उत्तर 273° है।

दिया गया है:

ΔABC में, भुजा AB का मध्य-बिंदु M है।

ΔABC के अन्दर एक बिंदु N इस प्रकार है कि CN, ∠C का सम्द्विभाजक है और CN ⊥ NB है।

BC = 10 सेमी

AC = 15 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

मध्य-बिंदु प्रमेय - त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, उसकी तीसरी भुजा के समानांतर और साथ ही तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।

गणना:

रचना: BN को P तक बढ़ाते हैं, जो AC से P पर मिलता है। और MN को मिलते हैं;

प्रश्नानुसार,

ΔNPC और ΔNBC में,

∠N = ∠N  [90°]

BC = PC [संगत भुजा]

BN = NP [संगत कोण]

∴ ΔNPC ≅ ΔNBC 

इसलिए, NB = NP (इसका अर्थ है कि बिंदु N भुजा BP का मध्य बिंदु है)

और, BC = PC = 10 सेमी

तो, AP = AC – PC

⇒ (15 – 10) सेमी

⇒ AP = 5 सेमी

अब, ΔABP में

M और N, AB और BP के मध्यबिंदु हैं

इसलिए, मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार

⇒ MN = \(\frac{AP}{{2}}\)

⇒ \(\frac{5}{{2}}\) सेमी

⇒ 2.5 सेमी

∴ MN की लंबाई 2.5 सेमी है।

Shortcut Trick  

मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करने पर,

ΔBAP में,

MN = \(AP\over2\) = \(\frac{5}{{2}}\) = 2.5 सेमी