The Wave Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for The Wave Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:
सरल आवर्त गति (SHM) में एक कण का विस्थापन निम्न समीकरण द्वारा दिया गया है:

x = 10sin(2t - π/6) m 

वेग ज्ञात करने के लिए, हम समय के सापेक्ष विस्थापन समीकरण को अवकलित करते हैं।

वेग (v) निम्न द्वारा दिया गया है:

v = dx/dt = d/dt [10sin(2t - π/6)]

श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:

v = 10 x 2cos(2t - π/6)

v = 20cos(2t - π/6)

जब विस्थापन 6 m है, तो हम इसे विस्थापन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

6 = 10sin(2t - π/6)

sin(2t - π/6) = 6/10 = 0.6

2t - π/6 = sin⁻¹(0.6)

2t - π/6 = 0.6435 rad

2t = 0.6435 + π/6

2t = 0.6435 + 0.5236 = 1.1671 rad

t = 1.1671 / 2 = 0.5836 s

अब, वेग समीकरण में t = 0.5836 सेकंड प्रतिस्थापित करें:

v = 20cos(2 × 0.5836 - π/6)

v = 20cos(1.1671 - 0.5236)

v = 20cos(0.6435) = 20 × 0.8 = 16 m/s

जब कण का विस्थापन 6 m है, तो उसका वेग 16 m/s है।

संकल्पना:

यदि समय t पर कण विस्थापन y = f(x) है, तो समय t + Δt पर कण विस्थापन f(x -vΔt) होगा।

गणना:

इसलिए, t = 0 पर,

y = f(x) = \( {-1\over (x-6)^2}\)

और t = 4 पर,

y = f(x - v×4) = \( {-1\over (x-4v -6)^2}\)

इसलिए,

x-4v-6 = x-14

⇒ 4v = 8

∴ v = 2 m/s

अवधारणा:

तरंग का सामान्य समीकरण है:

y = f ( x - v t )

जहाँ y एक कण का विस्थापन है

x स्थिति है,

v तरंग का वेग है

गणना:

दिया गया है:

t = 0 पर विस्थापन निम्न प्रकार दिया गया है

\(\rm {y}=3 \sin 2 \pi\left(-\frac{x}{3}\right)\)

v = 4 m/s

t = 0 पर तरंग समीकरण का उपयोग करने पर,

y = f( x - v × 0) = 3 sin 2π ( -x / 3 )

f(x) = 3 sin 2π ( -x / 3 )

अब, t = 4 पर,

y = f ( x - v × 4)

⇒ y = f ( x - 4× 4 )

⇒ y = f ( x - 16 )

⇒ y = f ( x - 16 )

⇒ y = 3 sin 2π ( - ( x -16 )  / 3 )

∴ विकल्प 1) सही है। 

संकल्पना:

• तरंग एक विक्षोभ है, जो ऊर्जा का वहन करती है और एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित होती है।
• विस्थापन तरंग को निम्न समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
• y = A sin (ωt - kx ) --- (1)
• जहाँ, A = आयाम, ω = कोणीय आवृत्ति, k = तरंग संख्या
• तरंगदैर्ध्य: किसी तरंग के उत्तरोत्तर शृंगों या गर्तों के बीच की दूरी है।
  • \(\lambda = \frac {2π }k\)
• आवृत्ति तरंगों की संख्या है, जो इकाई समय में किसी निश्चित बिंदु से गुजरती है।
• यह आवर्तकाल या समय अंतराल का व्युत्क्रम के बराबर होती है।
• आवृत्ति और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध इस प्रकार दिया जाता है,
  • ​\(\nu = \frac {ω }{2 π }\)

गणना:

दिया गया है: तरंग का समीकरण, y = 60 sin \(\frac{π}{3}\) (6t − x)

⇒ y = 60 sin (2πt - \(\frac{π}{3}\)x)

तब, समीकरण 1 से तुलना करने पर, 

आयाम, A = 60, कोणीय आवृत्ति, ω = 2π, तरंग संख्या, k = \(\frac{π}{3}\)

तब, तरंगदैर्ध्य, \(\lambda = \frac {2π }k= \frac {2π }{\frac \pi 3} =6\)

साथ ही, आवृति,\(\nu = \frac {ω }{2 π } = \frac {2\pi }{2 π } = 1\)

संकल्पना:

• तरंग एक विक्षोभ है, जो ऊर्जा का वहन करती है और एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित होती है।
• विस्थापन तरंग को निम्न समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
• y = A sin (ωt - kx ) --- (1)
• जहाँ, A = आयाम, ω = कोणीय आवृत्ति, k = तरंग संख्या
• तरंगदैर्ध्य: किसी तरंग के उत्तरोत्तर शृंगों या गर्तों के बीच की दूरी है।
  • \(\lambda = \frac {2π }k\)
• आवृत्ति तरंगों की संख्या है, जो इकाई समय में किसी निश्चित बिंदु से गुजरती है।
• यह आवर्तकाल या समय अंतराल का व्युत्क्रम के बराबर होती है।
• आवृत्ति और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध इस प्रकार दिया जाता है,
  • ​\(\nu = \frac {ω }{2 π }\)

गणना:

दिया गया है: तरंग का समीकरण, y = 60 sin \(\frac{π}{3}\) (6t − x)

⇒ y = 60 sin (2πt - \(\frac{π}{3}\)x)

तब, समीकरण 1 से तुलना करने पर, 

आयाम, A = 60, कोणीय आवृत्ति, ω = 2π, तरंग संख्या, k = \(\frac{π}{3}\)

तब, तरंगदैर्ध्य, \(\lambda = \frac {2π }k= \frac {2π }{\frac \pi 3} =6\)

साथ ही, आवृति,\(\nu = \frac {ω }{2 π } = \frac {2\pi }{2 π } = 1\)

संकल्पना

• तरंग संख्या​ (k): इसे तरंग दैर्ध्य पर पूर्ण चक्र की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\(⇒ k = \frac{{2\pi }}{\lambda }\)

• इसका मापन  rad/m में किया जाता है।
• x-दिशा में प्रगामी तरंग का तरंग समीकरण निम्न होगा

\(⇒ y = A\sin \omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right) = A\sin \left( {\omega t - kx} \right) = A\sin 2\pi \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right) = A\sin k\left( {vt - x} \right)\;\)

• तरंग लंबाई: 

​\(⇒ \lambda = vT = v.\frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{v}{\nu } ⇒ v = \nu \lambda \)

• तरंग संख्या: 

​\(⇒ k = \frac{{2\pi }}{\lambda } = \frac{{2\pi \nu }}{v} = \frac{\omega }{v}\)

गणना

दिया गया है,तरंग फलन: 

⇒ y = (5 mm) sin [(1 cm-1)x - (60 s-1)t]=(5mm)sin[(1cm−1)x−(60s−1)t].y=(5mm)sin[(1cm−1)x−(60s−1\(⇒ y = A\sin \left( {kx - \omega t} \right) ⇒ y = \left( {5mm} \right)\sin \left[ {\left( {1\;c{m^{ - 1}}} \right)x - \left( {60{s^{ - 1}}} \right)t} \right]\;\)

⇒ k = 1 cm^-1

• विकल्प 4  सही है।

संकल्पना:

• अनुप्रस्थ तरंग: एक तरंग जिसमें माध्यम कण एक लंबवत दिशा में उस दिशा की ओर बढ़ते हैं जिस ओर तरंग गति करती है।

अनुप्रस्थ तरंग का समीकरण निम्न रुप में दिया जाता है 

y(x, t) = Asin(kx − ωt + ϕ)

जहाँ आयाम A, ω कोणीय आवृत्ति (ω = 2π/T), k तरंग-संख्या(k = 2π/λ), ϕ फेज और y, स्थिति x और समय t के संबंध में परिवर्तित होता है।

• तरंगदैर्ध्य (λ): ​दो कणों के बीच पृथक्करण की न्यूनतम दूरी जो एक ही फेज में होती है, तरंगदैर्ध्य कहलाती है।

तंरग की गति: तरंग की गति निम्न द्वारा दी जाती है

\(v=\frac{λ}{T}=\frac{λ 2π}{T2π}=\frac{ω }{k}\)

जहाँ ω कोणीय आवृत्ति (ω = 2π/T) और k तरंग संख्या (k = 2π/λ)

स्पष्टीकरण:

• तरंग संख्या: यह k द्वारा निरूपित एक स्थिरांक पद है।

तरंग संख्या (k) = 2π/λ 

इसलिए विकल्प 3 सही है।

अवधारणा :

• यांत्रिक तरंगें : जिन तरंगों को यात्रा करने के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है, उन्हें यांत्रिक तरंगें कहते हैं।
  • ये तरंगें न्यूटन के नियमों द्वारा शासित होती हैं।

उदाहरण के लिए : ध्वनि, एक तार में तरंगें, पानी की लहर, आदि।

व्याख्या:

• यांत्रिक तरंगें न्यूटन के नियमों द्वारा शासित होती हैं। तो विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:​

• तरंग का समीकरण इस प्रकार है

y(x, t) = Asin(kx − ωt + ϕ)

जहाँ आयाम A है, ω कोणीय आवृत्ति है (ω = 2πf; f आवृत्ति है), k तरंग संख्या है (k = 2π/λ), ϕ कला है, और y स्थिति x के संबंध में बदल रही है और समय t.​

अधिकतम त्वरण a = A ω2 

त्वरण a = A ω2 

गणना:

दी गई समीकरण है

\(y= 3 \sin 2 π \left(\dfrac{t}{0.04} - \dfrac{x}{0.01}\right)\)

मानक समीकरण के साथ इसकी तुलना करने पर

y = A sin (ωt – kx) 

अवधारणा :

तरंग का समीकरण निम्न रूप में दिया गया है

y = A sin(ωt + ϕ)

जहां आयाम A है, ω कोणीय आवृत्ति (ω = 2π/T), φ प्रारंभिक फेज है और y समय t के संबंध में स्थिति बदलता है।

गणना :

दिया हुआ है कि:

x = a sin(ωt + π/6)

प्रारंभिक फेज (ϕ1) = π/6

x = a cos ωt = a sin (ωt + π/2)

प्रारंभिक फेज (ϕ2) = π/2

तो फेज अंतर = ϕ2 - ϕ1 = π/2 - π/6 = π/3

इसलिए विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

तरंग गति का सामान्य समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

y =  Asin (kx - ωt)

जहां A = आयाम, ω = कोणीय आवृत्ति, k = कोणीय तरंग संख्या, t = समय, और x स्थिति है

• तरंग दैर्ध्य (λ): यह एक ही कला में कंपन करने वाले दो निकटतम कणों के बीच की दूरी है।
• आवृत्ति (f): यह एक कण द्वारा एक सेकंड में पूर्ण किए गए कंपनों की संख्या है।
• आवर्त काल(T): यह तरंग द्वारा एक तरंग दैर्ध्य के बराबर दूरी तय करने में लिया गया समय है।
• आयाम (A): यह माध्य स्थिति से कंपन करने वाले कणों का अधिकतम विस्थापन है।

एक तरंग की आवृत्ति (f), तरंगदैर्घ्य (λ), और वेग (v) के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है:

f × λ = v 

गणना:

दिया गया है

y = 2 sin (3x - t/4)

दिए गए मानक समीकरण के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

A = 2; ω = 1/4 rad/s; k = 3 rad/m

हम जानते हैं कि

ω = 2πf और f = 1/T

ω = 2π/T

T = 2π/ω

T = 2π × (4/1) = 25.13 सेकंड

• अत: विकल्प 2 सही है

सही उत्तर विकल्प 2 है अर्थात 3 m/s

अवधारणा :

• प्रगतिशील तरंगें: एक तरंग जो एक माध्यम में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक यात्रा करने में सक्षम है, उसे प्रगतिशील तरंग कहा जाता है। इन्हें गतिमान तरंगों के नाम से भी जाना जाता है।
  • दो प्रकार की प्रगतिशील तरंगें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्‍थ तरंगें होती हैं।

एक प्रगतिशील हार्मोनिक तरंग का विस्थापन समीकरण इस प्रकार है:

y = Asin(kx - ωt + ϕ)

जहां y समय t पर तरंग का विस्थापन है, A आयाम या तरंग का अधिकतम विस्थापन है, k तरंग संख्या है (k = \(\frac{2π}{λ}\)), ω कोणीय आवृत्ति है (ω = 2πf).

गणना:

दिया गया है:

y = 15 x 10-2 sin (300t – 100x)

 y = Asin(kx - ωt + ϕ) के साथ तुलना करने पर,

A = 15 x 10-2 m

k = 100 rad/m

ω = 300 rad/s

हम जानते है ω = 2πf और k = \(\frac{2π}{λ}\) ⇒ kλ = \(\frac{\omega}{f}\) 

⇒ \(\frac{\omega}{k}\) = fλ = v (∵ तरंग की गति, v = fλ)

इसलिए वेग, v = \(\frac{\omega}{k}\) = \(\frac{300}{100}\) = 3 m/s

अवधारणा :

• प्रगामी तरंगें: वे तरंगें जो किसी माध्यम में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक यात्रा करने में सक्षम होती हैं, प्रगामी तरंगें कहलाती हैं। उन्हें यात्रा तरंगों के रूप में भी जाना जाता है।
  • दो प्रकार की प्रगामी तरंगें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें हैं।
• एक प्रगामी हार्मोनिक तरंग का विस्थापन समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

⇒ y = Asin(kx - ωt + ϕ)

जहाँ Y समय t पर तरंग का विस्थापन है, एक तरंग का आयाम या अधिकतम विस्थापन है, k तरंग संख्या \(k =\frac{2π}{λ}\) है, ω कोणीय आवृत्ति है (ω = 2πf)।

• तरंग दैर्ध्य (λ) और आवृत्ति (f) से संबंधित तरंग का वेग (v) निम्नानुसार है:

\(⇒ f =\frac{v}{\lambda}\)

गणना :

तरंग समीकरण: y = 3 sin (4t - π/6)

यहाँ, ω = 4, और आयाम (A) = 3

• जैसा कि हम जानते हैं, कण के अधिकतम वेग की गणना इस प्रकार की जा सकती है

⇒ V_max = ωA 

⇒ V_max = 3 × 4 = 12 m/s

धारणा:

• जब प्रत्यानयन बल साम्यावस्था से विस्थापन के समानुपाती होता है तो सरल आवर्त गति होत्ती है।

​F α -x

जहाँ F = बल और x =साम्यावस्था से विस्थापन.

बल (F) = - k x

जहाँ k = प्रत्यानयन बल, x = साम्यावस्था स्थिति से तय दूरी, F = बल जो माध्य स्थित की तरफ लग रहा होता है

• SHM (सरल आवर्त गति) का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है:

x = A sinωt

जहाँ x किसी भी समय t से माध्य स्थिति से दूरी है, A आयाम है, t समय है, और ω कोणीय आवृत्ति है।

​गणना: 

• प्रगामी ध्वनि तरंग का समीकरण है

\(\Rightarrow y=0.5\,sin\frac{2π }{3.2}(64t-x)\).......(1)

जहाँ A = आयाम , ω =  कोणीय आवृत्ति, x = विस्थापन

• समतल प्रगामी तरंग निम्न द्वारा दिया गया है-

​\(\Rightarrow y=a\,sin(\omega t-\frac{2π x}{\lambda})\)........(2)

समीकरण 1 और 2 की तुलना करने पर, हम पाते हैं

⇒ \(\omega = \frac{128 \pi}{3.2}\)

जैसा कि हम जानतें हैं, आवृत्ति होगी:

\(\Rightarrow f = \frac{ω}{2\pi}=\frac{128\pi}{(3.2)2\pi}=20.Hz\)

अनुमानित मान 20 हर्ट्ज है।

अवधारणा:

• अनुप्रस्थ तरंग: एक तरंग जिसमें माध्यम कण एक लंबवत दिशा में उस दिशा की ओर बढ़ते हैं जिसमें तरंग गति करती है।

अनुप्रस्थ तरंग का समीकरण इस प्रकार होगा-

y(x, t) = Asin(kx − ωt + ϕ)

जहाँ A आयाम है, ω कोणीय आवृत्ति (ω = 2π/T) है, k तरंग-संख्या (k = 2π/λ), है, ϕ कला है, और y स्थिति x के संबंध में बदल रहा है और t समय है।

• तरंग दैर्ध्य (λ): एक ही कला में दो कणों के बीच पृथक्करण की न्यूनतम दूरी को तरंगदैर्ध्य कहा जाता है।

तरंग का वेग: तरंग का वेग निम्न द्वारा दिया जाता है

\(v=\frac{\lambda}{T}=\frac{\lambda 2\pi}{T2\pi}=\frac{ω }{k}\)

जहां ω कोणीय आवृति है (ω = 2π/T), k तरंग संख्या है(k = 2π/λ),

दी गई समीकरण है:

y = 0.05 sin π(2t – 0.02x)

इसकी तुलना मानक समीकरण से करने पर

y = A sin (ωt – kx)