Skew Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Skew Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

=

=

m = 4, n = 5 ⇒ m + n = 9

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना:

L₁ पर P(2λ + 1, 3λ + 2, 4λ + 3)

L₂ पर Q(3μ + 2, 4μ + 4, 5μ + 5)

PQ के दिक् अनुपात = 3μ - 2λ + 1, 4μ - 3λ + 2, 5μ - 4λ + 2

PQ ⊥ L₁

⇒ (3μ - 2λ + 1)2 + (4μ - 3λ + 2)3 + (5μ - 4λ + 2)4 = 0

38μ - 29λ + 16 = 0 …(1)

PQ ⊥ L₂

⇒ (3μ - 2λ + 1)3 + (4μ - 3λ + 2)4 + (5μ - 4λ + 2)5 = 0

50μ - 38λ + 21 = 0 …(2)

(1) और (2) से

∴

रेखा PQ

रेखा PQ पर स्थित है। 

अतः विकल्प 4 सही है। 

गणना

रेखाएँ निम्न बिंदुओं से गुजरती हैं

,

न्यूनतम दूरी =

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं:

1. रेखा 1:

2. रेखा 2:

दो विषमतली रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी D इस प्रकार दी जाती है:

जहाँ:

और रेखाओं के दिशा सदिश हैं

और क्रमशः रेखा 1 और रेखा 2 पर बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं

रेखा 1 का दिशा सदिश:

रेखा 2 का दिशा सदिश:

= (-26)(-3) + (24)(0) + (-5)(-2) = 78 + 0 + 10 = 88

यह दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी है।

इसलिए, न्यूनतम दूरी विकल्प (1) है।

गणना

पहली रेखा से:

दूसरी रेखा से:

x के लिए:

...(1)

y के लिए:

...(2)

⇒

z के लिए:

...(3)

पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

⇒

⇒

सरल करने के लिए, दोनों पक्षों को t - 2 से गुणा करने पर:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए, रेखाएँ t के ठीक दो मानों के लिए प्रतिच्छेद करती हैं।

इसलिए, सही विकल्प: विकल्प 2: ठीक दो मान है। 

संकल्पना:

और  रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का परिमाण निम्न है

दिया गया​ है:  

  और  रेखाएँ।

दिए गए समीकरणों को फिर से लिखने पर,

 और

⇒  ,   और  ,  

अत: दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का परिमाण निम्न है​

इसलिए, दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का परिमाण  है।

अवधारणा:

• यदि दो रेखाएं समानांतर हैं तो उनके बीच की दूरी तय होती है।
• दो समानांतर रेखाएँ  और  के बीच की दूरी इस सूत्र द्वारा दी जाती है: ।

गणना:

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि दूरी  है।

संकल्पना:

विषमतलीय रेखा  के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न द्वारा दी गयी है:

गणना:

दिया गया है: रेखाओं के समीकरण  हैं। 

दिए गए समीकरण की तुलना के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ x1 = 8, y1 = - 9, z1 = 10, a1 = 3, b1 = -16 और c1 = 7

उसीप्रकार, x2 = 15, y2 = 29, z2 = 5, a2 = 3, b2 = 8 और c2 = -5

इसलिए, 

चूँकि हम जानते हैं कि दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न दी द्वारा गयी है:

⇒ SD = 14 units

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

समानांतर रेखाओं  और  के बीच की सबसे छोटी दूरी को  द्वारा दिया जाता है

गणना:

L₁ :  को  के रूप में लिखा जा सकता है।

L₂ :  को  के रूप में लिखा जा सकता है।

यहाँ, हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं समानांतर हैं और , और ।

 समानांतर रेखाओं L₁ और L₂ के बीच की सबसे छोटी दूरी:

⇒

⇒ ⇒ इकाई

इसलिए, विकल्प 1 सही है ।

अवधारणा:

समानांतर रेखाओं  और  के बीच की सबसे छोटी दूरी को  द्वारा दिया जाता है

गणना:

L₁ :  को  के रूप में लिखा जा सकता है।

L₂ :  को  के रूप में लिखा जा सकता है।

यहाँ, हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं समानांतर हैं और , और ।

 समानांतर रेखाओं L₁ और L₂ के बीच की सबसे छोटी दूरी:

⇒

⇒ ⇒ इकाई

इसलिए, विकल्प 1 सही है ।

अवधारणा:

रेखाओं  और  के बीच की सबसे छोटी दूरी को निम्न द्वारा दिया जाता है:

गणना:

यहाँ हम रेखाओं  और  बीच की न्यूनतम दूरी खोजना है 

मान लें कि रेखा L₁ को समीकरण और रेखा L₂ को समीकरण  द्वारा दर्शाया जाए।

⇒ x1 = 0, y1 = 2, z1 = 0 और a1 = -1, b1 = 0, c1 = 1

⇒ x2 = -2, y2 = 0, z2 = 0 और a2 = 1, b2 = 1, c2 = 0

∵ रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी इस प्रकार दी गई है:

⇒

⇒ 

⇒ d = 0

इसलिए, विकल्प 4 सही है ।

अवधारणा:

समानांतर रेखाओं  और बीच की सबसे छोटी दूरी को  द्वारा दिया जाता है

गणना:

दिया गया: रेखाओं  और  का समीकरण।

इसलिए, उपरोक्त समीकरणों की तुलना और  के साथ करके हमें मिलता है

⇒ , और ।

 समानांतर रेखाओं \(\vec{r}= \vec{a_{1}}+ \lambda \vec{b} \) और के बीच की सबसे छोटी दूरी को  द्वारा दिया जाता है:

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ k = 20

इसलिए, विकल्प 4 सही है ।

संकल्पना:

विषमतलीय रेखा  के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न दी गयी है:

गणना:

दिया गया है: रेखाओं का समीकरण   है। 

दिए गए समीकरण की तुलना के साथ करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ x₁ = - 3, y₁ = 6, z₁ = 0, a₁ = - 4, b₁ = 3 और c₁ = 2

उसीप्रकार, x₂ = - 2, y₂ = 0, z₂ = 7, a₂ = - 4, b₂ = 1 और c₂ = 1

इसलिए, 

उसीप्रकार, 

चूँकि हम जानते हैं कि दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न दी गयी है:

अवधारणा -

दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी है:

d =

स्पष्टीकरण -

दी गई रेखाएँ निम्नलिखित हैं:

और

इसलिए,

,

∴

=

=

सबसे छोटी दूरी,

=

= इकाई

अतः विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

रेखाओं  और  के बीच की सबसे छोटी दूरी को निम्न द्वारा दिया जाता है:

Calculation:

गणना:

यहाँ हम रेखाओं  और  बीच की न्यूनतम दूरी खोजना है

मान लें कि रेखा L1 को समीकरण  और रेखा L2 को समीकरण  द्वारा दर्शाया जाए।

⇒ x1 = 5, y1 = -2, z1 = 0  और a1 = 7, b1 = -5, c1 = 1

⇒ x2 = 0, y2 = 0, z2 = 0  और a2 = 1, b2 = 2, c2 = 3

∵ रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी इस प्रकार दी गई है:

⇒ 

⇒ 

⇒

⇒

इसलिए, विकल्प  सही है ।