Random Variables & Distribution Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Random Variables & Distribution Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

1. बृहत्‌ संख्याओं का नियम (LLN):

बृहत्‌ संख्याओं का नियम कहता है कि जैसे प्रतिदर्श आकार n बढ़ता है, i.i.d. के प्रतिदर्श औसत (या योग) यादृच्छिक चर चर के अपेक्षित मान में अभिसरण करता है। उदाहरण के लिए, विकल्प 3 में, \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2\)

अपेक्षित मान \(E(X_1^2) = 1\) में अभिसरण करता है, क्योंकि \(X_1\) का प्रसरण 1 है।

2. केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT):

केंद्रीय सीमा प्रमेय हमें बताता है कि परिमित माध्य और प्रसरण वाले i.i.d. यादृच्छिक चरों का योग (या स्केल किया हुआ औसत) वितरण में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है जैसे \(n \to \infty\)। उदाहरण के लिए, विकल्प 4 में, \(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}}\) एक मानक प्रसामान्य यादृच्छिक चर की तरह व्यवहार करता है चूँकि \(n \to \infty\), N(0, 1) में अभिसरण करता है।

3. प्रायिकता सीमाएँ:

कुछ यादृच्छिक चरों के लिए, उनका वितरण एक निश्चित प्रायिकता मान में अभिसरण करता है। विकल्प 1 और 4 में,

मानकीकृत योग के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता \(\frac{1}{2} \) में अभिसरण करती है, जो एक मानक प्रसामान्य चर के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता है।

व्याख्या:

विकल्प 1: इस व्यंजक में दो पदों का अनुपात शामिल है: \(\sqrt{n} \sum_{i=1}^n X_i और \sum_{i=1}^n X_i^2 \).

अंश,\( \sqrt{n} \sum_{i=1}^n X_i \), केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा \(O(\sqrt{n})\) की तरह बढ़ता है क्योंकि माध्य शून्य और प्रसरण 1 वाले i.i.d. यादृच्छिक चरों का योग सामान्य वितरण रखता है।

हर, \(\sum_{i=1}^n X_i^2\) , O(n) की तरह बढ़ता है क्योंकि यह प्रसरण 1 वाले i.i.d. यादृच्छिक चरों के वर्गों का योग है।

चूँकि \(n \to \infty \), अनुपात \(\frac{\sqrt{n} \sum_{i=1}^n X_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2}\) शून्य की ओर जाता है, इसलिए प्रायिकता यादृच्छिक चर के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता में अभिसरण करती है। इसलिए, विकल्प 1 सत्य है, और सीमा 1/2 होगी क्योंकि यह बड़े n के अंतर्गत एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर बन जाता है।

विकल्प 2: अंश \( \sum_{i=1}^n X_i\) \(O(\sqrt{n})\) की तरह व्यवहार करता है, और प्रत्येक \(\sum_{i=1}^n X_i^2\) O(n) की तरह व्यवहार करता है। इसलिए, अनुपात \(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2}\) \(O(1/\sqrt{n}) \) की तरह व्यवहार करता है और 0 में अभिसरण करता है जैसे \(n \to \infty\)। इस प्रकार, विकल्प 2 सत्य है।

विकल्प 3: बृहत्‌ संख्याओं का नियम (LLN) द्वारा, i.i.d. यादृच्छिक चरों के वर्गों का औसत \(X_1^2 \) के अपेक्षित मान में अभिसरण करता है, जो 1 है, जैसे \(n \to \infty \)। इस प्रकार, विकल्प 3 सत्य है।

विकल्प 4:
\(\)
केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) द्वारा, \(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}} \) वितरण में एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर N(0, 1) में अभिसरण करता है।

एक मानक सामान्य चर के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता \(P(Z \leq 0) = \frac{1}{2} \) है। इसलिए, विकल्प 4 सत्य है।

चारों विकल्प सही हैं।

संप्रत्यय:

प्रतिदर्श माध्य एक प्रतिदर्श में डेटा बिंदुओं का औसत देता है, और प्रतिदर्श प्रसरण डेटा के प्रसार को मापता है।

प्रसामान्य बंटन एक सतत प्रायिकता बंटन है जो माध्य के चारों ओर सममित है, ज्यादातर मान केंद्र के आसपास समूहीकृत होते हैं।

व्याख्या:

विकल्प 1: \(\bar{X} \) का माध्य 2 है और \( \bar{Y} \) का माध्य -2 है। इस प्रकार, \( \bar{X} + \bar{Y}\) का माध्य है

\( E[\bar{X} + \bar{Y}] = 2 + (-2) = 0\)

स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के लिए प्रसरण जुड़ते हैं:

\(\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, \quad \text{Var}(\bar{Y}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)

इसलिए, \( \bar{X} + \bar{Y}\) का प्रसरण है \( \text{Var}(\bar{X} + \bar{Y}) = \text{Var}(\bar{X}) + \text{Var}(\bar{Y}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

इस प्रकार, \( \bar{X} + \bar{Y}\) का बंटन \( N(0, \frac{2}{3})\) के रूप में है। यह कथन सत्य है।

विकल्प 2: \(S_1^2 \) और \(S_2^2\) स्वतंत्र काई-वर्ग यादृच्छिक चर हैं जो अपने संबंधित स्वातंत्र्य कोटि से विभाजित हैं।

\(S_1^2 \) के लिए स्वातंत्र्य कोटि 11 है और \(S_2^2\) के लिए 14 है।

भारित योग सीधे काई-वर्ग बंटन का पालन नहीं करता है। स्वातंत्र्य की संयुक्त कोटि 11 + 14 = 25 होगी, 26 नहीं। यह कथन असत्य है।

विकल्प 3: अनुपात \(\frac{S_1^2}{S_2^2} \) का बंटन \(F_{11, 14}\) के रूप में है क्योंकि यह दो स्वतंत्र काई-वर्ग चरों के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है जो अपने संबंधित स्वातंत्र्य कोटि से विभाजित हैं। एक स्थिरांक (इस मामले में, \(\frac{5}{4} \)) से गुणा करने से F-बंटन का रूप नहीं बदलता है, केवल इसका पैमाना बदलता है। यह कथन सत्य है।

विकल्प 4: \(\bar{Y} \) का माध्य -2 है। \(\bar{Y} \) का बंटन \(N(-2, \frac{5}{15}) = N(-2, \frac{1}{3})\) है।

मात्रा \(\bar{Y} \) - 2 माध्य को -4 तक स्थानांतरित करती है। एक प्रसामान्य बंटन को स्केल करने से t-बंटन प्राप्त नहीं होता है।

इसके बजाय, \(2\sqrt{3}(\bar{Y} - 2)\) एक प्रसामान्य बंटन देता है, t-बंटन नहीं। यह कथन असत्य है।

इसलिए, विकल्प 1) और 3) सही हैं।

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c⁺) - F(c^-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) = \(\begin{cases} 0, & \text{यदि } x < 0 \\ \frac{x+1}{3}, & \text{यदि } 0 \leq x < 1 \\ 1, & \text{यदि } x \geq 1 \end{cases}\)

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें \(F\left(\frac{3}{4}\right) और \ F\left(\frac{1}{3}\right) \) की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि \( 0 \le \frac{1}{3} < 1\) और \(0 \le \frac{3}{4} < 1\) , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र \(F(x) = \frac{x+1}{3}\) का उपयोग करते हैं:

\(F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} + 1}{3} = \frac{\frac{4}{3}}{3} = \frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow F\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\frac{3}{4} + 1}{3} = \frac{\frac{7}{4}}{3} = \frac{7}{12}\)

इस प्रकार, प्रायिकता \(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right)\) है:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) = F\left(\frac{3}{4}\right) - F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{7}{12} - \frac{4}{9}\)

= \(\frac{21}{36} - \frac{16}{36} = \frac{5}{36}\)

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0⁺) - F(0^-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0⁺) = F(0) =\( \frac{0+1}{3} = \frac{1}{3}\)

⇒ F(0^-) = 0

इस प्रकार, \(P(X = 0) = F(0^+) - F(0^-) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}\)

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) + P(X = 0) = \frac{5}{36} + \frac{12}{36} = \frac{17}{36}\)

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।

अवधारणा:

मान लें कि F(x) एक संचयी वितरण फलन है तो

(i) \(\lim_{x\to-\infty}F(x)\) = 0, \(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = 1

(ii) F एक गैर-ह्रासमान फलन है

स्पष्टीकरण:

(2): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{2+x^2}{3+2 x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2+x^2}{3+2x^2}\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{4x}\) = \(\frac12\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके), संतुष्ट नहीं करता

विकल्प (2) गलत है

(3): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0 \text {, } \\ \rm\frac{2 \cos (x)+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos x+x^2}{4+x^2}\)

= \(\lim_{x\to\infty}\frac{-2\sin x+2x}{2x}\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

= \(\lim_{x\to\infty}(-\frac{\sin x}{x}+1)\) - 1 + 1 = 0, संतुष्ट नहीं

विकल्प (3) गलत है

(4): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{1+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

f(0-) = 1/2 और f(0+) = 1/4 और \(\frac12>\frac14\) इसलिए F(x) गुण "F एक गैर-ह्रासमान फलन है" को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

एक प्राचलिक फलन f(λ) को अनुमानित कहा जाता है यदि g(X) मौजूद है जैसे कि E(g(X)) = f(λ) अन्यथा इसे अनुमानित नहीं कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X एक प्वासों यादृच्छिक चर है जिसका माध्य λ है।

इसलिए E(X) = λ और Var(X) = λ

हमें वह प्राचलिक फलन ज्ञात करना है जो अनुमानित नहीं है।

(2): E(X) = λ तो यहां हमें एक फलन g(X) = X मिल रहा है।

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (2) गलत है।

(3): E(X²) = [E(X)]² + Var(X) = λ² + λ

इसलिए E(X² - X) = E(X2) - E(X) = λ2 + λ - λ = λ2

यहां हमें फलन g(X) = X2 - X मिल रहा है

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (3) गलत है।

(4): E\((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\) = e−λ​

यहां हमें फलन g(X) = \((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\)

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c⁺) - F(c^-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) = \(\begin{cases} 0, & \text{यदि } x < 0 \\ \frac{x+1}{3}, & \text{यदि } 0 \leq x < 1 \\ 1, & \text{यदि } x \geq 1 \end{cases}\)

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें \(F\left(\frac{3}{4}\right) और \ F\left(\frac{1}{3}\right) \) की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि \( 0 \le \frac{1}{3} < 1\) और \(0 \le \frac{3}{4} < 1\) , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र \(F(x) = \frac{x+1}{3}\) का उपयोग करते हैं:

\(F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} + 1}{3} = \frac{\frac{4}{3}}{3} = \frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow F\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\frac{3}{4} + 1}{3} = \frac{\frac{7}{4}}{3} = \frac{7}{12}\)

इस प्रकार, प्रायिकता \(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right)\) है:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) = F\left(\frac{3}{4}\right) - F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{7}{12} - \frac{4}{9}\)

= \(\frac{21}{36} - \frac{16}{36} = \frac{5}{36}\)

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0⁺) - F(0^-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0⁺) = F(0) =\( \frac{0+1}{3} = \frac{1}{3}\)

⇒ F(0^-) = 0

इस प्रकार, \(P(X = 0) = F(0^+) - F(0^-) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}\)

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) + P(X = 0) = \frac{5}{36} + \frac{12}{36} = \frac{17}{36}\)

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।

दिया गया है:-

X1, X2, ... स्वतंत्र और समान रूप से बंटित यादृच्छिक चर हैं जिनका χ2-बंटन 5 स्वातंत्र्य कोटि के साथ है।

प्रयुक्त अवधारणा:-

केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग करके दिए गए व्यंजक का सीमांत बंटन ज्ञात किया जा सकता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि कई स्वतंत्र और समान रूप से बंटित यादृच्छिक चरों का योग, उचित रूप से प्रसामान्यीकृत, बंटन में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है।

व्याख्या:-

यहाँ, हमारे पास n स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका χ²-बंटन 5 स्वातंत्र्य कोटियों के साथ है।

प्रत्येक χ²-बंटित चर का माध्य 5 है और प्रसरण है,

2 x 5 = 10

इसलिए, ऐसे n चरों के योग का माध्य n5 है, और प्रसरण है,

⇒ प्रसरण = (n × 10)

हम माध्य को घटाकर और मानक विचलन से विभाजित करके व्यंजक को प्रसामान्यीकृत कर सकते हैं। अर्थात्,

\(⇒a[\dfrac{(X_1 + X_ 2 + ... + X_ n - 5n)}{\sqrt{n×10}}] \)

\(=(\dfrac{a}{\sqrt{10}}) [\dfrac{(X_ 1 + X_ 2 + ... + X_ n - 5n)}{n}] \sqrt{n} \)

दाहिने पक्ष की ओर कोष्ठक में पद 0 के माध्य और 1/2 के प्रसरण के साथ n, स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चरों का योग है।

इसलिए, CLT द्वारा, यह पद बंटन में एक मानक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है क्योंकि n अनंत तक जाता है।

समग्र व्यंजक बंटन में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है जिसका माध्य शून्य और प्रसरण a²/10 है।

इसलिए, \(a\left(\frac{X_1+\cdots+X_n-5 n}{\sqrt{n}}\right)\) का सीमांत बंटन a के उपयुक्त मान के लिए मानक प्रसामान्य बंटन है।

अतः सही विकल्प 3 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है। 

हम यथाशीघ्र हल अपडेट करेंगे।

अवधारणा:

मान लें कि F(x) एक संचयी वितरण फलन है तो

(i) \(\lim_{x\to-\infty}F(x)\) = 0, \(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = 1

(ii) F एक गैर-ह्रासमान फलन है

स्पष्टीकरण:

(2): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{2+x^2}{3+2 x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2+x^2}{3+2x^2}\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{4x}\) = \(\frac12\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके), संतुष्ट नहीं करता

विकल्प (2) गलत है

(3): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0 \text {, } \\ \rm\frac{2 \cos (x)+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos x+x^2}{4+x^2}\)

= \(\lim_{x\to\infty}\frac{-2\sin x+2x}{2x}\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

= \(\lim_{x\to\infty}(-\frac{\sin x}{x}+1)\) - 1 + 1 = 0, संतुष्ट नहीं

विकल्प (3) गलत है

(4): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{1+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

f(0-) = 1/2 और f(0+) = 1/4 और \(\frac12>\frac14\) इसलिए F(x) गुण "F एक गैर-ह्रासमान फलन है" को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

एक प्राचलिक फलन f(λ) को अनुमानित कहा जाता है यदि g(X) मौजूद है जैसे कि E(g(X)) = f(λ) अन्यथा इसे अनुमानित नहीं कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X एक प्वासों यादृच्छिक चर है जिसका माध्य λ है।

इसलिए E(X) = λ और Var(X) = λ

हमें वह प्राचलिक फलन ज्ञात करना है जो अनुमानित नहीं है।

(2): E(X) = λ तो यहां हमें एक फलन g(X) = X मिल रहा है।

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (2) गलत है।

(3): E(X²) = [E(X)]² + Var(X) = λ² + λ

इसलिए E(X² - X) = E(X2) - E(X) = λ2 + λ - λ = λ2

यहां हमें फलन g(X) = X2 - X मिल रहा है

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (3) गलत है।

(4): E\((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\) = e−λ​

यहां हमें फलन g(X) = \((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\)

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c⁺) - F(c^-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) = \(\begin{cases} 0, & \text{यदि } x < 0 \\ \frac{x+1}{3}, & \text{यदि } 0 \leq x < 1 \\ 1, & \text{यदि } x \geq 1 \end{cases}\)

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें \(F\left(\frac{3}{4}\right) और \ F\left(\frac{1}{3}\right) \) की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि \( 0 \le \frac{1}{3} < 1\) और \(0 \le \frac{3}{4} < 1\) , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र \(F(x) = \frac{x+1}{3}\) का उपयोग करते हैं:

\(F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} + 1}{3} = \frac{\frac{4}{3}}{3} = \frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow F\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\frac{3}{4} + 1}{3} = \frac{\frac{7}{4}}{3} = \frac{7}{12}\)

इस प्रकार, प्रायिकता \(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right)\) है:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) = F\left(\frac{3}{4}\right) - F\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{7}{12} - \frac{4}{9}\)

= \(\frac{21}{36} - \frac{16}{36} = \frac{5}{36}\)

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0⁺) - F(0^-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0⁺) = F(0) =\( \frac{0+1}{3} = \frac{1}{3}\)

⇒ F(0^-) = 0

इस प्रकार, \(P(X = 0) = F(0^+) - F(0^-) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}\)

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

\(P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{3}{4}\right) + P(X = 0) = \frac{5}{36} + \frac{12}{36} = \frac{17}{36}\)

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।

व्याख्या -

एक यादृच्छिक चर X के लिए जो एक समान (0, 4) बंटन का पालन करता है, X समान प्रायिकता के साथ 0 और 4 के बीच कोई भी मान लेगा।

परिभाषित \(Y = \sqrt(X)\) 0 से 2 तक होगा।

विकल्प (1) - Y का परिसर [0, 2] है

यह कथन सत्य है। \(Y = \sqrt(X)\) 0 (X=0 के लिए) और 2 (X=4 के लिए) के बीच मान लेगा।

विकल्प (2) - X और Y दोनों का माध्य समान है

यह कथन सत्य नहीं है। एक समान बंटन में, माध्य (a + b) / 2 द्वारा दिया जाता है।

X का माध्य (0+4)/2 = 2 होगा, और Y का माध्य (0+2)/2 = 1 होगा, इसलिए उनका माध्य समान नहीं है।

विकल्प (3) - X का प्रसरण Y के प्रसरण से अधिक है

यह कथन सत्य है। प्रसरण माध्य से विचलन को मापता है, और चूँकि X व्यापक परिसर (0 से 4, Y के लिए 0 से 2 के विपरीत) में मान ले सकता है, इसलिए इसका प्रसरण आम तौर पर अधिक होगा।

विकल्प (4) - Y का बंटन भी समान है

यह कथन सत्य नहीं है। जब हम \(\sqrt(X)\) जैसे परिवर्तन को लागू करते हैं, तो परिणामी बंटन Y X के समान गुण को बरकरार नहीं रखेगा।

इसलिए, कथन B और D सत्य नहीं हैं।

इसलिए, सही विकल्प 2 और 4 हैं।