Discrete & Continuous Univariate Distributions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Discrete & Continuous Univariate Distributions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Discrete & Continuous Univariate Distributions MCQ Objective Questions
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 1:
Sθ को वर्ग क्षेत्र मानें जिसके चार शीर्ष (θ, 0), (0, θ), (-θ, 0) तथा (-θ, 0 ) हैं, जहां θ > 0 अज्ञात है। मानें कि \(\left(\begin{array}{l} X \\ Y \end{array}\right)\), Sθ पर एक - समान रूप में बंटन का अनुसरण करता है। निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 1 Detailed Solution
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 2:
मानें कि \(\left(\begin{array}{l} X \\ Y \end{array}\right)\) का द्विचरी घनत्व f = \(\frac{1}{2}\)f1 + \(\frac{1}{2}\)f2 है, जहां f1 तथा f2 क्रमशः द्विचरी प्रसामान्य बंटन वितरण N(μ1, Σ) तथा N(μ2, Σ) है, जबकि μ1 = \(\)\(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\), μ2 = \(\left(\begin{array}{l} -1 \\ -1 \end{array}\right)\)तथा Σ = I2, जो 2 x 2 तत्समक आव्यूह है। तब निम्न में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 2 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 3:
मानें कि X1, ..., X10. निम्न प्रायिकता घनत्व फलन वाले सतत बंटन में से यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका साईज 10 है
\(f_\theta(x)= \begin{cases}e^{(\theta-x)}, & x \geq \theta \\ 0, & \text { otherwise. }\end{cases}\)
यहां θ ∈ R अज्ञात है।
X1, ..., X10 पर आधारित वैकल्पिक परिकल्पना H1 : θ > 3 के विरूद्ध निराकरणीय परिकल्पना H0 : θ ≤ 3 के परीक्षण की समस्या पर सोचिए। मानें कि L(θ) संभाविता फलन इंगित करता है तथा x(1) = min(x1,..., x10) है। निम्न कथनों में से कौन से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 3 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 और 4 हैं
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 4:
मान लीजिये \( (A_1, B_1), …, (A_4, B_4) \) एक सतत द्विचर प्रायिकता फलन \(F_{A, B} \) से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ A और B के सीमांत प्रायिकता फलन क्रमशः \(F_A \) और \( F_B\) हैं। शून्य परिकल्पना \(H_0\): 'A और B स्वतंत्र हैं' का वैकल्पिक परिकल्पना \(H_1\): 'A और B ऋणात्मक रूप से सहसंबंधित हैं' के विरुद्ध परीक्षण करने के लिए, केंडल प्रतिदर्श सहसंबंध सांख्यिकी पर विचार करें
K = \(\rm\displaystyle\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = i+1}^4\) ϕ((Ai, Bi), (Aj, Bj))
जहाँ ϕ((e, f), (g, h)) = \(\begin{cases}1, & \text { यदि } \rm(h−f)(g−e)>0. \\ -1, & \text { यदि }\rm (h−f)(g−e)<0.\end{cases}\)
तो निम्नलिखित में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 4 Detailed Solution
व्याख्या -
(i) यदि K>0, तो शून्य परिकल्पना, H0 को अस्वीकार करें
चूँकि K>0, A और B के बीच (धनात्मक) सहसंबंध को इंगित करता है, यह हमारी शून्य परिकल्पना का खंडन करता है लेकिन ऋणात्मक सहसंबंध की वैकल्पिक परिकल्पना के साथ पूरी तरह से मेल नहीं खाता है। इसलिए, इस संदर्भ में K>0 के तहत H0 को अस्वीकार करना पूरी तरह से पर्याप्त नहीं होगा। इसलिए, यह विकल्प सही नहीं है।
(ii) यदि K<0, तो शून्य परिकल्पना, H0 को अस्वीकार न करें
यदि K<0, तो यह A और B के बीच ऋणात्मक सहसंबंध को इंगित करता है जो हमारी वैकल्पिक परिकल्पना से मेल खाता है। इसलिए, इन परिस्थितियों में, हमें शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना चाहिए, इसे नहीं रखना चाहिए। इसलिए, फिर से यह विकल्प सही नहीं है।
(iii) यदि K>0, तो शून्य परिकल्पना, H0 को अस्वीकार न करें
यह विकल्प सही है। यदि K>0, जो A और B के बीच धनात्मक सहसंबंध का तात्पर्य है, तो यह वैकल्पिक परिकल्पना के विपरीत होगा जो यह सुझाव देता है कि एक ऋणात्मक सहसंबंध है। इसलिए, इस मामले में शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना उचित नहीं होगा जो कहता है कि A और B स्वतंत्र हैं।
(iv) यदि K<0, तो शून्य परिकल्पना,H0 को अस्वीकार करें
यह विकल्प भी सही है क्योंकि जब K<0 (A और B के बीच ऋणात्मक सहसंबंध का तात्पर्य), यह वैकल्पिक परिकल्पना के साथ संरेखित होगा, 'A और B ऋणात्मक रूप से सहसंबंधित हैं'। इसलिए, इन परिस्थितियों में, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करेंगे जो कहता है कि A और B स्वतंत्र हैं।
इसलिए, सही विकल्प (iii) और (iv) हैं।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 5:
मानें कि X1, …, Xn, Xn+1 बहुचर प्रसामान्य समष्टि, Np(μ, Σ); μ ∈ Rp तथा Σ > 0 से लिया आमाप n +1 का यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहां p > 2 तथा n > p + 3 हैं। माने कि X̅n = \(\rm\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{ i =1}^{ n }\) xi तथा (n − 1)S = \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\) (xi − X̅n) (xi − X̅n)T है। निम्न में से कौन से सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 5 Detailed Solution
Top Discrete & Continuous Univariate Distributions MCQ Objective Questions
मानें कि X = (X1, X2)T द्विचर प्रसामान्य बंटन का पालन करता है जबकि माध्य सदिश (0, 0)T तथा सह प्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि
Σ = \(\left[\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{array}\right]\)
Y = (X1, 5 − 2X2)T के माध्य सदिश तथा सह्र-प्रसरण आव्यूह _______ हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
Y = \(\begin{bmatrix}Y_1\\Y_2\end{bmatrix}\) का माध्य सदिश E(Y) = \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) है और Y का सहप्रसरण आव्यूह Σ = \(\begin{bmatrix}var(Y_1)&cov(Y_1, Y_2)\\cov(Y_1, Y_2)&var(Y_2)\end{bmatrix}\) है।
व्याख्या:
दिया गया है कि X = (X1, X2)T का माध्य सदिश (0, 0)T है और सहप्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि Σ = \(\left[\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{array}\right]\)
इसलिए
E(X1) = 0, E(X2) = 0, var(X1) = 5, var(X2) = 10........(i)
cov(X1X2) = cov(X2X1) = -3................................(ii)
अब, cov(X1X2) = -3
⇒ E(X1X2) - E(X1)E(X2) = -3
⇒ E(X1X2) - 0 = -3 (i का उपयोग करके)
⇒ E(X1X2) = -3 ..........(iii)
Y = (X1, 5 − 2X2)T
मान लीजिए Y = (Y1, Y2)T
तो Y1 = X1 और Y2 = 5 − 2X2.......(iv)
अब, E(Y1) = E(X1) = 0 और E(Y2) = 5 - 2E(X2) = 5 - 0 =5
इसलिए Y का माध्य सदिश \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0\\5\end{bmatrix}\).......(v)
साथ ही var(Y1) = var(X1) = 5
var(Y2) = var(5 - 2X2) = 0 + 4var(X2) = 4 × 10 = 40
cov(Y1Y2) = E(Y1Y2) - E(Y1)E(Y2)
= E(5X1 - 2X1X2) - 0 (i और ii का उपयोग करके)
= 5E(X1) - 2E(X1X2) = 0 + 6 = 6 (i और iii का उपयोग करके)
साथ ही cov(Y2Y1) = 6
इसलिए Y का सहप्रसरण आव्यूह \(\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\ 6 & 40\end{array}\right]\) है।
इसलिए विकल्प (4) सही है।
मानें कि θ ∈ R के लिए, X1, X2, …, Xn स्वतंत्र रूप से तथा सर्वथा समवंटित N(θ, 1) यादृच्छिक चर हैं। मानें कि X̅ = n−1 \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^n\) Xi पतिदर्श का माध्य दर्शाता है तथा t0.975, n−1 स्टूडेंट-1 परीक्षण का 0.975 विभाजक दर्शाता है जिसकी n − 1 स्वांत्य कोटि हैं। लिम्न अंतराल के लिए दिये बक्तक्यों मैं से कौन सा सही है
X̅ ± t.975, n−1 \(\rm\frac{1}{\sqrt{n}}\)?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिया गया है कि X1, X2, …, Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित N(θ, 1) हैं
X̅ = n−1 \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^n\) Xi
t0.975, n−1, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाले छात्र के t-वितरण का 0.975-क्वांटाइल दर्शाता है।
इसलिए यहां विश्वास अंतराल 0.975 है जो 0.95 से अधिक है।
इसलिए महत्व का स्तर = 2.25%
इसलिए विकल्प (3) सही है।
मानें कि X = (X1, X2, X3, X4)T का बहुचर प्रसामान्य N4(0, I2 ⊗ Σ) है, जहां I2 तत्समक 2 × 2 आव्यूह है, ⊗ क्रोनेकर गुणनफल है, तथा Σ = \(\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]\) है। परिभाषित करें कि Z = \(\left(\begin{array}{ll} \rm X_1 & \rm X_2 \\ \rm X_3 & \rm X_4\end{array}\right)\) तथा Q = ((Qij)) = ZTZ है। मानें कि \(\rm χ_n^2\) स्यातंत्य कोटि n वाला काई-वर्ग यादृच्छिक विचर, तथा Wm(n, Σ) प्राचलों n एवं Σ के साथ m कोटि का विशार्ट बंटन है। (Q11 + Q12 + Q21 + Q22) का बंटन ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसही उत्तर विकल्प 1 है।
हम मुख्य रूप से अनुप्रयुक्त और शुद्ध गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 9:
मानें कि X = (X1, X2)T द्विचर प्रसामान्य बंटन का पालन करता है जबकि माध्य सदिश (0, 0)T तथा सह प्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि
Σ = \(\left[\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{array}\right]\)
Y = (X1, 5 − 2X2)T के माध्य सदिश तथा सह्र-प्रसरण आव्यूह _______ हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 9 Detailed Solution
अवधारणा:
Y = \(\begin{bmatrix}Y_1\\Y_2\end{bmatrix}\) का माध्य सदिश E(Y) = \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) है और Y का सहप्रसरण आव्यूह Σ = \(\begin{bmatrix}var(Y_1)&cov(Y_1, Y_2)\\cov(Y_1, Y_2)&var(Y_2)\end{bmatrix}\) है।
व्याख्या:
दिया गया है कि X = (X1, X2)T का माध्य सदिश (0, 0)T है और सहप्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि Σ = \(\left[\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{array}\right]\)
इसलिए
E(X1) = 0, E(X2) = 0, var(X1) = 5, var(X2) = 10........(i)
cov(X1X2) = cov(X2X1) = -3................................(ii)
अब, cov(X1X2) = -3
⇒ E(X1X2) - E(X1)E(X2) = -3
⇒ E(X1X2) - 0 = -3 (i का उपयोग करके)
⇒ E(X1X2) = -3 ..........(iii)
Y = (X1, 5 − 2X2)T
मान लीजिए Y = (Y1, Y2)T
तो Y1 = X1 और Y2 = 5 − 2X2.......(iv)
अब, E(Y1) = E(X1) = 0 और E(Y2) = 5 - 2E(X2) = 5 - 0 =5
इसलिए Y का माध्य सदिश \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0\\5\end{bmatrix}\).......(v)
साथ ही var(Y1) = var(X1) = 5
var(Y2) = var(5 - 2X2) = 0 + 4var(X2) = 4 × 10 = 40
cov(Y1Y2) = E(Y1Y2) - E(Y1)E(Y2)
= E(5X1 - 2X1X2) - 0 (i और ii का उपयोग करके)
= 5E(X1) - 2E(X1X2) = 0 + 6 = 6 (i और iii का उपयोग करके)
साथ ही cov(Y2Y1) = 6
इसलिए Y का सहप्रसरण आव्यूह \(\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\ 6 & 40\end{array}\right]\) है।
इसलिए विकल्प (4) सही है।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 10:
मानें कि θ ∈ R के लिए, X1, X2, …, Xn स्वतंत्र रूप से तथा सर्वथा समवंटित N(θ, 1) यादृच्छिक चर हैं। मानें कि X̅ = n−1 \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^n\) Xi पतिदर्श का माध्य दर्शाता है तथा t0.975, n−1 स्टूडेंट-1 परीक्षण का 0.975 विभाजक दर्शाता है जिसकी n − 1 स्वांत्य कोटि हैं। लिम्न अंतराल के लिए दिये बक्तक्यों मैं से कौन सा सही है
X̅ ± t.975, n−1 \(\rm\frac{1}{\sqrt{n}}\)?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है कि X1, X2, …, Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित N(θ, 1) हैं
X̅ = n−1 \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^n\) Xi
t0.975, n−1, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाले छात्र के t-वितरण का 0.975-क्वांटाइल दर्शाता है।
इसलिए यहां विश्वास अंतराल 0.975 है जो 0.95 से अधिक है।
इसलिए महत्व का स्तर = 2.25%
इसलिए विकल्प (3) सही है।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 11:
मानें कि X = (X1, X2, X3, X4)T का बहुचर प्रसामान्य N4(0, I2 ⊗ Σ) है, जहां I2 तत्समक 2 × 2 आव्यूह है, ⊗ क्रोनेकर गुणनफल है, तथा Σ = \(\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]\) है। परिभाषित करें कि Z = \(\left(\begin{array}{ll} \rm X_1 & \rm X_2 \\ \rm X_3 & \rm X_4\end{array}\right)\) तथा Q = ((Qij)) = ZTZ है। मानें कि \(\rm χ_n^2\) स्यातंत्य कोटि n वाला काई-वर्ग यादृच्छिक विचर, तथा Wm(n, Σ) प्राचलों n एवं Σ के साथ m कोटि का विशार्ट बंटन है। (Q11 + Q12 + Q21 + Q22) का बंटन ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 11 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है।
हम मुख्य रूप से अनुप्रयुक्त और शुद्ध गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 12:
Sθ को वर्ग क्षेत्र मानें जिसके चार शीर्ष (θ, 0), (0, θ), (-θ, 0) तथा (-θ, 0 ) हैं, जहां θ > 0 अज्ञात है। मानें कि \(\left(\begin{array}{l} X \\ Y \end{array}\right)\), Sθ पर एक - समान रूप में बंटन का अनुसरण करता है। निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 12 Detailed Solution
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 13:
मानें कि (X1, Y1), …, (X4, Y4) संतत द्विचर बंटन फलन FX, Y के यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं जहां X तथा Y के क्रमशः FX एवं FY सीमांत बंटन हैं। निराकरणीय परिकल्पना H0: 'X तथा Y स्वतंत्र है' को विकल्प H1: 'X तथा Y धनात्मक रूप से सहचारी हैं' के विरूद्ध परीक्षित करने के लिए केंडाल प्रतिदर्श सहसंबंध प्रतिदर्शज पर विचार करें
K = \(\rm\displaystyle\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = i+1}^4\) ψ((Xi, Yi), (Xj, Yj))
जहां
ψ((a, b), (c, d)) = \(\begin{cases}1, & \text { if } \rm (d-b)(c-a)>0 . \\ -1, & \text { if }\rm (d-b)(c-a)<0 .\end{cases}\)
यह मानते हुए कि कोई संबंध नहीं है, निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 13 Detailed Solution
सही उत्तर 2, 3 है।
हम मुख्य रूप से शुद्ध गणित और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
हम संभव होने पर सांख्यिकी के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 14:
मानें कि X1, X2, … स्वतंत्र तथा सर्वथा समत: बंटित N(0, 1) यादृच्छिक चर हैं एवं Yn = \(\rm X_1^4+X_2^4+\ldots+X_n^4\) है। निम्न में से कौन-सी प्रायिकतायें n → ∞ के साथ \(\frac{1}{2}\) को अभिसरित होती हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 14 Detailed Solution
सही विकल्प 2, 4 है।
यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के लिए समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।
हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित भाग पर केंद्रित हैं।
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 15:
मानें कि \(\left(\begin{array}{l} X \\ Y \end{array}\right)\) का द्विचरी घनत्व f = \(\frac{1}{2}\)f1 + \(\frac{1}{2}\)f2 है, जहां f1 तथा f2 क्रमशः द्विचरी प्रसामान्य बंटन वितरण N(μ1, Σ) तथा N(μ2, Σ) है, जबकि μ1 = \(\)\(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\), μ2 = \(\left(\begin{array}{l} -1 \\ -1 \end{array}\right)\)तथा Σ = I2, जो 2 x 2 तत्समक आव्यूह है। तब निम्न में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Discrete & Continuous Univariate Distributions Question 15 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।