द्विघात समीकरण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 7, 2025
Latest Quadratic Equation MCQ Objective Questions
द्विघात समीकरण Question 1:
निम्नलिखित को सरल कीजिए।
(2x +3)2 − (x + 1)2।
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 1 Detailed Solution
दिया गया है:
(2x + 3)2 - (x + 1)2
प्रयुक्त सूत्र:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
गणना:
(2x + 3)2 - (x + 1)2
⇒ [(2x)2 + 2 x 2x x 3 + 32] - [(x)2 + 2 x x x 1 + 12]
⇒ [4x2 + 12x + 9] - [x2 + 2x + 1]
⇒ 4x2 + 12x + 9 - x2 - 2x - 1
⇒ (4x2 - x2) + (12x - 2x) + (9 - 1)
⇒ 3x2 + 10x + 8
∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।
द्विघात समीकरण Question 2:
समीकरण x2 − 2x + 13 = 0 का विविक्तकर क्या है? यह भी निर्धारित करें कि इस समीकरण के कितने वास्तविक हल हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
द्विघात समीकरण x2 - 2x + 13 = 0 है
प्रयुक्त सूत्र:
एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 का विविक्तकर (D) इस प्रकार दिया गया है:
D = b2 - 4ac
जहाँ: a = x2 का गुणांक, b = x का गुणांक, और c = अचर पद।
गणना:
यहाँ, a = 1, b = -2, c = 13
⇒ D = (-2)2 - 4 x 1 x 13
⇒ D = 4 - 52
⇒ D = -48
चूँकि विविक्तकर (D) ऋणात्मक है, इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।
द्विघात समीकरण Question 3:
यदि द्विघात समीकरण 2x2 + Kx + 8 = 0 और 3x2 + 4x + 12 = 0 के दोनों मूल उभयनिष्ठ हैं, तो K का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
द्विघात समीकरण हैं:
1) 2x2 + Kx + 8 = 0
2) 3x2 + 4x + 12 = 0
दोनों समीकरणों के मूल समान हैं।
प्रयुक्त सूत्र:
यदि दो द्विघात समीकरणों के मूल समान हैं, तो उनके गुणांकों के संगत अनुपात समान होने चाहिए:
\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) , जहाँ:
a1, b1, c1 पहले समीकरण के गुणांक हैं और a2, b2, c2 दूसरे समीकरण के गुणांक हैं।
गणना:
गुणांकों की तुलना करने पर:
⇒ \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{K}{4} = \dfrac{8}{12}\)
बराबर करने पर: 2/3 = k/4
⇒ \(\dfrac{K}{4} = \dfrac{2}{3}\)
⇒ K = \(\dfrac{2}{3} \times 4\) = \(\dfrac{8}{3}\)
∴ K का सही मान \(\dfrac{8}{3}\) है, जो विकल्प (4) से मेल खाता है।
द्विघात समीकरण Question 4:
I) x² - 42x + 437 = 0
II) y² - 52y + 667 = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 4 Detailed Solution
गणना:
समीकरण I (x² - 42x + 437 = 0)
x² - 19x - 23x + 437 = 0
(x² - 19x) - (23x - 437) = 0
x(x - 19) - 23(x - 19) = 0
(x - 19)(x - 23) = 0
मूल:
x = 19 या x = 23
समीकरण II (y² - 52y + 667 = 0)
y² - 23y - 29y + 667 = 0
(y² - 23y) - (29y - 667) = 0
y(y - 23) - 29(y - 23) = 0
(y - 23)(y - 29) = 0
मूल:
y = 23 या y = 29
मूलों की तुलना करें
Value of X | Value of Y | |
23 | 23 | x = y |
23 | 29 | x < y |
19 | 23 | x < y |
19 | 29 | x < y |
द्विघात समीकरण Question 5:
I) (X-3)² = 64
II) Y3/16 = 32
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 5 Detailed Solution
गणना:
समीकरण I: (X - 3)² = 64
⇒ दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
X - 3 = ± 8
⇒ X = 3 + 8 = 11 या X = 3 - 8 = -5
⇒ X के मान: -5 और 11
समीकरण II: \(\dfrac{Y^3}{16} = 32 \)
⇒ दोनों पक्षों को 16 से गुणा करने पर:
Y3 = 32 × 16 = 512
⇒ घनमूल लेने पर:
\(Y = \sqrt[3]{512} = 8\)
⇒ Y का मान: 8
अब मानों की तुलना करें:
X के मान: -5 और 11
Y का मान: 8
प्रत्येक X की Y से तुलना करने पर:
11 > 8
-5 < 8
⇒ एक X, Y से बड़ा है, दूसरा छोटा है।
इस प्रकार, सही उत्तर है: C. x = y या संबंध निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
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एक भिन्न और उसके व्युत्क्रम के तिगुने का योग 73/20 है। भिन्न क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFमाना कि भिन्न x है।
व्युत्क्रम = 1/x
तब,
x + 3/x = 73/20
⇒ x2 + 3 = 73x/20
⇒ 20x2 – 73x + 60 = 0
⇒ x = {- (-73) + √ (5329 – 4800)}/40 या x = {- (-73) - √ (5329 – 4800)}/40
⇒ x = 96/40 = 12/5 या x = 50/40 = 5/4
∴ अभीष्ट भिन्न 5/4 या 12/5 है।यदि 3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2 का केवल एक हल (पुनरावृत्त) है, तो a का धनात्मक अभिन्न हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2
⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0
⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0
प्रयुक्त अवधारणा:
यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0
गणना:
⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0
⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0
⇒ a2 + 20a – 44 = 0
⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0
⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0
⇒ a = 2, -22
∴ a का धनात्मक अभिन्न हल = 2यदि समीकरण x2 – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब α/β और β/α मूल वाला समीकरण क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया हुआ:
x2 - x - 1 = 0
उपयोग किया गया सूत्र:
यदि दिए गए समीकरण ax2 + bx + c = 0 है
फिर मूलों का योग = -b/a
मूलों का गुणनफल = c/a
गणना:
चूंकि समीकरण x2 – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब
⇒ α + β = -(-1) = 1
⇒ αβ = -1
अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,
⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)
⇒ मूलों का योग = (α2 + β2)/αβ
⇒ मूलों का योग = {(α + β)2 – 2αβ}/αβ
⇒ मूलों का योग = {(1)2 – 2(-1)}/(-1) = -3
⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1
अब, समीकरण है,
⇒ x2 – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0
मूलों \(2 + \sqrt 5 \) तथा \(2 - \sqrt 5\) के संगत द्विघातीय समीकरण है
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
2 + √5 और 2 - √5 दो मूल हैं
अवधारणा::
x2 - (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
गणना
माना दो मूल A और B हैं।
⇒ A = 2 + √5 और B = 2 - √5
⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4
⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1
तो समीकरण है,
∴ x2 - 4x - 1 = 0
द्विघात समीकरण, ax2 + bx + c = 0, के लिए
मूलों का योग = (-b/a) = 4/1
मूलों का गुणनफल = c/a = -1/1
तो, b = -4
अत: x के गुणांक का चिह्न ऋणात्मक है।
यदि 3x2 + ax + 4, x – 5 से पूर्णतया विभाज्य है, तो a का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFGiven our polynomial is (3x2 + ax + 4) and it is perfectly divisible by (x - 5), the remainder is (0) when (x = 5).
So, let's substitute (x = 5) into (3x2 + ax + 4) and set it equal to (0):
[3(5)2 + a(5) + 4 = 0]
[3(25) + 5a + 4 = 0]
[75 + 5a + 4 = 0]
[79 + 5a = 0]
Solving for (a), we get:
[5a = -79]
[a = -79/5
[a = -15.8]
∴ The value of (a) is (-15.8).
Alternate Method 3x2 + ax + 4, x – 5 से पूर्णतया विभाज्य है,
⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0
⇒ 5a = -79
∴ a = -15.8समीकरण 5x2 + 2x + Q = 2 का एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम है। Q2 का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
5x2 + 2x + Q = 2
दिया गया है α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)
अवधारणा:
द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।
माना उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल α और β हैं।
मूलों का योग निम्न प्रकार दिया जाता है:
α + β = − b/a = −(x का गुणांक/x2 का गुणांक)
मूलों का गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है:
α × β = c/a = (नियतांक पद/x2 का गुणांक)
गणना:
माना 5x2 + 2x + Q -2 = 0 के मूल α और β हैं।
प्रश्न के अनुसार,
α = 1/β
⇒ α.β = 1
सामान्य समीकरण से तुलना करें ax2 + bx + c = 0
a = 5, b = 2, c = Q - 2
⇒ (Q – 2)/5 = 1
⇒ Q - 2 = 5
⇒ Q = 7
अतः, Q2 = 72 = 49.
k का वह मान कौन-सा है, जिसके लिए द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0 के मूल बराबर हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0
प्रयुक्त सूत्र:
b2 = 4ac
गणना:
kx(x – 2) + 6 = 0
⇒ kx2 – 2kx + 6 = 0
चूंकि मूल बराबर हैं
⇒ b2 = 4ac
⇒ (-2k)2 = 4 × k × 6
⇒ 4k2 = 4k(6)
⇒ k = 6
∴ k का मान 6 है।
बहुपद 6x2 + 3x2 – 5x + 1 के शून्यकों के मानों के व्युत्क्रम का योगफल कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया:
6x2 + 3x2 – 5x + 1
गणना:
6x2 + 3x2 – 5x + 1
⇒ 9x2 – 5x + 1
माना a और b समीकरण के दो मूल हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि,
मूलों का योगफल (α + β) = (-b)/a = 5/9
मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 1/9
प्रश्नानुसार,
⇒ 1/α + 1/β
⇒ (α + β)/αβ
⇒ [5/9] / [1/9] = 5
समीकरण ax2 + x + b के मूलवर्ग बराबर होंगे यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया हुआ:
दिए गए समीकरण ax2 + x + b = 0 है
उपयोग की गई अवधारणा:
द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax2 + x + b = 0 है
मूल के लिए स्थिति,
समान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac = 0
असमान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac > 0
काल्पनिक मूल के लिए, b2 – 4ac < 0
गणना:
समान और वास्तविक जड़ों के लिए, b2 – 4ac = 0
⇒ b2 = 4ac
द्विघात समीकरण के सामान्य रूप की तुलना करने के बाद हम प्राप्त करेंगे
b = 1, a = a and c = b
Then, b2 = 4ac
⇒ 1 = 4ab
⇒ ab = 1/4
∴ सही संबंध ab = 1/4 है
यदि x4 + y4 + z4 = 3(14 + 9.8xyz), जहां (x ≠ 0);
P = x2 + y2 - z2
Q = - x2 + y2 + z2
R = x2 - y2 + z2
तो (P - Q + R)2 - (P2 + Q2 + R2) का मान ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया:
x4 + y4 + z4 = 3(14 + 9.8xyz);
P = x2 + y2 - z2; Q = - x2 + y2 + z2; R = x2 - y2 + z2
y = z = 0 रखें
x4 = 42
⇒ P = x2
⇒ Q = - x2
⇒ R = x2
अब,
(P - Q + R)2 - (P2 + Q2 + R2)
⇒ (x2 - (-x2) + x2)2 - [(x2)2 + (-x2)2 + (x2)2]
⇒ (x2 + x2 + x2)2 - [x4 + x4 + x4]
⇒ (3x2)2 - (3x4)
⇒ 9x4 - 3x4
⇒ 6x4 = 6 × 42 = 252
∴ सही उत्तर 252 है।