द्विघात समीकरण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

समीकरण I: 12x² + 7x − 12 = 0

⇒ विविक्तकर = 7² − 4 x 12 x (−12) = 49 + 576 = 625, √625 = 25

⇒ x = [−7 ± 25] ÷ (2 x 12) = [−7 ± 25] ÷ 24

x₁ = (18) ÷ 24 = 3/4 = 0.75

x₂ = (−32) ÷ 24 = −4/3 ≈ −1.333

समीकरण II: 8y² − 18y + 9 = 0

⇒ विविक्तकर = (−18)² − 4 x 8 x 9 = 324 − 288 = 36, √36 = 6

⇒ y = [18 ± 6] ÷ (2 x 8) = [18 ± 6] ÷ 16

y₁ = 24 ÷ 16 = 3/2 = 1.5

y₂ = 12 ÷ 16 = 3/4 = 0.75

मूलों की तुलना:

x₂ = −1.333 < y₂ = 0.75

x₁ = 0.75 = y₂ = 0.75

x₁ = 0.75 < y₁ = 1.5

x₂ = −1.333 < y₁ = 1.5

सभी x-मान, सभी y-मानों से ≤ हैं।

इस प्रकार, सही उत्तर x ≤ y है।

समीकरण I: x² − 35x + 294 = 0

⇒ विविक्तकर = 35² − 4x294 = 1225 − 1176 = 49

⇒ मूल: x = [35 ± 7] ÷ 2 ⇒ x = 21 या 14

समीकरण II: y² − 38y + 345 = 0

⇒ विविक्तकर = 38² − 4x345 = 1444 − 1380 = 64

⇒ मूल: y = [38 ± 8] ÷ 2 ⇒ y = 23 या 15

संभावित मान:

x ∈ {14, 21}

y ∈ {15, 23}

चूँकि, कभी-कभी x < y (जैसे 14 < 15) और कभी-कभी x > y (जैसे 21 > 15), इसलिए x और y के बीच का संबंध विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

इस प्रकार, सही उत्तर है x = y या संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

समीकरण I: x² − 22x + 105 = 0

दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल = 105 और योग = 22 हो:

⇒ गुणनखंड: (x − 15)(x − 7) = 0

⇒ x = 15, 7

समीकरण II: y² − 20y + 96 = 0

दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल = 96 और योग = 20 हो:

⇒ गुणनखंड: (y − 12)(y − 8) = 0

⇒ y = 12, 8

मूलों की तुलना करते हैं:

x₁ = 15 बनाम y₁ = 12 ⇒ x > y

x₂ = 7 बनाम y₂ = 8 ⇒ x < y

चूँकि, एक x > y और एक x < y ⇒ संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

अतः, सही उत्तर x = y है या संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

समीकरण I: x² − 11x + 24 = 0

गुणनखंड: दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल 24 हो और योग −11 हो

⇒ (x − 3)(x − 8) = 0

⇒ x = 3, 8

समीकरण II: y² + 6y − 135 = 0

गुणनखंड: दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल −135 हो और योग 6 हो

⇒ (y + 15)(y − 9) = 0

⇒ y = −15, 9

अब तुलना करने पर:

x = 3, 8

y = −15, 9

प्रत्येक x की तुलना दोनों y मानों से करने पर:

3 < 9 और 3 > −15

8 < 9 और 8 > −15

इसलिए: x एक स्थिति में y से कम है और दूसरी स्थिति में अधिक → कोई निश्चित संबंध नहीं है 

अतः, सही उत्तर x = y है या संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

समीकरण I: 4x² − 25 = 0

⇒ 4x² = 25 ⇒ x² = 25⁄4 ⇒ x = ±5⁄2

समीकरण II: y² − 10y + 25 = 0

⇒ (y − 5)² = 0 ⇒ y = 5

x के संभावित मान: −2.5 और 2.5

y = 5

दोनों −2.5 < 5 और 2.5 < 5 ⇒ प्रत्येक स्थिति में x < y

इस प्रकार, सही उत्तर x < y है।

माना कि भिन्न x है।

व्युत्क्रम = 1/x

तब,

x + 3/x = 73/20

⇒ x² + 3 = 73x/20

⇒ 20x² – 73x + 60 = 0

⇒ x = {- (-73) + √ (5329 – 4800)}/40     या        x = {- (-73) - √ (5329 – 4800)}/40

⇒ x = 96/40 = 12/5                                या        x = 50/40 = 5/4

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

दिया हुआ:

x² - x - 1 = 0

उपयोग किया गया सूत्र:

यदि दिए गए समीकरण ax² + bx + c = 0 है

फिर मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

चूंकि समीकरण x² – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,

⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)

⇒ मूलों का योग = (α² + β²)/αβ

⇒ मूलों का योग = {(α + β)² – 2αβ}/αβ

⇒ मूलों का योग = {(1)² – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1

अब, समीकरण है,

⇒ x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

दिया गया है:

2 + √5 और 2 - √5 दो मूल हैं

अवधारणा:: 

x2 - (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

गणना

माना दो मूल A और B हैं।

⇒ A = 2 + √5 और B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

तो समीकरण है,

∴ x2 - 4x - 1 = 0

द्विघात समीकरण, ax2 + bx + c = 0, के लिए

मूलों का योग = (-b/a) = 4/1

मूलों का गुणनफल = c/a = -1/1

तो, b = -4

अत: x के गुणांक का चिह्न ऋणात्मक है।  

Given our polynomial is (3x2 + ax + 4) and it is perfectly divisible by (x - 5), the remainder is (0) when (x = 5).

So, let's substitute (x = 5) into (3x2 + ax + 4) and set it equal to (0):

[3(5)2 + a(5) + 4 = 0]

[3(25) + 5a + 4 = 0]

[75 + 5a + 4 = 0]

[79 + 5a = 0]

Solving for (a), we get:

[5a = -79]

[a = -79/5

[a = -15.8]

∴ The value of (a) is (-15.8).

Alternate Method 3x² + ax + 4, x – 5 से पूर्णतया विभाज्य है,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

दिया गया है:

द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0 

प्रयुक्त सूत्र:

b² = 4ac

गणना:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx² – 2kx + 6 = 0

चूंकि मूल बराबर हैं

⇒ b² = 4ac

⇒ (-2k)² = 4 × k × 6

⇒ 4k² = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k का मान 6 है।

दिया गया है:

5x2 + 2x + Q = 2

दिया गया है α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

अवधारणा:

द्विघात समीकरण के मानक रूप ax² + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल α और β हैं।

मूलों का योग निम्न प्रकार दिया जाता है:

α + β = − b/a = −(x का गुणांक/x² का गुणांक)

मूलों का गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है:

α × β = c/a = (नियतांक पद/x² का गुणांक)

गणना:

माना 5x² + 2x + Q -2 = 0 के मूल α और β हैं।

प्रश्न के अनुसार,

α = 1/β 

⇒  α.β = 1 

सामान्य समीकरण से तुलना करें ax² + bx + c = 0

a = 5, b = 2, c = Q - 2

⇒  (Q – 2)/5 = 1

⇒ Q - 2 = 5

⇒ Q = 7

अतः, Q² = 72 = 49.

दिया गया:
6x2 + 3x2 – 5x + 1

गणना:

6x2 + 3x2 – 5x + 1

⇒ 9x2 – 5x + 1

माना a और b समीकरण के दो मूल हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि,

मूलों का योगफल (α + β) = (-b)/a = 5/9

मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 1/9

प्रश्नानुसार,

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

⇒ [5/9] / [1/9] = 5

दिया हुआ:

दिए गए समीकरण ax2 + x + b = 0 है

उपयोग की गई अवधारणा:

द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax2 + x + b = 0 है

मूल के लिए स्थिति,

समान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac = 0 

असमान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac > 0 

काल्पनिक मूल के लिए, b2 – 4ac < 0 

गणना:

समान और वास्तविक जड़ों के लिए, b2 – 4ac = 0 

⇒ b2 = 4ac

द्विघात समीकरण के सामान्य रूप की तुलना करने के बाद हम प्राप्त करेंगे

b = 1, a = a and c = b

Then, b2 = 4ac

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

∴ सही संबंध ab = 1/4 है

दिया गया:

x4 + y4 + z4 = 3(14 + 9.8xyz);

P = x2 + y2 - z2; Q = - x2 + y2 + z2; R = x2 - y2 + z2

y = z = 0 रखें

x4 = 42

⇒ P = x2

⇒ Q = - x2

⇒ R = x2

अब,

(P - Q + R)2 - (P2 + Q2 + R2)

⇒ (x2 - (-x2) + x2)2 - [(x2)2 + (-x2)2 + (x2)2]

⇒ (x2 + x2 + x2)2 - [x4 + x4 + x4]

⇒ (3x2)2 - (3x4)

⇒ 9x4 - 3x4

⇒ 6x4 = 6 × 42 = 252

∴ सही उत्तर 252 है।