द्विघात समीकरण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 14, 2025
Latest Quadratic Equation MCQ Objective Questions
द्विघात समीकरण Question 1:
निर्देश: दिए गए प्रश्न में, दो समीकरण I और II दिए गए हैं। दोनों समीकरणों को हल करें और उपयुक्त उत्तर चिह्नित करें।
I. 12x² + 7x − 12 = 0
II. 8y² − 18y + 9 = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 1 Detailed Solution
समीकरण I: 12x² + 7x − 12 = 0
⇒ विविक्तकर = 7² − 4 x 12 x (−12) = 49 + 576 = 625, √625 = 25
⇒ x = [−7 ± 25] ÷ (2 x 12) = [−7 ± 25] ÷ 24
x₁ = (18) ÷ 24 = 3/4 = 0.75
x₂ = (−32) ÷ 24 = −4/3 ≈ −1.333
समीकरण II: 8y² − 18y + 9 = 0
⇒ विविक्तकर = (−18)² − 4 x 8 x 9 = 324 − 288 = 36, √36 = 6
⇒ y = [18 ± 6] ÷ (2 x 8) = [18 ± 6] ÷ 16
y₁ = 24 ÷ 16 = 3/2 = 1.5
y₂ = 12 ÷ 16 = 3/4 = 0.75
मूलों की तुलना:
x₂ = −1.333 < y₂ = 0.75
x₁ = 0.75 = y₂ = 0.75
x₁ = 0.75 < y₁ = 1.5
x₂ = −1.333 < y₁ = 1.5
सभी x-मान, सभी y-मानों से ≤ हैं।
इस प्रकार, सही उत्तर x ≤ y है।
द्विघात समीकरण Question 2:
निर्देश: दिए गए प्रश्न में, दो समीकरण I और II दिए गए हैं। दोनों समीकरणों को हल करें और उपयुक्त उत्तर चिह्नित करें।
I. x² − 35x + 294 = 0
II. y² − 38y + 345 = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 2 Detailed Solution
समीकरण I: x² − 35x + 294 = 0
⇒ विविक्तकर = 35² − 4x294 = 1225 − 1176 = 49
⇒ मूल: x = [35 ± 7] ÷ 2 ⇒ x = 21 या 14
समीकरण II: y² − 38y + 345 = 0
⇒ विविक्तकर = 38² − 4x345 = 1444 − 1380 = 64
⇒ मूल: y = [38 ± 8] ÷ 2 ⇒ y = 23 या 15
संभावित मान:
x ∈ {14, 21}
y ∈ {15, 23}
चूँकि, कभी-कभी x < y (जैसे 14 < 15) और कभी-कभी x > y (जैसे 21 > 15), इसलिए x और y के बीच का संबंध विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
इस प्रकार, सही उत्तर है x = y या संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।
द्विघात समीकरण Question 3:
निर्देश: दिए गए प्रश्न में, दो समीकरण I और II दिए गए हैं। दोनों समीकरणों को हल करें और उपयुक्त उत्तर चिह्नित करें।
I. x² − 22x + 105 = 0
II. y² − 20y + 96 = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 3 Detailed Solution
समीकरण I: x² − 22x + 105 = 0
दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल = 105 और योग = 22 हो:
⇒ गुणनखंड: (x − 15)(x − 7) = 0
⇒ x = 15, 7
समीकरण II: y² − 20y + 96 = 0
दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल = 96 और योग = 20 हो:
⇒ गुणनखंड: (y − 12)(y − 8) = 0
⇒ y = 12, 8
मूलों की तुलना करते हैं:
x₁ = 15 बनाम y₁ = 12 ⇒ x > y
x₂ = 7 बनाम y₂ = 8 ⇒ x < y
चूँकि, एक x > y और एक x < y ⇒ संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।
अतः, सही उत्तर x = y है या संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।
द्विघात समीकरण Question 4:
निर्देश: दिए गए प्रश्न में, दो समीकरण I और II दिए गए हैं। दोनों समीकरणों को हल करें और उपयुक्त उत्तर चिह्नित करें।
I. x² − 11x + 24 = 0
II. y² + 6y − 135 = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 4 Detailed Solution
समीकरण I: x² − 11x + 24 = 0
गुणनखंड: दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल 24 हो और योग −11 हो
⇒ (x − 3)(x − 8) = 0
⇒ x = 3, 8
समीकरण II: y² + 6y − 135 = 0
गुणनखंड: दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल −135 हो और योग 6 हो
⇒ (y + 15)(y − 9) = 0
⇒ y = −15, 9
अब तुलना करने पर:
x = 3, 8
y = −15, 9
प्रत्येक x की तुलना दोनों y मानों से करने पर:
3 < 9 और 3 > −15
8 < 9 और 8 > −15
इसलिए: x एक स्थिति में y से कम है और दूसरी स्थिति में अधिक → कोई निश्चित संबंध नहीं है
अतः, सही उत्तर x = y है या संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।
द्विघात समीकरण Question 5:
निर्देश: दिए गए प्रश्न में, दो समीकरण I और II दिए गए हैं। दोनों समीकरणों को हल करें और उपयुक्त उत्तर चिह्नित करें।
I. 4x² − 25 = 0
II. y² − 10y + 25 = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 5 Detailed Solution
समीकरण I: 4x² − 25 = 0
⇒ 4x² = 25 ⇒ x² = 25⁄4 ⇒ x = ±5⁄2
समीकरण II: y² − 10y + 25 = 0
⇒ (y − 5)² = 0 ⇒ y = 5
x के संभावित मान: −2.5 और 2.5
y = 5
दोनों −2.5 < 5 और 2.5 < 5 ⇒ प्रत्येक स्थिति में x < y
इस प्रकार, सही उत्तर x < y है।
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एक भिन्न और उसके व्युत्क्रम के तिगुने का योग 73/20 है। भिन्न क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFमाना कि भिन्न x है।
व्युत्क्रम = 1/x
तब,
x + 3/x = 73/20
⇒ x2 + 3 = 73x/20
⇒ 20x2 – 73x + 60 = 0
⇒ x = {- (-73) + √ (5329 – 4800)}/40 या x = {- (-73) - √ (5329 – 4800)}/40
⇒ x = 96/40 = 12/5 या x = 50/40 = 5/4
∴ अभीष्ट भिन्न 5/4 या 12/5 है।यदि 3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2 का केवल एक हल (पुनरावृत्त) है, तो a का धनात्मक अभिन्न हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2
⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0
⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0
प्रयुक्त अवधारणा:
यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0
गणना:
⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0
⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0
⇒ a2 + 20a – 44 = 0
⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0
⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0
⇒ a = 2, -22
∴ a का धनात्मक अभिन्न हल = 2यदि समीकरण x2 – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब α/β और β/α मूल वाला समीकरण क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया हुआ:
x2 - x - 1 = 0
उपयोग किया गया सूत्र:
यदि दिए गए समीकरण ax2 + bx + c = 0 है
फिर मूलों का योग = -b/a
मूलों का गुणनफल = c/a
गणना:
चूंकि समीकरण x2 – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब
⇒ α + β = -(-1) = 1
⇒ αβ = -1
अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,
⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)
⇒ मूलों का योग = (α2 + β2)/αβ
⇒ मूलों का योग = {(α + β)2 – 2αβ}/αβ
⇒ मूलों का योग = {(1)2 – 2(-1)}/(-1) = -3
⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1
अब, समीकरण है,
⇒ x2 – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0
मूलों \(2 + \sqrt 5 \) तथा \(2 - \sqrt 5\) के संगत द्विघातीय समीकरण है
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
2 + √5 और 2 - √5 दो मूल हैं
अवधारणा::
x2 - (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
गणना
माना दो मूल A और B हैं।
⇒ A = 2 + √5 और B = 2 - √5
⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4
⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1
तो समीकरण है,
∴ x2 - 4x - 1 = 0
द्विघात समीकरण, ax2 + bx + c = 0, के लिए
मूलों का योग = (-b/a) = 4/1
मूलों का गुणनफल = c/a = -1/1
तो, b = -4
अत: x के गुणांक का चिह्न ऋणात्मक है।
यदि 3x2 + ax + 4, x – 5 से पूर्णतया विभाज्य है, तो a का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFGiven our polynomial is (3x2 + ax + 4) and it is perfectly divisible by (x - 5), the remainder is (0) when (x = 5).
So, let's substitute (x = 5) into (3x2 + ax + 4) and set it equal to (0):
[3(5)2 + a(5) + 4 = 0]
[3(25) + 5a + 4 = 0]
[75 + 5a + 4 = 0]
[79 + 5a = 0]
Solving for (a), we get:
[5a = -79]
[a = -79/5
[a = -15.8]
∴ The value of (a) is (-15.8).
Alternate Method 3x2 + ax + 4, x – 5 से पूर्णतया विभाज्य है,
⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0
⇒ 5a = -79
∴ a = -15.8k का वह मान कौन-सा है, जिसके लिए द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0 के मूल बराबर हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0
प्रयुक्त सूत्र:
b2 = 4ac
गणना:
kx(x – 2) + 6 = 0
⇒ kx2 – 2kx + 6 = 0
चूंकि मूल बराबर हैं
⇒ b2 = 4ac
⇒ (-2k)2 = 4 × k × 6
⇒ 4k2 = 4k(6)
⇒ k = 6
∴ k का मान 6 है।
समीकरण 5x2 + 2x + Q = 2 का एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम है। Q2 का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
5x2 + 2x + Q = 2
दिया गया है α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)
अवधारणा:
द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।
माना उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल α और β हैं।
मूलों का योग निम्न प्रकार दिया जाता है:
α + β = − b/a = −(x का गुणांक/x2 का गुणांक)
मूलों का गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है:
α × β = c/a = (नियतांक पद/x2 का गुणांक)
गणना:
माना 5x2 + 2x + Q -2 = 0 के मूल α और β हैं।
प्रश्न के अनुसार,
α = 1/β
⇒ α.β = 1
सामान्य समीकरण से तुलना करें ax2 + bx + c = 0
a = 5, b = 2, c = Q - 2
⇒ (Q – 2)/5 = 1
⇒ Q - 2 = 5
⇒ Q = 7
अतः, Q2 = 72 = 49.
बहुपद 6x2 + 3x2 – 5x + 1 के शून्यकों के मानों के व्युत्क्रम का योगफल कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 13 Detailed Solution
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6x2 + 3x2 – 5x + 1
गणना:
6x2 + 3x2 – 5x + 1
⇒ 9x2 – 5x + 1
माना a और b समीकरण के दो मूल हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि,
मूलों का योगफल (α + β) = (-b)/a = 5/9
मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 1/9
प्रश्नानुसार,
⇒ 1/α + 1/β
⇒ (α + β)/αβ
⇒ [5/9] / [1/9] = 5
समीकरण ax2 + x + b के मूलवर्ग बराबर होंगे यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया हुआ:
दिए गए समीकरण ax2 + x + b = 0 है
उपयोग की गई अवधारणा:
द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax2 + x + b = 0 है
मूल के लिए स्थिति,
समान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac = 0
असमान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac > 0
काल्पनिक मूल के लिए, b2 – 4ac < 0
गणना:
समान और वास्तविक जड़ों के लिए, b2 – 4ac = 0
⇒ b2 = 4ac
द्विघात समीकरण के सामान्य रूप की तुलना करने के बाद हम प्राप्त करेंगे
b = 1, a = a and c = b
Then, b2 = 4ac
⇒ 1 = 4ab
⇒ ab = 1/4
∴ सही संबंध ab = 1/4 है
यदि x4 + y4 + z4 = 3(14 + 9.8xyz), जहां (x ≠ 0);
P = x2 + y2 - z2
Q = - x2 + y2 + z2
R = x2 - y2 + z2
तो (P - Q + R)2 - (P2 + Q2 + R2) का मान ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Quadratic Equation Question 15 Detailed Solution
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x4 + y4 + z4 = 3(14 + 9.8xyz);
P = x2 + y2 - z2; Q = - x2 + y2 + z2; R = x2 - y2 + z2
y = z = 0 रखें
x4 = 42
⇒ P = x2
⇒ Q = - x2
⇒ R = x2
अब,
(P - Q + R)2 - (P2 + Q2 + R2)
⇒ (x2 - (-x2) + x2)2 - [(x2)2 + (-x2)2 + (x2)2]
⇒ (x2 + x2 + x2)2 - [x4 + x4 + x4]
⇒ (3x2)2 - (3x4)
⇒ 9x4 - 3x4
⇒ 6x4 = 6 × 42 = 252
∴ सही उत्तर 252 है।