द्विघात समीकरण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

(2x + 3)² - (x + 1)²

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

गणना:

(2x + 3)² - (x + 1)²

⇒ [(2x)² + 2 x 2x x 3 + 3²] - [(x)² + 2 x x x 1 + 1²]

⇒ [4x² + 12x + 9] - [x² + 2x + 1]

⇒ 4x² + 12x + 9 - x² - 2x - 1

⇒ (4x² - x²) + (12x - 2x) + (9 - 1)

⇒ 3x² + 10x + 8

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

द्विघात समीकरण x² - 2x + 13 = 0 है

प्रयुक्त सूत्र:

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर (D) इस प्रकार दिया गया है:

D = b² - 4ac

जहाँ: a = x² का गुणांक, b = x का गुणांक, और c = अचर पद।

गणना:

यहाँ, a = 1, b = -2, c = 13

⇒ D = (-2)² - 4 x 1 x 13

⇒ D = 4 - 52

⇒ D = -48

चूँकि विविक्तकर (D) ऋणात्मक है, इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

द्विघात समीकरण हैं:

1) 2x² + Kx + 8 = 0

2) 3x² + 4x + 12 = 0

दोनों समीकरणों के मूल समान हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि दो द्विघात समीकरणों के मूल समान हैं, तो उनके गुणांकों के संगत अनुपात समान होने चाहिए:

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) , जहाँ:

a₁, b₁, c₁ पहले समीकरण के गुणांक हैं और a₂, b₂, c₂ दूसरे समीकरण के गुणांक हैं।

गणना:

गुणांकों की तुलना करने पर:

⇒ \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{K}{4} = \dfrac{8}{12}\)

बराबर करने पर: 2/3 = k/4

⇒ \(\dfrac{K}{4} = \dfrac{2}{3}\)

⇒ K = \(\dfrac{2}{3} \times 4\) = \(\dfrac{8}{3}\)

∴ K का सही मान \(\dfrac{8}{3}\) है, जो विकल्प (4) से मेल खाता है।

गणना:

समीकरण I (x² - 42x + 437 = 0)

x² - 19x - 23x + 437 = 0

(x² - 19x) - (23x - 437) = 0

x(x - 19) - 23(x - 19) = 0

(x - 19)(x - 23) = 0

मूल:

x = 19 या x = 23

समीकरण II (y² - 52y + 667 = 0)

y² - 23y - 29y + 667 = 0

(y² - 23y) - (29y - 667) = 0

y(y - 23) - 29(y - 23) = 0

(y - 23)(y - 29) = 0

मूल:
y = 23 या y = 29

मूलों की तुलना करें 

गणना:

समीकरण I: (X - 3)² = 64

⇒ दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

X - 3 = ± 8

⇒ X = 3 + 8 = 11 या X = 3 - 8 = -5

⇒ X के मान: -5 और 11

समीकरण II: \(\dfrac{Y^3}{16} = 32 \)

⇒ दोनों पक्षों को 16 से गुणा करने पर:

Y³ = 32 × 16 = 512

⇒ घनमूल लेने पर:

\(Y = \sqrt[3]{512} = 8\)

⇒ Y का मान: 8

अब मानों की तुलना करें:

X के मान: -5 और 11

Y का मान: 8

प्रत्येक X की Y से तुलना करने पर:

11 > 8

-5 < 8

⇒ एक X, Y से बड़ा है, दूसरा छोटा है।

इस प्रकार, सही उत्तर है: C. x = y या संबंध निर्धारित नहीं किया जा सकता है। 

माना कि भिन्न x है।

व्युत्क्रम = 1/x

तब,

x + 3/x = 73/20

⇒ x² + 3 = 73x/20

⇒ 20x² – 73x + 60 = 0

⇒ x = {- (-73) + √ (5329 – 4800)}/40     या        x = {- (-73) - √ (5329 – 4800)}/40

⇒ x = 96/40 = 12/5                                या        x = 50/40 = 5/4

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

दिया हुआ:

x² - x - 1 = 0

उपयोग किया गया सूत्र:

यदि दिए गए समीकरण ax² + bx + c = 0 है

फिर मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

चूंकि समीकरण x² – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,

⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)

⇒ मूलों का योग = (α² + β²)/αβ

⇒ मूलों का योग = {(α + β)² – 2αβ}/αβ

⇒ मूलों का योग = {(1)² – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1

अब, समीकरण है,

⇒ x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

दिया गया है:

2 + √5 और 2 - √5 दो मूल हैं

अवधारणा:: 

x2 - (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

गणना

माना दो मूल A और B हैं।

⇒ A = 2 + √5 और B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

तो समीकरण है,

∴ x2 - 4x - 1 = 0

द्विघात समीकरण, ax2 + bx + c = 0, के लिए

मूलों का योग = (-b/a) = 4/1

मूलों का गुणनफल = c/a = -1/1

तो, b = -4

अत: x के गुणांक का चिह्न ऋणात्मक है।  

Given our polynomial is (3x2 + ax + 4) and it is perfectly divisible by (x - 5), the remainder is (0) when (x = 5).

So, let's substitute (x = 5) into (3x2 + ax + 4) and set it equal to (0):

[3(5)2 + a(5) + 4 = 0]

[3(25) + 5a + 4 = 0]

[75 + 5a + 4 = 0]

[79 + 5a = 0]

Solving for (a), we get:

[5a = -79]

[a = -79/5

[a = -15.8]

∴ The value of (a) is (-15.8).

Alternate Method 3x² + ax + 4, x – 5 से पूर्णतया विभाज्य है,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

दिया गया है:

5x2 + 2x + Q = 2

दिया गया है α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

अवधारणा:

द्विघात समीकरण के मानक रूप ax² + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल α और β हैं।

मूलों का योग निम्न प्रकार दिया जाता है:

α + β = − b/a = −(x का गुणांक/x² का गुणांक)

मूलों का गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है:

α × β = c/a = (नियतांक पद/x² का गुणांक)

गणना:

माना 5x² + 2x + Q -2 = 0 के मूल α और β हैं।

प्रश्न के अनुसार,

α = 1/β 

⇒  α.β = 1 

सामान्य समीकरण से तुलना करें ax² + bx + c = 0

a = 5, b = 2, c = Q - 2

⇒  (Q – 2)/5 = 1

⇒ Q - 2 = 5

⇒ Q = 7

अतः, Q² = 72 = 49.

दिया गया है:

द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0 

प्रयुक्त सूत्र:

b² = 4ac

गणना:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx² – 2kx + 6 = 0

चूंकि मूल बराबर हैं

⇒ b² = 4ac

⇒ (-2k)² = 4 × k × 6

⇒ 4k² = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k का मान 6 है।

दिया गया:
6x2 + 3x2 – 5x + 1

गणना:

6x2 + 3x2 – 5x + 1

⇒ 9x2 – 5x + 1

माना a और b समीकरण के दो मूल हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि,

मूलों का योगफल (α + β) = (-b)/a = 5/9

मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 1/9

प्रश्नानुसार,

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

⇒ [5/9] / [1/9] = 5

दिया हुआ:

दिए गए समीकरण ax2 + x + b = 0 है

उपयोग की गई अवधारणा:

द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax2 + x + b = 0 है

मूल के लिए स्थिति,

समान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac = 0 

असमान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac > 0 

काल्पनिक मूल के लिए, b2 – 4ac < 0 

गणना:

समान और वास्तविक जड़ों के लिए, b2 – 4ac = 0 

⇒ b2 = 4ac

द्विघात समीकरण के सामान्य रूप की तुलना करने के बाद हम प्राप्त करेंगे

b = 1, a = a and c = b

Then, b2 = 4ac

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

∴ सही संबंध ab = 1/4 है

दिया गया:

x4 + y4 + z4 = 3(14 + 9.8xyz);

P = x2 + y2 - z2; Q = - x2 + y2 + z2; R = x2 - y2 + z2

y = z = 0 रखें

x4 = 42

⇒ P = x2

⇒ Q = - x2

⇒ R = x2

अब,

(P - Q + R)2 - (P2 + Q2 + R2)

⇒ (x2 - (-x2) + x2)2 - [(x2)2 + (-x2)2 + (x2)2]

⇒ (x2 + x2 + x2)2 - [x4 + x4 + x4]

⇒ (3x2)2 - (3x4)

⇒ 9x4 - 3x4

⇒ 6x4 = 6 × 42 = 252

∴ सही उत्तर 252 है।