सर्वसमिकाएँ MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

मान लीजिए, a = 0 और b = 1

\(x=a+b+\frac{(a-b)^2}{4 a+4 b}\)

⇒ \(x=0+1+\frac{(0-1)^2}{0+4 \times1}\)

⇒ \(x=\frac{5}{4}\)

पुनः,

\(y=\frac{a+b}{4}+\frac{a b}{a+b}\)

⇒ \(y=\frac{0+1}{4}+0\)

⇒ \(y=\frac{1}{4}\)

अब,

(x - a)2 - (y - b)2 = \((\frac{5}{4}-0)^2 - (\frac{1}{4}-1)^2\)

⇒ \((\frac{25}{16})-(\frac{9}{16}) =\frac{25-9}{16} = 1\)

साथ ही, b2 = (1)2 = 1

∴ अभीष्ट मान b2 है।

दिया गया है:

a = 8√6 - 8√5

b = 8√6 + 8√5

c = 6√6 + 6√5

d = 4√6 + 4√5

e = √6 + √5

प्रयुक्त सूत्र:

यदि किसी संख्या में वर्गमूल (√) पद नहीं है, तो वह परिमेय संख्या होती है।

गणना:

प्रत्येक युग्म की जाँच करते हैं:

1. a × b:

a × b = (8√6 - 8√5)(8√6 + 8√5)

⇒ a × b = (8√6)² - (8√5)²

⇒ a × b = 64 × 6 - 64 × 5

⇒ a × b = 384 - 320

⇒ a × b = 64 (परिमेय)

2. c × d:

c × d = (6√6 + 6√5)(4√6 + 4√5)

⇒ c × d = (6√6)(4√6) + (6√6)(4√5) + (6√5)(4√6) + (6√5)(4√5)

⇒ c × d = 24 × 6 + 24√30 + 24√30 + 24 × 5

⇒ c × d = 144 + 120 + 48√30

⇒ c × d में √30 है (अपरिमेय)

3. d × e:

d × e = (4√6 + 4√5)(√6 + √5)

⇒ d × e = (4√6)(√6) + (4√6)(√5) + (4√5)(√6) + (4√5)(√5)

⇒ d × e = 4 × 6 + 4√30 + 4√30 + 4 × 5

⇒ d × e = 24 + 20 + 8√30

⇒ d × e में √30 है (अपरिमेय)

निष्कर्ष:

विकल्पों में से, केवल a × b परिमेय है।

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

\(\left( \sqrt{1375} + \sqrt{1125} \right) \left( \sqrt{1125} - \sqrt{1375} \right) \)

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)(a - b) = a² - b²

गणना:

\(\left( \sqrt{1375} + \sqrt{1125} \right) \left( \sqrt{1125} - \sqrt{1375} \right) \)

\( \sqrt{1375}^2 - \sqrt{1125}^2\)

⇒ 1375 - 1125

⇒ 250

∴ परिणाम एक परिमेय संख्या है। सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

a = √11 + √3

b = √12 + √2

c = √6 + √4

प्रयुक्त सूत्र:

a, b और c के संख्यात्मक मानों की तुलना करते हैं।

गणना:

a की गणना करते हैं:

√11 ≈ 3.3166, √3 ≈ 1.732

⇒ a = 3.3166 + 1.732 = 5.0486

b की गणना करते हैं:

√12 ≈ 3.4641, √2 ≈ 1.414

⇒ b = 3.4641 + 1.414 = 4.8781

c की गणना करते हैं:

√6 ≈ 2.4495, √4 = 2

⇒ c = 2.4495 + 2 = 4.4495

मानों की तुलना करते हैं:

a = 5.0486, b = 4.8781, c = 4.4495

⇒ a > b > c

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

यदि x कोई प्राकृत संख्या है, तो x³ - (1/x³) हमेशा किससे बड़ा या उसके बराबर होगा?

विकल्प 1: 3 × (x - (1/x))

विकल्प 2: 3 × (x + (1/x))

विकल्प 3: x + (1/x)

विकल्प 4: x³ + (1/x³)

प्रयुक्त सूत्र:

किसी भी प्राकृत संख्या x के लिए, सत्यापित करने के लिए असमिका है:

x³ - (1/x³) ≥ 3 × (x - (1/x))

गणना:

माना x³ - (1/x³) = (x - (1/x)) × ((x² + (1/x²)) + 1)

⇒ x³ - (1/x³) = (x - (1/x)) × (x² + (1/x²) + 1)

अब, ध्यान दें कि x² + (1/x²) ≥ 2 सभी x > 0 के लिए (AM-GM असमिका).

⇒ x² + (1/x²) + 1 ≥ 3

⇒ (x - (1/x)) × (x² + (1/x²) + 1) ≥ 3 × (x - (1/x))

⇒ x³ - (1/x³) ≥ 3 × (x - (1/x))

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{\sqrt{10}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {\sqrt{10} + {\rm{\;}}3} \right)\left( {\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {\sqrt{10} } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

x - (1/x) = (- 6)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x - (1/x) = P है, तो

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

यदि x + (1/x) = P है, तो

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

गणना:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

इसलिए, x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

और x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

अब,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ सही उत्तर - 8886 है।  

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

दिया गया है:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

प्रयुक्त सूत्र:

(a + 1/a) = P ; तब

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

गणना:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ सही उत्तर 15127 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

दिया गया है:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

प्रयुक्त सूत्र:

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

गणना:

a + b + c = 19

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

⇒ (a + b + c)2 = (19)2

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

अब,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ सही उत्तर 104 है।

दिया गया है:

x2 + (1/x2) = 7

प्रयुक्त सूत्र:

x² + (1/x²) = P

तब x + (1/x) = √(P + 2)

और x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

गणना:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = -√(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5  {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ सही उत्तर - 3√5 है।

Mistake Point

कृपया ध्यान दीजिए कि

0 < x < 1

इसलिए,

1/x > 1

इसलिए,

x + 1/x > 1

और

x - 1/x < 0 (क्योंकि 0 < x < 1 और 1/x > 1 इसलिए x - 1/x < 0)

इसलिए,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0